Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов (2002) (1095939), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Фазовая модуляция Пусть модулирующий сигнал определяет начальную фазу несущего колебания: гр(т ) в)зм(г ). Глава в,модуляция и двмодуляция Тогда мы получаем сигнал с фазоеой модуляцией (ФМ; английский термин— рЬазе щоди1ас(оп, РМ): зо,м(г) - А соз(глот + лом(г)), (8.7) Весь аргумент функции соз, взятый целиком, называется полной фазой коле- бания: Ч'(г) ооог + 7гзм(г ). йЧ' дз, Гл(г ) = ооо + й дг ' дг Итак, в случае фазовой модуляции изменяется не только начальная фаза, но и мгновенная частота колебания. Соответственно, полная фаза может быть найдена путем интегрирования мгно- венной частоты: р(г) = (ю(у)дг .
Частотная модуляция Теперь мы можем ввести понятие частотной модуляции (ЧМ; английский тер- мин — (гег)пенсу щоди1ат(оп, г М), при которой модулирующнй сигнал линейно связан с мгновенной частотой колебания: оо(г) ооо + 7гзм(г). Добавка в виде константы гоо необходима для того, чтобы сделать колебание высокочастотным. Полная фаза находится, как уже говорилось, путем интегрирования: "(г) = Гол г+ л(1 ем(г ) иг + 'Ро . Здесь оРо — пРоизвольнаЯ постоЯннаЯ интегРиРованиЯ.
Наконец, сам ЧМ-сигнзл имеет следующий вид: зчм(Г) = 'л с~о(оооо+ Л) зм(У ) дг'" 'Ро) . (8.8) Как видим, начальная фаза колебания при частотной модуляции претерпеваео изменения, пропорциональные интегралу от модулирующего сигнала: Р(г) = 7г) з (г ) г(г + Ро. Таким образом, частотная и фазовая модуляции оказывагатся взаимосвязанны ми: если изменяется начальная фаза колебания, изменяется и его мгновенны Круговая частота колебания по определению представляет собой скорость изменения начальной фазы. Подобно тому как в случае неравномерного движения вводится понятие мгновенной скорости (равной производной от координаты по времени), для колебаний с угловой модуляцией вводится понятие мгноеенпой частоты (1пзгапгапеоиз 1гецпепсу), равной производной от полной фазы по времени: Угловая модуляция частота, и наоборот. По этой причине два этих вида модуляции и объединяют под общим названием «угловая модуляция».
Из сказанного можно сделать несколько выводов: 1. По форме колебания с угловой модуляцией нельзя определить, ФМ это или ЧМ. Для этого необходимо знать еше и модулируюший сигнал. 2. если пропустить модулируюший сигнал через идеальное дифференееиргующее устройство, а затем подать его иа частоюный модулятор, получитСя фаэоеал модуляпия (верхняя ветвь на рис. 8.
19). 3. Если пропустить модулируюший сигнал через идеальное интегрирующее устройство, а затем подать его на фазовый модулятор, получится часглолтал модуляция (нижняя ветвь иа рис. 8.19), ЧМ-сигнал Е»ио. В.тв. Взаимосвязь фазовой и частотной модуляции В заключение данного раздела приведем сводную таблипу, показывающую, как связаны с модулируюшим сигналом различные характеристики модулированного колебания при фазовой и частотной модуляции.
)дг+Ва 1 злг(Е') дг'+ ЕР« ! м(Е ) Гармоническая угловая модуляция Аналогично тому, как мы это делали для амплитудной модуляции, рассмотрим случай гармонического модулируюшего сигнала. Начальная фаза колебания изменяется при этом по гармоническому закону: гр(Е) - 13 з)п(йг). Коэффициент 13 называется индексам угловой модуляции (шос1п!айоп ше1ех). Он определяет интенсивность колебаний начальной фазы.
Полная фаза получится путем добавления линейного слагаемого ото г: Ч(Е)-ю,г+ 8гйп(аг). 450 Глава В. Модуляция и демодуляция Наконец, сам сигнал с гармонической УМ: з(г) "А соз(соог+ (3з!п(йг)). Как уже говорилось, при изменении начальной фазы изменяется и мгновенная частота: го(г)= — = от, +(3ь1соз(йг). о Чг(Г) гй В данном случае мгновенная частота меняется также по гармоническому закону. Как видно из полученной формулы, ее максимальное отклонение от среднего значения Фв составляет )3(;). Эта величина называется девиацией частоты ()гег)персу г)еу(а((оп) и обозначается от,г.
Таким образом, мы получили важную формулу, показывающую, что индекс угловой модуляции равен отношению девиации частоты к частоте модулирующего сигнала: Итак, при гармонической УМ и начальная фаза, и мгновенная частота меняются по гармоническому закону. Различия между частотной и фазовой модуляцией начинают проявляться при изменении частоты модулируюшего сигнала й. При ФМ индекс )3 является характеристическим параметром модуляции и от частоты модулируюшего сигнала не зависит, Девиация частоты оказывается прямо пропорциональной й: (3 сопз(, отк (3 й.
При ЧМ характеристическим параметром, не зависящим от частоты модулирующего сигнала, является девиация частоты Фа Индекс модуляции в этом случае оказывается обратно пропорциональным й: Фв - СОПЗЦ Зависимости индекса модуляции и девиации частоты от частоты модулирующего сигнала в случае ФМ и ЧМ представлены на рис.
8.20. й г) Рис. 8.20. Зависимость индекса модуляции (слева) и девиации частоты (справа) от частоты гармонического модулируктщего сигнала лри ФМ и ЧМ 451 Угловая модуляция Спектр сигнала с гармонической угловой модуляцией В данном разделе мы сначала получим точное выражение для спектра радиосигнала с гармонической УМ, а затем рассмотрим его приближенный вариант, справедливый для малых индексов модуляции (8 «1). Для расчета спектрального представления сигнала с гармонической УМ мы прежде всего представим сигнал в виде вещественной части комплексной экспоненты: аум(г ) - Ке (А ехр(ттоаг +,)тра +,) й)а(п(Й г + Фо))) " Ке (А ехр(!о)ос +) тра) ехр0 Р а(п(й г + Фо))) Теперь воспользуемся представлением выражения ехр(83з(п х) в виде ряда Фурье: ехро)3а)пх) = 2' 7,(0)ехро(х). (8.9) Здесь/,((3) — функция Бесселя 1-го рода порядка 1т от аргумента 8. Используя представление (8.9), можно записать зум(Г) = Ке Аехр()тоас+)тра) ХЛ®ехр(тй(ЙГ+ Фо)) = А ~~" /, ф) сов ((ото + И2) Г + тра + а Фо).
Как видите, спектр сигнала содержит бесконечное количество составляющих с частотами тоа + Йй, 1т - О, н-1, +2,, Амплитуда я-й составляющей равна А)а()3), то есть пропорциональна функции Бесселя Й-го порядка, аргументом которой является индекс модуляции )3.
Функции Бесселя имеют колебательный характер (графики нескольких из пих приведены на рис. 8.21), поэтому спектр при удалении от несущей частоты ота спадает немонотонно. Для примера на рис. 8.22 приведены спектрограммы, соответствующие 8 - 1, 10 и 100. На рисунке предполагается, что соа» й, так что наличием «хвостов», заползающих из области отрицательных частот, можно пренебречаи » Ж построение графиков Функций БесселЯ » х 0 0.01:10: » ттдцге » ЬЬ1О оп » тог 'и - 0:5. 01ос(х. Ьеззе10(х. х)).
епс » ЬО1О Отт » дг)8 оп » х1аЬе1('х') » у1аЬе1('0 ('х)(х)') Глава В. Модуляция и демодулвция о.в г 4 6 в 10 к Рис. 8.2!. Функции Бесселя » Ж спектрограииы У)(-сигналов с разныи индексои иолулЯции » 5цЬр)оС(3, 1, 1) » М = -10.10 » 51еи(к. аЬ5(Ье55е)3(к, 1)), '.') » 5цЬр)о1(3, 1. 2) » к = -20:20: » 5тео)(к, аЬ5(Ье55е)3(к, 10)). . ) » 5нЬр)01(3, 1. 3) » к = -150:150: » 51ео)(к. аЬ5(Ье55е)Д(к, 100)). . ) о -1О 04 $ 10 од о -20 .10 -1О -О 0 В 10 1620 0,2 О.1 о .100 -1ОО -20 0 ВО 1ОО 100 Рис. 2.22. Амплитудный спектр сигнала с гармонической УМ при индексе модуляции, равном т (сверху), (О (в центре) и !00 (снизу) 453 угловая модуляция Теперь приближенно рассмотрим частный случай малого индекса модуляции (13 «1).
Начнем с того, что применим к сигналу с гармонической УМ тригонометрические преобразования, чтобы раскрыть косинус суммы: зум(г ) = А соз(глог + гро) соз(33 яп(йс+ Фо))— — А яп(гол Г + грь) япф яп(й Г + Фь)) Поскольку мы считаем, что ~3 «1, можно приближенно принять, что соз(13 яп(йС+ Фь)) = 1, з пф з)п(й Г + Фо)) = ~3 яп(й Г + Фо) С учетом этого ьхм(г) = А соз(вот + уь) — А яп(гльг + <рь) Д яп(й г + Фо) Остается представить последнее слагаемое в виде полуразности косинусов: зулг(г) = Асов(озог+ гРо) соз((соо +й)г+гРо +Фо)+ А 13 2 + соз((що й)г+ гро Фо).
А 13 Полученный результат сильно напоминает полученное ранее представление (8,3) для АМ-сигнала с гармонической модуляцией — тоже три составляющих с теми же частотами, да и амплитуды их рассчитываются аналогично (только вместо коэффициента амплитудной модуляции я в формуле фигурирует индекс угловой модуляции 13). Однако есть не слишком бросающееся в глаза, но тем пе менее принципиальное отличие, превращающее амплитудную модуляцию в угловую — знак «минус» перед одним из слагаемых, соответствующих боковым частотам.
Почему этот знак оказывается столь важным, мы увидим чуть ниже, прп создании векторной диаграммы, а пока отметим главное; чтобы превратить сигнал с гармонической АМ в сипщл с гармонической УМ, достаточно изменить на 180' начальную фазу одной нз боковых частот. ЗАМЕЧАНИЕ Ешс один способ превратить АМ в УМ вЂ” изменить фазу составляющей с несущей частотой на 90'. В том, почему это именно так, читателю предлагается разобраться самостоятельно. Амплитудный и фазовый спектры сигнала с УМ прн малом индексе модуляции (ее еше называют узкополосной УМ) показаны на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
