Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов (2002) (1095939), страница 82
Текст из файла (страница 82)
8.5. 'оо ы ыо 'оо+ ГС мо соо.~ С] ы Рис. В.В. Амплитудный (а] н фазовый (б] спектры однотонального АМ-сигнала ЗАМЕЧАНИЕ Следует подчеркнуть, что а общем случае полученное представление однотоиального АМ- сигнала не является его разложением з ряд Фурье.
Такое представление а виде суммы гар- монических функпий может рассматриваться как ряд Фурье только а том случае, когда для всех трех частот спектральных составляющих существует общий делитель. Это воз- можно, если отношение восссс является рациональной дробью. 4Зг Глава 8. Модуляция и демодуляция Из графиков видно, что ширина свекл)ра однотонального АМ-сигнала в два раза превышает частоту модулирующего сигнала: Ао) - 2й.
Чтобы понять, как из трех гармонических составляющих с лостлояниой амплитудой складывается сигнал с меняющейся амплитудой, создадим векторную диаграмму. Для этого представим каждое из трех гармонических колебаний как вещественную часть комплексной экспоненты: (Г) не е Мм и е ям ) О Ля~+и вк ) + О )(-гкнгк-вк ) Аа, Аа Построим векторную диаграмму, демонстрирующую суммирование этих составляющих (рис. 8.6).
Ке Рио. 8.6. Векторная диаграмма формирования однотонального АМ-сигнала При сложении колебаний с разными частотами постоянно меняются их взаимные фазовые соотношения. Векторы боковых частот вращаются в разные стороны с угловой скоростью й относительно вектора несущего колебания. В результате колебания боковых частот оказываются то синфазными с несущим колебанием, увеличивая его амплитуду, то противофазными с ним (тогда амплитуда сигнала уменьшается). Наконец, вектор несущей частоты вращается с угловой скоростью о)в. Значение АМ-сигнала определяется проекцией результирующего вектора на вещественную (горнзонтальную) ось.
АМ-сигнал в общем случае Формула, связывающая спектр АМ-сигнала со спектром модулирующего сигнала, нами уже была получена (см. в главе 1 свойство преобразования Фурье (1.18), касающееся умножения сигнала на гармоническую функцию). Действительно, ведь АМ-сигнал — это и есть результат умножения модулирующего сигнала (с добавленной постоянной составляющей) на гармоническое несущее колебание. Повторим, слегка изменив обозначения, полученную ранее формулу (1.18): 433 Амплитудная модуляция м(го) е ~А(то+о)о)+ е б (оз оз ) 1 л 1 -Ф, (8.4) Спектр оптбаюшей А(с) при амплитудной модуляции сдвигается в область несушей частоты +ото, «раздваиваясь» и уменьшаясь в два раза по уровню. Покажем это на графике, задав какую-нибудь функцию для спектра огибаюшей 5 (от) (рис.
8.7): » и - -20:0.1:20: Ж значениЯ частот длЯ расчета » иО - 10; Ж несущаЯ частота 5 А - 1./(1+и,"2); Ж спектр кадулирующего сигнала » Ж спектр кадулираваннага сигнала » 5 АН 0.5./(1+(и+и0).*2) + 0.5,/(1+(и-иО)."2): р)ат(и, 5 А. '--', и, 5 АН) 0.9 0.9 0.7 0.6 0.5 0.« 0.3 0.2 0.1 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 Ри». ВЛ. Спектры огибающей (пунктирная линия) и АМ-сигнала (сплошная линия) Итак, спектр АМ-сигнала в общем случае содержит несушую частоту (уровень которой определяется постоянной составляющей огибающей), а также ве7тхиюю и ттижттюю боковые полосы. Из графиков видно, что ширина спектра АМ-сигнала вдвое больше максимальной (граничной) частоты модулируюшего сигнала: Ьго = 2й,„.
Вычислим значение спектральной функции АМ-сигнала на несущей частоте: 5лм(соо) = — е ' '5„(0)+ — е б„(2»)а ) Первое слагаемое результата — как и положено, деленная пополам постоянная составляющая модулируюшего сигнала, А вот второе слагаемое представляет собой «хвост» от второй «половинки» спектра, сконцентрированной в области отрицательных частот, в окрестностях частоты -озо. Следует иметь в виду, что, поскольку все реальные сигналы имеют конечную длительность (и, следовательно, бесконечно протяженный спектр), данное явление наложения «хвостов» всегда будет иметь место.
В большинстве практических ситуаций, однако, несущая частота значительно превышает эффективную граничную частоту спектра огнбатошей, так что влияние данного эффекта пренебрежимо мало. 434 Глава 8. Модуляция и демодуляция Графически проиллюстрируем наложение «хвостов» сдвинутых копий спектра, уменьшив в рассмотренном ранее примере несущую частоту (рис. 8.8): » х - -5:О, 1:5: Ж значениЯ частот длЯ расчета » хО - 2: Ж несущаЯ частота » 5 А = 1./( 1+х."2); Ж спентр модулирующегс сигнала » Ж спектр модулированного сигнала » 5 йн - 0.5./( 1ч.(хнхО)."2) + 0.5./( 1+(х-хО).*2); » р)ог(х, 5 д '--', х, 5 АИ) О.е 0.8 о.т 0.6 ОА О.з о.г ол о о 6 Рис. 8.3.
При недостаточно высокой несущей частоте спектр АМ-сигнала (сплошная линия) могквт быть существенно несимметричным относительно несущей частоты иэ-за налохгвния «хвостов. Энергетические соотношения в АМ-сигнале В атом разделе нам вновь придется вернуться к рассмотрению однотонального АМ-сигнала (8.2), чтобы выяснить, как распределяется мощность в его спектре. Для начала определим пиковую мощность однотонального АМ-сигнала.
Как указывалось ранее, его максимальная амплитуда равна Ав(1 + щ), следовательно, пиковая мощность составляет Рхик = Аог(1+ щ)г Теперь займемся средней мощностью. Как говорилось ранее, АМ-сигнал в общем случае не является периодическим, позтому для расчета средней мощности необходимо применить предельный переход согласно формуле (1.4): 1 "/', Р = 1пп — ~г'(г)Й = -г/2 1 т/' г = 1пп — ~(Ао(1ч- щсов(ОГ+ Фо)) сов(гоот ч- дго)) оГГ = т "Т -т/2 Аг 1гщг о о + 2 4 435 Амплитудная модуляция ЗАМЕЧАНИЕ Тот же результат можно получить и без вычисления интеграла.
Достаточно вспомнить, что мощность гармонического колебания с амплитудой А равна А /2 и что гармонические колебания разных частот являются некоррелнрованными, а потому их мощности можно складывать. Далее остается только применить все сказанное к представлению однотонального АМ-сигнала в виде суммы гармонических составляющих (см, формулу (8.3) и рнс, 8.5). Первое слагаемое не зависит от коэффициента модуляции и представляет собой мощность немодулированной несущей. Полезная мощность, заключенная в боковых частотах, представлена вторым слагаемым, Введем в рассмотрение коэффициент полезного действия (КПД) амплитудной модуляции, определив его как отношение мощности боковых частот к общей средней мощности сигнала: г т А'— о ч т 2 ')км 1 тг т+2 Построим график зависимости КПД от коэффициента модуляции т (рис. 8.9): » в 0:0.01:1: » еса в."2./(в,"2+2): » р101(в, е!а) » х1аЬе1('в') » у!аЬе1('!еса (Аг))') 0.36 0.3 0.26 0.2 г 0.16 О.1 0.06 0 0.2 ОЛ 0.6 0.6 1 Рис.
6.9. Зависимость КПД от коэффициента амплитудной модуляции Результаты неутешительные — даже при мзксимально допустимом значении коэффициента модуляции (т - 1) КПД составляет лишь 33 уь, то есть две трети Глава 8. Модуляция и демодуляция мощности тратится на передачу бесполезной в информационном отношении несущей. Исторически АМ была первым практически освоенным видом модуляции.
Однако низкий КПД и ширина спектра, вдвое превышающая ширину спектра модулпрующего сигнала, привели к тому, что сфера применения АМ стала довольно узкой. В настоящее время АМ применяется для радиовещания на сравнительно низких частотах (в диапазонах длинных, средних и коротких волн) и для передачи изображения в телевизионном вешании. Демодуляция АМ Демодуляция АМ-сигнала может быть выполнена несколькими способами. Простейший путь — имитировать работу аналогового двухполупериодного детектора.
Мы вычисляем модуль входного АМ-сигнала, а затем сглаживаем получившиеся одпополярные косинусоидальные импульсы, пропуская их через ФНЧ (рис. 8.10): » у - авз(з АМ 50); $ нодуль АМ-сигнала » (Ь. а) = Ьцггег(5, 2*ОМЕЯА/рт/Гв); 2 сглавивающий ФНН » 2 - т111/111(Ь. а, у); Ж Фильтраций » 0101(1(1:1000). у(1.1000). '--', 1(1:1000), 2(1:1000)) 0.8 -2 0 -10 -8 Рис.
8.10. Двухполупериодное детектирование АМ-сигнвла: однополярные импульсы (пунктирная линия) и результат их сглаживания (сплошная линия) Данный способ, очевидно, не будет работать правильно в случае перемодуляции. Следующий метод — так называемое сияхрояпое детектирование, суть которого состоит в умножении частоты сигнала на опорное колебание с несущей частотой: у(г) = злм(г)соз(швг+ гав ) =А(г)сов (гсвг+ гав)— (8.5) = — А (г) + — А(т) соз(2ш,г+ 2ув ). 2 2 4З7 Амплитудная модуляция Результат умножения содержит два слагаемых. Первое — это искомая амплитудиая функция, второе — АМ-сигиал с несущей частотой 2атв.
Этот высокочастотиый сигнал легко удаляется путем пропускаиия сигнала через ФНЧ (рис. 8.11): » Ж уиножение на опорное колебание » у - в АН 50 .* сов(ощедаО*в): » ГЬ, а] - Ьцтгег(5, 2*ОНЕ6Я/р)/Гв); Ж сглаживающий ЕНЧ » г - т)1ст)1с(Ь. а, у): Ж фильтрациЯ » р)от СГ(1. 1000), у(1: 1000). - - . Г(1: 1ООО), г(1: 1ООО) ) О.б -10 -8 -6 Рис. 8.11. Синхронное детектирование АМ-сигнала; результат умножения на опорное колебание (пунктирная линия) и выделенный низкочастотный сигнал 1сплошная линия) Однако в данном случае необходимо очень точное совпадение начальных фаз и частот опорного колебания демодулятора и несущего колебания АМ-сигнала. При совпадении частот, ио несовпадении начальных фаз выходной низкочастотный сигнал оказывается умноженным иа косинус фазовой ошибки: у(г) = ьлм(г)сов(оэог+ гр) = А(г)сов(стог+ гро)сов(гвог+ гр) = 1 1 = — А(г)сов(гр-грв )+ -А(г)сов(2атвг+ грв + гр).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
