Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов (2002) (1095939), страница 86
Текст из файла (страница 86)
8.23 (пунктирная линия демонстрирует фазу верхней боковой частоты для случая АМ). Теперь построим векторную диаграмму аналогично тому, как мы делали зто для гармонической АМ. Поскольку спектральные представления сигналов с гармонической АМ и УМ различаются лишь знаком перед одним из слагаемых, подробно комментировать построение иллюстрации, показанной на рис.
8.24, нет необходимости. Скажем только, что для большей наглядности при построении выбрано довольно большое значение индекса модуляции ф - 0,5). 454 Глава 8. Модуляция и демодуляция ие — Гг иа из+ П и иа — Гг из из+ Гг и Рис. 8.23. Амплитудный и фазовый спектры сигнала с гармонической УМ при р «1 Рис. 8.24. Векторная диаграмма сигнала с гармонической УМ ЗАМЕЧАНИЕ Из векторной диаграммы видно, что нри показанном сложении векторов меняется пе только начальная фаза, но и амплитуда результирующего вектора. Это связано с тем, что формула, цо которой производится построение диаграммы, является приближенной.
Заинтересованный читатель может выполнить точный расчет амплитудной огибагащей и фазовой функции данного сипщла, воспользовавшись преобразованием Гильбсрта (см. раздел «Комплексная огибающаяь главы 1). Ширина спектра сигнала с гармонической УМ При малом индексе модуляции, когда можно использовать только что рассмотренное приближенное спектральное представление, ширину спектра можно, очевидно, принять равной 2ь-з (то же имело место в случае АМ-сигнала).
Сложнее оценить эффективную ширину спектра в случае большого индекса модуляции 11. (В случае УМ речь идет именно об зффективггой ширине спектра, поскольку спектр, строго говоря, содержит бесконечное число составляющих.) 455 угловая модуляция При фиксированном аргументе )) функции Бесселя затухают с ростом (по модулю) их порядка г).
Попробуем на глаз оценить, как соотносятся индекс модуляции )) и номер функции Бесселя Й, начиная с которого абсолютные величины функций Бесселя становятся пренебрежимо малыми. Для этого построим линии равного уровня для функций Бесселя в координатах ((), Ф) при изменении р и /т от 0 до 40 (рис. 8.25): » Н = 40: Ж предельное значение Ьега и к » Гог М = 0:Н, х(х+1.;) = Веззе13(к. 0:)(): епс » соптосгу(0:Н. 0:М, х. (-1:0.1:П) » х1аЬе)('тЬета') » у!аЬе1( К ) » со1огЬаг » со1огяар 9гау Рис.
8.26. Зависимость функций Бесселя от аргумента О и порядка (т Из графика видно, что с ростом порядка (т при фиксированном аргументе )) функции Бесселя затухают. Обычно считают, и рисунок это подтверждает, что при оценке эффективной ширины сцектра в случае )з» 1 можно пренебречь состав; лятошими с номерами, по абсолютной величине превосходящими индекс угловой модуляции )з. Таким образом, остаются составляющие, для которых ф Б 8, и эффективная ширина спектра оказывается равной Лщ )к), = 2()й. С учетом приведенного выше соотношения, определяющего индекс угловой модуляции как отношение между девиацией частоты и частотой модулирующего 456 Глава 8.
Модуляция н демодуляция сигнала, эффективная ширина спектра оказывается равной удвоенной девиапип частоты: Итак, в зависимости от значения индекса модуляции )) можно привести две фор- мулы для расчета эффективной ширины спектра УМ-сигнала: О прп () «1 ширина спектра равна улвоепной частоте модулируюшего сигнала: гЖго«ид = 2й; О при ))» 1 ширина спектра равна удвоенной девиации частоты: Аю,,~щ, - 2етн. В отличие от АМ, в случае угловой модуляции получить аналитическое выражение для спектра при произвольном модулируюшем сигнале пе удается.
Даже попытка рассмотреть двухтональный модулируюший сигнал делает аналитические выкладки намного сложнее, чем при гармонической модуляции. Демодуляция УМ Как н в случае АМ, демодуляция УМ-сигнала может выполняться различными способами. Наиболее радикальный подход — вычислить аналитический сигнал (см. раздел «Комплексная огибающая» главы 1) и выделить его фазовую функцию. Дальнейшие действия зависят от вида угловой модуляции.
Для демодуляции ФМ из фазовой функции вычитается линейное слагаемое втвт, соответствуюшсе немодулированной несущей. В случае ЧМ фазовая функция диффсренцируется, а из результата вычитается константа оте (рис. 8.26): » Гз -100: Ж частота дискретизации с = 0 1/Гз:3: Ж дискретное вреиЯ » Ж сигнал с гарионической УМ Ьета = рт; Ж индекс иодулЯции » Гс = 10: Ж несущаЯ частота »Г=1: Ж частота модулЯции » з - соз(2*р1*Гс*1 + Ье1а*в1п(2*р1*Г*т)): » у = Гп)оегг(з): Ж аналитический сигнал » ррп = ипнгар(апд)е(уН .
Ж фазоваЯ функциЯ » г рщ = ррй - 2*р1*Гс*С: Ж деиодулЯциЯ ВМ » г 1щ = 01тт(рпт)*Гз - 2*рт*Гс; Ж деиодулЯциЯ ЧМ » р1от(С. г рщ, 1(1:епг)-1). г 1щ. '--') ЗАМЕЧАНИЕ В приведенном коде вычисление производной от полной фазы по времени аппрокснмнру- ется коночными разпостямн — ЙЕ(р)г()«Гв. Недостатком данного метода является обработка всего входного сигггала сразу с использованием преобразования Гильберта. Для реализации демодуляции в реальном масштабе времени необходима последовательная обработка поступаюших отсчетоп входного сигнала. Это можно реализовать, используя для получения аналитического сигнала приблпжегшую гильберговскую фильтрацию во Угловая модуляция временной области (синтез нерекурсивных и рекурсивных фильтров Гильберта был рассмотрен в главе 6).
25 20 15 10 -10 0 05 1 15 Рис. 8.26. Результаты фазовой (сплошная линия) и частотной (пунктирная линия) демодуляции сигнала с гармонической УМ Еше одной альтернативой, пригодной для реализации в реальном масштабе времени, является кеадратурпая обработка. При этом входной сигнал умножается на два опорных колебания, сдвиг по фазе между которыми составляет 90'.
у,(г) = хум(г)сов атос =Асоэ(гсвг+ ф(г))сох ото( = А А = — сов ~р(Г) + — сох (2ото Г + ~р(Г)), 2 2 уц(г) = зум(г)япотог =Асов(слог+ ф(т))янгелем = А. А. = — 5(п ф(г) + — $1п(2соог + ф(С)), 2 2 Каждый из результатов умножения содержит два слагаемых. Одно из них — низкочастотное (косинус или синус начальной фазы), другое — высокочастотное (УМ-сигнал с несущей частотой 2ыо). Низкочастотные составляющие выделяются с помощью ФНЧ; у', (г) = А(2 соэ ф(г), у', (г) = -А/2 яви(г). Дальнейшие действия, так же как и раньше, зависят от вида угловой модуляции.
Для демодуляции ФМ нам необходимо вычислить фазу полученной пары квадратурных составляющих: к„м(с) =-агй( у',(г) +)'у„'(()) = (А т(О-(- т(о)- к(- *г(От+тот (,г 458 Глава Э. Модуляция и демодуляция Для демодуляции ЧМ полученную фазовую функцию необходимо продифференцироват«я ~«хем х ц«(Е) = = - — агй ( У', (Е) + 7У~ (Е)) = «ЕЕ ЕЕЕ «Еу'«, Е«У ц с« у' (Е) Уц (Е) ~ У (Е) агссь., « ,« ( ) « (Е) Структурная схема получившегося демодулятора показана на рис. 8.27. лд ш одуляция ЧМ Рис.
8.27. Квадратурная обработка сигнала с угловой модуляцией Достоинством данной схемы является то, что прп высокой несущей частоте входные блоки (генератор опорного колебания и умножителп) могут быть выполнены в аналоговом виде (см. разлел «Квадратурцая дискретизация узкополосных сигналов» главы 3). Еще одним способом демодуляции сигналов с УМ является использование следящих систем ФАПЧ. Рассмотрение таких систем выходит за рамк«л тематики данной книги, Квадратурная модуляция В предыдуших разделах мы рассмотрели случаи, когда амплитуда и начальная фаза гармонического колебания подвергались модуляции по отдельности. Однако можно изменять эти два параметра одновременно, получив за счет этого возможность передавать два сигнала сразу: з(Е) = А(Е) соз(о«от+ «р(Е)).
Такую модуляцию можно было бы ««азвать ал«ллитуд««о-фазаео«е. Одпако два мо'- дулируюших сигнала оказыва«отея в данном случае «неравноправными», так как они модулируют существенно разные параметры несущего колебания. Можно сделать ситуацию более «симметричной», слегка преобразовав форму представления рассматриваемого сигнала, Для начала раскроем косинус суммы: з(Е) = А(Е) сов(о«вг) сов «р(Е) — А(Е) а!п(о«ог) з«п «р(Е).
Квадратуриая модуляция 459 Теперь сигнал оказался представленным и виде суммы двух АМ-колебаний. Их несущие — соз(вот) и гйп(вот) — сдвинуты по фазе на 90' друг относительно друга, а амплитудные функции равны А(г) соз ср(г) и — А(с) гйп ср(г). Обозначим зтн амплитудные функции как а(г) и 6(Г) и используем их п качестве новой пары модулирующих сигналов (аместо амплитуды и начальной фазы): (8.10) з(Г) - а(С) соз(вог) + Ь(С) з(п(вот). Такое представление рассматриваемого сигнала называется квадратурпььи (с1цас1- гаспге), а данный способ модуляции — квадратурной модуляцией (КАМ, английский термин — йцас(гасите ашр)11пс)е шос)п!ас1оп, ЯАМ). Модулируюшне сигналы при этом оказываются совершенно равноправными.
ЗАМЕЧАНИЕ Следует подчеркнуть, что квадратурпая модуляция и амплитудно-фазозая молуляиия— это разные прелстаалепия одного и того же сигнала. Различие между ними состоит только а том, как пара модулируюших сигизлоа управляет параметрами результирующего колебания. Спектр сигнала с квадратурной модуляцией В случае амплитудно-фааового предстапления сигнала записать аналитическое выражение для спектра не представляется возможным.
А вот для кпадратурного представления получить спектральную функцию не составляет труда. Поскольку КАМ-сигнал представляет собой сумму двух АМ-сигналоп, мы можем воспользоваться формулой (84) и сраау же записать 1. 1. 1 .. 1. 5(в) = — А(в+в )+-А(в-со )-- уВ(в+со )ч-- 1В(в-со ). о 2 о 2 о 2 о Итак, аналогично тому, что происходит при амплитудной модуляции, спектры модулирующих сигналов «раздпаипаются» и «переезжают» и окрестности частоты несущей «во. Если спектры модулируюших сигналов а(с) и Ь(с) занимают одну и ту же полосу частот (как обычно и бывает), то они будут перекрываться и после сдвига в область несущей частоты. Однако при этом спектр, соответствующий синусной несущей, дополнительно умножается на х~'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
