Геометрические свойства локально минимальных сетей (1097521), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Комплексный вектор р(Г) = (р(Г»),..., р(Г,„)) называется вектором Максвелла взвешенной минимальной сети Г, Если »и = 1, то вектор Максвелла, будем называть числом Максвелла. Предложение 5.15 Компонента 1»(Г») вектора Максвелла р(Г) взвешенной минимальной сеп»и Штейнера Г это положительное вешественное число, равное взвешенной длине невырожденной компоненты Г» сети Г. Доказательство. Так как число Максвелла р(Г») взвешенной минимальной сети Гд совпадает с о-ой компонентой вектора Максвелла р(Г) сети Г, предложение достаточно доказать в предположении что сеть Г невырождена.
Для каждан подвижной вершины и Е С рассмотрим единичные вектора н», направлений входящих в вершину Г: и — » Ке ребер. Так как сеть минимальна, то при каждом фиксированном о линейная комбинация векторов и», с коэффициентами весами соответствуя>щих ребер, равна нулю, Поэтому равно нулю и произведение комплексного числа Г(и) на комплексное число, сопряженное к линейной комбинации соответствуюших векторам а~ комплексных чисел с коэффициентами 5.3. Сети Штейнера на плоскости. 319 весами входящих в о ребер.
Следовательно, добавив эти равные нулю произведения к д(Г), мы не изменим значение д(Г), Прибавим все эти (нулевые) произведения к 1ь(Г). В полученной сумме мы изменим порядок суммирования, сгруппировав вместе слагаемые, соответствующие одному и тому же ребру е, а затем уже просуммировав по всем ребрам из С. Л именно, пусть е -- произвольное ребро из С, А, и В, . (комплексные) координаты концевых точек отрезка Г(е), а ал и пн векторы направления отрезка Г(е), ориентированного соответственно в сторону .4„и В„.
Иными словами, пл = — пн = В,А,/)В,А,!. Пусть векторам пьи и еьп соответствуют комплексные числа ены и еьиь, где рн = к + ~рл, Тогда ребру е в нашей сумме соответствует следующее выражение: ~~(е)е н л 4 + ш(е)е ювВ ~о(е)е и л (А Ве) В силу того, что векторы ил и В, А„колинеарны, рассматриваемое выражение равно взвешенной длине ы(е) ~АВ~ ребра Г: е ь й'-'. Поэтому д(Г) равно взвешенной длине сети Г, что и требовало< ь. Доказательство предложения закончено. Замечание. Отметим, что мнимая часть каждой компоненты д(Г,) вектора Максвелла совпадает по определению с внешней формой Макс; велла д(Гь) степени О, определенной выше.
Из предложения 5.15 немедленно вытекает следующий результат. Предложение 5.16 Пусть Г и Г' --- две параллельных взвешенных минимальнььх сети с одной и той хсе граниией ьо. Тогда вектора Максвелла сетей Г и Г' совпадают. В частности, как соответствующие компоненгпы сетей Г и Г', епак и сами сети Г и Г', имеют одинаковую взвешенную длину. Пусть С невырожденный взвешенный граф Штейнера с эффективной границей дС и весовой функцией ьд а ум дС вЂ” ь Кз -- некоторое граничное отображение.
Пусть Г: С вЂ” ь 2~ взвешенная минимальная сеть с границей дГ = ьь. Выберем произвольную граничную вершину оо графа С, и пусть оь,..., и, остальные граничные вершины графа С, а ер единственное ребро из С, инцидентное о„. Положим тг = Г(о ). Пусть 1р --. взвешенное число вращения от ребра ео к ребру ею индуцированное сетью Г. Определим число Максвелла д(Г, ео) пары (Г,ео) так: д(Г, ео) = ~~ три(ер)е ' " й — то ~(ев). е=з Глава 5. Сети с фиксированными типом и границей. 320 Предложение 5.17 Пусть Г' и Гв -- две (ориентируемо) планерно эквивалентных невырожденных взвешенных минимальных сети топо,логии С.
Тогда зти сети параллельны если и только если аг8(р(Г', е)) = аг8(р(Гь,е)) для некоторого (а, значит, и произвольного) граничного ребра е графа С. Доказательство. Действительно, пусть о произвольная граничная вершина графа С и е -- единственное инцидентное ей ребро из С. Обозначим через е' направление вектора Г'(е), ориентированного от точки Г'(е).
Тогда достаточно заметить, что значение функции Максвелла р(Г') и число Максвелла р (Г', е) связаны так: 1з (Г') = д(Г', е) е Аналогично, если е' - направление вектора Гв(е), ориентированного от точки Го(о), то р(Го) = 1ь(Го, е)с ', Однако, 1ь(Г') и р(Го) . положитсльныс всщсственныс числа, см. предложение 5.10, поэтому параллельность сетей Г' и Г", равносильная сонаправленности векторов Г'(е) и Го(е), эквивалентна равенству аргументов чисел Максвелла д(Г', е) и р(Гь,е).
5.3.3 Построение деформации невырожденной минимальной сети Пусть С -- невырожденный взвешенный граф Штейнера с эффективной границей дС и весовой функцией щ, и д некоторое граничное отображение. Предположим, что существует взвеьпенная минимальная сеть Г Е ~С ~р) Пусть еы...,еь —. ребра графа С, и Ам...,Аь .-- внутренние точки этих ребер, Ар Е ею такие что топологический граф С',полученный из С разрезанием ребер ер по точкам Аю является 2-деревом. Ясно, что й равно цикломатическому числу графа С. Отметим, что в силу сделанных предположений, все ребра е; внутренние ребра графа С.
Обозначим через Г' сеть, полученную из сети Г разрезанием по всем точкам Аю Пусть дС' эффективная граница дерева С'. Ясно, что дС' получается из дС добавлением вершин А' и А~ дерева С', на которые распались точки Ар. Обозначим через дГ' эффективную границу сети Г'. Рассмотрим граничное отображение ьэ' дерева С', полученное из дГ' малым смещением точек Г(А„) в направлениях, перпендикулярных ребрам Г(ер). При этом, если Вр результат такого смещения для точки Г(Ар), то положим д'(А~) = р'(А~х) = В„.
Пусть е1 и е~х граничные ребра из С', на которые распалось ребро ер с С после выбрасывания точки Аю Ориентируем их в сторону граничных вершин А1 и Аз соответственно. По предложению 4.8, для достаточно малых 5.3. Сети Штейнера на плоскости. 321 — ! смещений существует взвешенная минимальная реализация Г дерева С' с границей !р', и эта реализация непрерывно зависит от гранич— ! ного отображения ь>'. Отсн>да вытекает, что оснащение вращения Г совпадает с оспа>цением вращения Г'.
Поэтому, в частности, в силу теоремы о локальной струтуре 2, при таких взвешенных минимальных реализациях образы ориентированных ребер е> и е-' остаются противоположно направленными. Поэтому, оклеив сеть Г по каждой паре вершин !р' > А> — > йз и |р': А> — > жз! получим новую взвешенную минимальную реализацию графа С с границей дГ. Пусть пр †.
единичная нормаль к Г[ср) в точке Г[Ар). Тогда смещение точки Г[.4„) задается числом 1ю таким что Вв = Г[А ) + 1рпр, Поэтому построенная выше сеть Г однозначно опроделяется точкой [1>,...,ь>!) из Гсь! причем ясно, что рыным точкам 1 соответствуют разные такие сети. Кроме того, по предложению 4.7, каждому — ! малому 1 соответствует ровно одна сеть Г, которую мы обозначим — ! — ! через Г,. Наконец, как и выше, для каждой сети Г, мы построим свою взвешенную минимальную реализацию Г! графа С с границей дГ.
Та— ! ким образом, мы построили в-парах>етрические вариации сетей Г и Г! являющиеся топологичоскими ыожениями и' и о малого открытого в-мерного куба !'ь из жь с центром в нуле в пространства ь(С') и [С, ~р) соответственно. Отображения и и и' обладают дополнительно следующими важными свойствами. Предложение 5.18 Отображение о переводит куб1в взаимно о1>нозначно на накат>ору>о окрестность сети Г во множестве [С,>р) ы. Отпображсния о а»' аффиннь>.
Доказательство. Как уже было отмечено вы>пе, отображение и является вложением в [С,>р[ З [С,>р[ >„. Кроме того, по определению! каждая сеть из о[>~) лвляетсл погруженной минимальной сетью, и поэтому, лежит в [С, !р[>„>ь, Поэтому нам осталось показать, что все линейные сети из [С, >р]>„;в, бчизкие к Г, лежат в образе отображения и. Действительно, пусть Г линейная сеть из [С, Д,„>„, настолько близкая к Г,что ° для любой вершины о Е С расстояние между точками Г[и) и Г[о) меньше половины длины самого короткого ребра сети Г, и ° прямы, проходящая через Г[Ар) в направлении г>р пересекает отрезок Г[ср) ровно в одной точке.
Эту точку мы обозначим через Глава 5. Сети с фиксированными типом и границей. 322 У = В+ ~трС', Х = А+ ~трСр,. р=т где А, В, Ср и ~с комплексные числа, зависящие лишь от оснащенил вращения, индуцированного погружением Г', а также от координат образов граничных вершин дерева С', отличных от А~~ и А~~. Покажем, что в формулах для Х и У коэффициенты при тр, на салшм деле, одинаковы, т.е.
С' = Ср. р Действительно, обозначим через "! единственный цикл графа, полученного из С' склейкой по вершинам А~~ и Аз. Если ребро е принадлежит б то ребра е~~ и е~~ находятся в разных компонентах графа Первое ограничение гарантирует, что сеть Г не содержит вырожденных ребер, поэтому, по следствию 5.4, Г обязана быть погруженнои минимальной сетью. Далее, определив все ~р из соотношения Г(Ар)Вр —— Грпр, мы получаем представление сети Г в виде иП), т.е. сеть Г действительно лежит в и(1), что и требовалось. Перейдем ко второму. утверждению предложения.
Сначала мы докажем его для отображения и'. Напомним, что пространство 2(С') евклидово пространство четной размерности, равной удвоенному количеству всех вершин 2-дерсва С'. Имеется каноническое отождествление пространства 2(С') с 44~ х х К"-. где каждое К~ конфигурационное пространство некоторой вершины из Г' б 2(С'). Ясно, что аффинность отображения и' равносильна аффинности композиции его с проекцией на каждый сомножитель К~. Эта последняя композиция есть отображение из куба 1" в конфигурационное пространство некоторой вершины г из С'. Прежде всего отметим, что если г граничная вершина из С', то — 1 о или неподвижна при построенной деформации Г (в этом случае г также является граничной вершиной для С), или г — это одна из вершин Ар, и тогда, по определению деформации Г, вершина г движется по прямой Г(Ар) + 1рпр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
