Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095938), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Специальные КИХ- ильт ы нижних частот 19. аппп, У. «Ргецпепсу-Кезропзе МазЫп8 АрргоасЬ 1ог гЬе БупгЬеяз ог'5Ьагр 11пеаг РЬазе Е6фга1 Р11гегз,» 1ЕЕЕ Ттвиз С1тсшгз 5узг., 'ч'о1. 33, Арп! 1986, рр. 357-364. 20. Уап8, й., ег а1, «А реп 5ггпсгпге оЫЬагр Тгапз1г1оп Р1К Р11гегз 11яп8 Ргециепсуйезропзе МазЬпф,» 1ЕЕЕ Ттаафполз С1гси1гз аЫ Яузгетз, Чо1.
35, Аи8пзг 1988, рр. 955-966. 21. БагатаЬ1, Т., ес а1, «Рея8п о1 Сопгрпгаг1опайу Ейс1епг 1пгегро1агед Р1К И- гегз», 1ЕЕЕ Ттапа СисиЪ Яузг., Чо1. 35, 1апиагу 1988, рр. 70-88. Глава 8 Квадратурные сигналы Теория квадратурных сигналов строится с использованием комплексных чисел. Вероятно, никакая другая тема не причинила столько головной боли новичкам в ЦОС, сколько эти числа и связанные с ними странные термины, такие как)-оператор, комплексный, аналитический, мнимый, действительный и ортогональный Если от вас ускользает физический смысл комплексных чисел и оператора) = Ч вЂ” 1, не стоит отчаиваться, поскольку вы находитесь в достойной компании.
Итальянский математик шестнадцатого века Джироламо Кардано писал, что комплексные числа «настолько же непонятны, насколько бесполезны». В ХЧ11 веке Готфрид Лейбниц описывал мнимые числа как «амфибии, проживающие на грани существующего и несуществующего». (Термин «мнимый» впервые был использован блестящим математиком и философом Рене Декартом в ХЧ11 веке, и при этом он имел пренебрежительный оттенок. Это объясняется тем, что не только понятие квадратного корня из отрицательного числа было в лучшем случае сомнительным, но и, как ни удивительно, в то время не существовало единого мнения о смысле отрицательных действительных чисел.) Даже Карл Фридрих Гаусс, один из величайших математиков мира, называл)-оператор «тенью теней». Далее мы прольем немного света на эти тени, чтобы вам никогда не приходилось прибегать к помощи специалистов-психоаналитиков телефонной службы РзусЫс НоЖпе.
Квадратурные сигналы, представленные комплексными числами, используются практически во всех областях науки и техники'. Нам они интересны тем, что используются в анализе Фурье, а также в квадратурной обработке и в реализации современных систем связи. В этой главе мы дадим обзор основ комплексных чисел и познакомимся с тем, как они используются для описания квадратурных сигналов. Затем мы познакомимся с понятием отрицательной частоты, т. к. оно тесно связано с алгебраической записью квадратурных сигналов, а также научимся говорить на языке квадратурной обработки. Кроме того, чтобы прояснить понятие квадратурных сигналов и придать ему физический смысл, мы будем использовать трехмерные графики в пространстве время-частота.
! Это объясняется тем, что комплексные синусоиды являются решениями линейных дифференциальных уравнений второго порядка, используемых для описания множества явлений природы. 336 Глава 8. Квад а ные сигналы 8.1. Почему нас так занимают квадратурные сигналы? Квадратурные сигналы, которые также называют комплексными сигналами, используются во многих применениях цифровой обработки сигналов, таких как: а системы связи, й радиолокационные системы, системы измерения разности времен прихода сигналов в радионавигации, й когерентные измерительные системы, Р системы формирования луча антенны, 0 однополосные модуляторы.
Эти приложения попадают в одну общую категорию, известную как квадратурная обработка, и обеспечивают дополнительные возможности обработки сигналов благодаря когерентному измерению фазы синусоидальных сигналов. Квадратурный сигнал — это двухмерный сигнал, значение которого в некоторый момент времени может быть задано одним комплексным числом, содержащим две части, которые мы называем действительной частью и мнимой частью.
(Термины действительная и мнимая, хотя и общеприняты, неудачны из-за смысла, который они имеют в повседневной речи. Инженеры систем связи используют термины синфазная и квадратурная составляющие. Подробнее об этом поговорим позже.) Рассмотрим математическую запись комплексных чисел. 8.2. Запись комплексных чисел Чтобы сформировать терминологию, определим действительные числа как числа, которые мы используем в повседневной жизни для выражения таких величин, как напряжение, температура или баланс банковского счета. Эти одномерные числа могут быть либо положительными, либо отрицательными, как показано на рисунке 8.1 (а).
На этом рисунке мы изобразили одномерную ось координат и показываем, что действительное число можно представить точкой на этой оси. По традиции давайте называть эту ось действительной осью. Комплексное число с показано на рисунке 8.1 (Ь), где оно изображено как точка. Расположение комплексных чисел не ограничено одномерной прямой, они могут располагаться где угодно на двухмерной плоскости. Эту плоскость называют комплексной плоскостью (некоторым математикам нравится называть ее диаграммой Аргана), и она дает нам возможность изображать комплексные числа, имеющие как действительную, так и мнимую части.
Например, на рисунке 8.1(Ь) комплексное число с = 2.5 +12 изображается точкой, не лежащей ни на действительной, ни на мнимой оси. Мы приходим в эту точку, продвинувшись от начала координат на +2.5 единицы вдоль действительной оси и поднявшись на +2 единицы вдоль мнимой оси. Вы можете представлять себе действительную и мнимую оси точно так же, как вы.представляете себе направления Восток-Запад и Север-Юг на карте автомобильных дорог.
8.2. Запись комплексных чисел Этв томка представляет действительное число -2.2 (а) -5 -4 -3 -2 -1 О 1 2 3 4 Действительная Мнимая ось ()) Эта точка представляет — комплексное число с = 25+)2 (Ь) 2 З действительная ось Рис. 8.1. Графическая интерпретация: (а) действительного числа; (Ь) комплексного числа Таблица 8.1. Формы записи комплексных чисел Название Математическое формы записи выражение Примечание Прямоугольная форма с = а+уЬ Используется для пояснений. (8-1) 'Наиболее понятная форма.
(Ее называют также декартовой формой.) Тригонометри- ческая форма с = М(соз(ф) + тяп(ф)] Широко используется для описания (8-2) квадратурных сигналов в системах связи. с =МеФ (8-3) Самая непонятная, но главная форма, используемая в математических выкладках. (Называется также экспонент(иальной формой. Иногда записывается в виде Мехр()ф).) Полярная форма (8-4) с М~ф Используется в описаниях, но слишком неудобна для использования в алгебраических выражениях.
(По существу, представляет собой сокращенную запись выражения (8-3).) Модуль- аргумент 1 В отечественной литературе эту форму часто называют также алгебраической формой — (прим. перев.). 'Мы будем использовать геометрические представления для объяснения арифметики комплексных чисел. Посмотрев на рисунок 8.2, мы можем использовать тригонометрию прямоугольного треугольника для получения нескольких различных способов представления комплексного числа с. Комплексное число с в литературе записывается несколькими различными способами, показанными в таблице 8.1. Глава 8. Ка а ные сигналы Уравнения (8-3) и (8-4) напоминают нам, что с можно также рассматривать как координаты на комплексной плоскости конца фавора длиной М, направленного под углом ф градусов к положительной полуоси действительной оси, как показано на рисунке 8.2.
Помните при этом, что с — комплексное число, а значения а, Ь, М и ф — действительные числа. Абсолютная величина или модуль с есть величина М = ~ с ~ = 1/ а2 + Ьй (8«5) = а«?ь витеяьная Ось Рие. 8.2. Представление комплексного числа с = а+/Ь в виде фазора на комплекс- ной плоскости Фазовый угол ф, т. е. аргумент числа с, вычисляется как арктангенс отношения мнимой части к действительной, или (8-6) ф =гап г(Ь/а). Если мы приравняем (8-3) к (8-2), Мегг = М(соз(ф) +7яп(ф)1, то сможем получить соотношение, которое в настоящее время называется тождеством Эйлера и выглядит следующим образом: еФ = соз(ф) +7яп(ф) . (8-7) Недоверчивый читатель сейчас должен спросить: «На каком основании мы представляем комплексное число этим странным выражением, содержащим основание натуральных логарифмов е, возводимое в мнимую степень?» Мы можем подтвердить правильность (8-7) так, как это сделал европейский кудесник бесконечных рядов Леонард Эйлер, подставив7ф вместо г в разложении е г в ряд, которое приведено в верхней строке рисунка 8.3'.
Эта подстановка показана во второй строке. Далее, чтобы получить ряд, приведенный в третьей строке, мы вычисляем высшие степени7'. Те из вас, кто обладает развитыми математическими способностями, как Эйлер (или кто обратится к какому-нибудь справочнику по математике), увидят, что четные и нечетные члены ряда в третьей строке образуют разложения в ряд для косинуса и синуса.
Рисунок 8.3 подтверждает правильность (8-7) и обосновывает представление комплексного числа в полярной форме (8-3): МеФ. Если вместо г в верхней строке рисунка 8.3 мы подставим — 7ф мы придем к несколько отличной, но очень полезной форме тождества Эйлера: е Ф = соз(ф) — 7яп(ф) . (8-8) ! Леонард Эйлер (1.еоп)гагг1 Ец!ег), который родился в Швейцарии в 1707 году, считается многими историками величайшим математиком мира. Между прочим, фамилия ' Ец!ег произносится как «Ойлер». 8.2. Запись комплексных чисел ,з + ,г г. г4 + 4! вг =1 + з! 'чФ) г! Ю з! УФ) 04) 4! 5! + +„, чг) 6! вгФ =1 + )Ф з з~ в~Ф =1 + )Ф + +г 4~ 5' е~Ф = сов(ф) +/в)п(ф) Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
