Геометрические свойства локально минимальных сетей (1097521), страница 71
Текст из файла (страница 71)
В обоих случаях композиция отображения и' < проекцией на соответствующее Гя~, очевидно, аффинна. Таким образом, для завершения доказательства леммы остаетсл рассмотреть случай, когда г -- точка Штейнера графа С'. Итак. пусть с некоторая точка Штейнера из С', е и е' два ребра дерева С',инцидентные ш а р' образ вершины пири отображении Г'.
Пусть 1 = ~Х, У] и Ь' = ~Х',У ') - — линии Симпсона, соответствующие е и е'. Обозначим через тр комплексные координаты точек Г(Ар). По предложению 5А4, 5.3. Сети Штсйнера на плоскости. 323 С''1 Е, где Е -- — внутренняя точка ребра е, и разность между числами вращения 1и (е1, е) и рк(ее~, е) кратна 6.
Поэтому ~с = С„. Если же реализуется вторая возможность, т.е, е ф у, то ребра е1 и ег находятся 'Р 'Р в одной компоненте графа С' '1 Е, поэтому т, входит в одну из су.мм из (*) с нулевым коэффициентом. Пусть, для определенности. ~с = О. Вычислим коэффициент С„при тр в оставшейся сумме. Так как в этом случае, как легко видеть, числа вращения Фтч(е~~, е) и йч(е~~, .е) отличаются на целое число, дающее остаток 3 при делении на 6, имеем: юл ы (е~,еПЗ л ыФьйе~,еПЗ О г= т.е. во втором случае Ср — ~с = О. Вернемся к доказательству предложения. Пусть 1 = (С~,...., 1ь) Е 1Я. Обозначим через 11 образ вершины о при отображении о'(С). Пусть Тч = )Хм Ц и Ь', = ~Х,', 1 ] — линии Симпсона сети ь~ф, соответствующие ребрам е и е'. Ясно, что точка Ъ~ является точкой пересечения прямых, проходящих через 1~ и 1' соответственно.
Сначала мы покажем, что точки Х,, 1'~. Л,' и Ц аффинно зависят от 1, причем вектора 1ьХ~ и 1 Х,' не зависят от 1, а после это воспользуемся следующим простым утверждением, которое проверяется непосредственными вычислениями. Ъ'тверждение 5.4 Пушпь И -- точка плоскости, являющаяся пересечением прямьлх ЛУ и Х'У'.
Пусть Хе, 1ю Х', 1" - й-параметрическая деформация точек Х, У, Х' и 1", аффинно зависящая от 1 6 Кь, Хо = Х, Уо = У, Ход = Х', 1о = 1", пРичем вектоРа КХе и 1,'Х,' не зависят от й Тогда точка 1ы являющаяся точкой пересечен я прямых Х,Ус и Х„'1'~', аффинно зависит от ~. Другими словами, точка пересечения прямых, движущихся посгаупательно и с постоянными скоростялш, сама движется по некоторой прямой и тоже с постоянной скоростью. Итак, покажем, что точки Хп уы Л ' и 1 ' аффинно зависят от й Так как мы рассматриваем столь малыс деформации (малые кубы 1~), что индуцированное сетью о'ф оснащение вращения на С' не зависит от ь имеем: У = И+ ~~С„п„С, Хе: Х + ~ ~лрпрСг р=1 и, точно также, Глава 5. Сети с фиксированными типом и границей.
324 где пр . -- комплексное число, соответствующее вектору и, Легко видеть, что эти формулы задают аффинную зависимость точек Хм Ум Х,' и У' от ~, причем, очевидно, векторы У~Х~ и У'Х' постоянны. Таким образом, доказательство аффинности отображения и' завершено. Доказательство аффинности отображения и получается автоматически, так как подвижные вершины дерева Г, координатами которых параметризуется пространство [С, Д это все точки Штейнера дерева Г'. Доказательство предложения закончено. Итак, отображения и и и' -- аффинные отображения из некоторого к-мерного куба 1ь с К" в пространства [С,уо] и к[С') соответственно. Из взаимной однозначности этих отображений вытекает, что их образы это некоторые к-мерные кубы.
Продолжим эти отображения по аффинности на все пространство Кь, и полученные отображения обозначим через Р и Р' соответственно. Понятно, что и[1ь) и и'[1ь) это открытые подмножества в и[Кь) и Р'[Кь) соответственно. Из сказанного выше вытекает справедливость следующего утверждения. Утверждение 5.5 Множество [С, ф~;„целиком лежит в Р[Кь), и является вьпеуклым й-,мерным телом в и[Кь). Более нюео, каждая озвешенная минимальная сеть Г топояогии С с границей дГ = р является внутренней точкой выпуклого тела [С, у]ыь, С Р[К'). Подводя итоги, получаел1 следуюший результат. Теорема 9 Пусть Г не имеющал слабо фиктивных вершин степени 3 взвешенная минимальная сеть 1Птейнера пинна С в Кз с границей ьо и весовой функцией ш. Обозначим через й цикломатическое.
число подвижного подграфа С„, графа С, через 1" . - количество фиктивных вершин сети Г, через т количество ребер сети Г, а через [С,~р] конфигурационное пространство подвижных вершин графи С. Тогда множество взвешенных минимальных сетей типа С с границей р представляет собой внутренность выпуклого (й + 1)-мерного многогранника [С,~р]„вю являющегося множестпвом всех минимумов функции взвешенной длины 1х: [С,ьо] — ь К. Все минимальные сесна данной топологии и с данной границей параллельны между собой и имеют одинаковую взвешенную длину. Более того, многогранник [С, у1ы„имеет не более чем т граней максимальной размерности. Оказывается, если взвешенная минимальная сеть Г нс является сетью Штейнера, т.е. степень вершин сети может быть больше трех, или 5.3.
Сети Штейнера на плоскости. 325 размерность объемлющего пространства больше 2, ияи сеть Штейнера содержит слабо фиктивные вершины степени три, то размерность многогранника ~С, »>] ы не вычисляется в терминах цикломатического числа подвижного подграфа. Приведем соответствуя>щие примеры.
Пример. Рассмотрим в пространстве Кз плоскость >аз, в которой расположим правильный шестиугольник из каждой вершины которого наружу выпущены отрезки, образующие со смежными сторонами шестиугольника углы по 120'. Нроведом прямую 1 параллельную одной из сторон шестиугольника и пересекаюшун> шестиугольник по внутренним точкам двух его сторон. Эта прямая разбивает нашу сеть на две компоненты.
Легко видеть, что одну из этих двух компонент можно так повернуть относительно прямой 1, что у полученного пространственного 8-угольника все углы будут равны 120'. Если теперь из вершин 8-угольника, лежащих на 1, выпустить отрезки, образу.ющие со смежными сторонами 8-угольника углы в 120', то в результате мы получим локально минимальную сеть, имеющую 8 внутренних вершин 8-угольника, и 8 граничных концов отрезков, выпущенных из вершин 8-угольника.
Несложно проверить, что построенная сеть не деформируется в классе минимальных сетей с той же границей. Таким образом, мы построили сеть, пример графа С с постоянной весовой функцией и граничного отображения у, для которых существует единственная взвешенная минимальная сеть типа С с границей р, несмотря на то, что цикломатическое число подвижного подграфа графа С равно 1. Идея построения этого примера принадлежит студенту механико-математического факультета МГУ М. В. Пронину, Пример. Рассмотрим квадрат на плоскости и продолжим его стороны за вершины.
В результате, получим линейную сеть с 8 вершинами степени 1 и четырьмя вершинами степени 4. В качестве границы этой сети выберем эффективную границу, а весовую функцию положим тождественно равной 1. Легко проверяется, что, хотя подвижный подграф полученной взвешенной минимальной сети содержит цикч, эта сеть нс может быть продеформирована в классе взвешенных минимальных сетей того жс типа и с той же границей. Пример. Рассмотрим на плоскости правильный шестиутольник, из каждой вершины которого наружу отложены отрезки, образующие с прилегающими сторонами равные углы. На паре противоположных сторон шестиугольника выберем по внутреней точке, скажем 1'> и Ин и проведем через них прямую 1.
Из точек К отложим отрезки, параллельные сторонам шестиугольника, содержащим Ип и лежащие в одной Глава 5. Сети с фиксированными типом и границей. 326 и той же полуплоскости П, ограниченной прямой 1. Итак,мы построили линейную погруженную сеть с одним циклом, восемью вершинами степени 3 и восемью вершинами степени 1. Определим гранину этой сети как множество всех ее вершин степени 1 и зададим весовую фунвь цию равной 1 на всех ребрах, лежаших в полуплоскости П, и равной 2 на всех остальных ребрах. Ясно, что эта взвешенная сеть является минимальной и имеет две слабо фктивных вершины степени 3. Кроме того, очевидно, единственный цикл этой соти нельзя сжимать и растягивать, поэтому размерность пространства всех минимальных сетей этого типа с той же границей равна 2, т. е.
количеству слабо фиктивных вершин, Литература !1] Т. В. Аникеева, Замкнутые локально мнилсальные сети на многогранниках. — Вестник МГУ,, сер. лсатем., 1998, в печати. !2] В. ХХ. Арнольд, Обьпсновенные дифференциальные уравнения. М., Наука, 1984. !3] М. Втая11, Х. Со1е, Х Н. КиЬггсв1еИл, А. Р. ТЬтав, Х Р. Исепд, Ас. С. И'огта1д, Ьп1! ппшша! Иге!пег !геев оп !а!1!се ве!в, РгсрПпг, Оерв. оЕ Ма|Ь., Луп!л. оЕ Ме!Ьопгпе, Апв!га1!а. !4] М.
Вгав11, Х Н. ЯиЬтвсеЕп, А. Р. ТЬотав, Х. Р. И'епд, Ас. С. И"огта1д, Мшппа1 8!с!пег !гсов Еог 2л х 2ь ос!ваге !а!1!сев. Х СошЬ!п. Т1леогу, ассергсс1 Еог рпЫ!саг!оп. !5] М. Вгая11, Х. Н. ВиЬтв1есп, А. Р. ТЬогаав, Х Г. !Лгеглд, Ас. С. И!оста!д, Мш!ша1 Иге!пег !геев Еог 8еллега!!в!с! сЬес!сегЬоагс!в. Ргерппг, Оерп оЕ МасЬ., Нп!и. оЕ Ме!Ьопгпе, Апвсга1са. !6] ЛЛ. Влил!1, Х. Н. КаЬпм1еЕп, А.
Р. Т!согслав, Х Г, ЕЛсеглд, Ас. С. Исогпла1д, Мпшпа1 81е!слег !геев Еог гессалл8п1аг алтаув оЕ 1аы Все ро!пгв. КевеагсЬ Керогг л4 24, 1995, Оера оЕ Маг!с., Нп!г, оЕ Ме1Ьопгпе, Авеста!!а. !7] М. Веввотл апд А. ТготЬа, ТЬе спер сававсгорЬе оЕ Т1югп 1п Ь!ЕпгсаНоп оЕ шшппа! ЯпгЕасев. — - МаппвсПрЕа МаЕЬ., 1984, л о1. 46, рр. 273 . 307. !8] В. С. СЕагЬ., Сошпшшса!аоп пе!ъог1св, воар 61сслв агсс! гесвогв.
Р1лув. Ес1., 1981, ло1. 16, рр. 32 — 37. !9] В. Х Сосйаупе, Оп сЬе Все!пег ргоЫспь Сапас!. Х Ма!!л., 1967, лсо1. 10, рр. 431 — 450. 327 Литература. 328 !10] Р. Н. К. СЬипд, Я. Р, БгаЬат, 81ешег Егеев Еог 1аАйеггь --- Апп. И1яс. Ма1Ь, 1978, и 2, рр. 173-.200. 11Ц Р. Н. К. СЬипд, М. СаггЕпег, Н. Р. СтаЬат, ЯГсгпсгсгсея опасЬес!ютЬоагс!. МаГЬ. Ма8ахгпе, 1989, и. 62, рр. 83 — 96. !12] Дао гуопе Тхи, А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
