Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095938), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Чтобы показать эти фазовые соотношения, необходимо комплексное представление в частотной области. Приняв во внимание все это, посмотрим на рисунок 8.10. а Мнимая Рис. 8.10. Комплексное представление во временной и частотной областях: (а) ко- синусоидального колебания;(Ь) синусоидального колебания Посмотрите, как действительные косинусоидальный и синусоидальный сигналы изображены в нашем комплексном представлении частотной области в правой части рисунка 8.10.
Толстые стрелки справа на рисунке 8.10 не являются вращающимися фазорами, а представляют собой символы импульсов в частотной области, изображающие отдельные спектральные линии, соответствующие 4 Мнимая Дейстаительная Ф (а) соа(2 я( 1) Д ейстаительная (ь) Время вп(г г.е ь Мнимая соа(2 лу 1) = ~~ ~ яейстаительная ~)г~т,( .)2~(,т г. г 'ж Частота ь мнимая Действительная 2 2 Частота 848 Глава В.
Кв а ные сигналы отдельным комплексным экспонентам, таким как еу2лХФ.'Направления, в которых показывают эти спектральные импульсы, определяют относительные фазы спектральных компонентов. Амплитуды этих спектральных импульсов равны 1/2. Обратите внимание на то, каким образом спектр соз(2ф;г) оказывается чисто действительным. Это происходит потому, что соз(2луог) является четной функцией времени, его значение при отрицательных значениях времени Г равно значению при положительных Д или соз(2лЯ вЂ” г)1 = соз(2л~,г) (8-15) Функция яп(2л/;г), с другой стороны, имеет чисто мнимый спектр, потому что она является нечетной. Значение нечетной функции при отрицательном значении времени г равно ее значению при положительном д взятому с обратным знаком, или яп(2лЯ вЂ” г)] = — яп(2л~,г) (8-16) умножить вынимая т у ~ Действительная > )в)п(2ят,т) Частота вя астота в)п( Мнимая Действительная А~- ~частота (~ Мнимая Действительная ';.~а~~од сов(2 ну,)) Частота едя ьт = сов(2ят))+)в)п(2яут) Рис.
8.11. Изображение тождества Эйлера е)™от = соз(2лт' Г) +/з)п(2луо() в комплексной частотной области Почему мы так много внимания уделяем этому 3-мерному представлению частотной области? Потому что оно представляет собой инструмент, который мы будем использовать для того, чтобы понять принципы генерации (модуляции) и детектирования (демодуляции) квадратурных сигналов в цифровых (и некоторых аналоговых) системах связи, а это одна из целей данной главы. Прежде чем перейти к ней, проверим приведенное частотное представление на небольшом примере. Рисунок 8.11 представляет собой непосредственный пример того, как мы используем комплексную частотную область.
Мы начинаем с действительного синусоидального сигнала, умножаем его на7', а затем прибавляем его к действительному косинусоидальному сигналу той же частоты. В результате получаем одну комплексную экспоненту е)2лтот, что графически иллюстрирует тождество Эйлера, которое мы вывели аналитически в (8-7). В.Б. Полосовые ка а ные сигналы в частотной области На частотной оси отрицательные частоты проявляются как спектральные импульсы, расположенные в точках — 2я/, радиан/с. Этот рисунок показывает, какую цену мы платим: когда мы используем комплексную запись, общие комплексные экспоненты е Р'Ф и в -Р'Ф представляют собой фундаментальные составляющие действительных синусоид з1п(уф) или соз(2~ф).
Это объясняется тем, что как з(п(уф), так и соз(уф) образуются из компонентов ваяя и е Р'~. Если бы потребовалось вычислить дискретное преобразование Фурье от набора дискретных во времени отсчетов синусоидального сигнала тйп(2я~ г), косинусоидального сигнала соз(2л~,с) или комплексной синусоиды еРЯУФ и построить графики комплексных результатов, вы получили бы в точности такие же узкие импульсы в частотной области, какие изображены на рисунке 8.11. Если вы поняли обозначения и операции, изображенные на рисунке 8.11, похвалите себя — вы знаете уже довольно много о природе и математическом описании квадратурных сигналов. 8.6. Полосовые квадратурные сигналы в частотной области В квадратурной обработке принято называть действительную часть спектра синфазной составляющей, а мнимую часть спектра — квадратуряой составляющей.
Сигналы, комплексные спектры которых приведены на рисунках 8-12 (а), (Ь) и (с) действительны, и во временной области они могут быть представлены как комплексные значения, действительная часть которых отлична от О, а мнимая тождественно равна О. Никто не заставляет нас использовать комплексное представление для таких сигналов во временной области — эти сигналы просто действительные. Действительные сигналы всегда содержат спектральные компоненты с положительными и отрицательными частотами. Для любого действительного сигнала компоненты с положительными и отрицательными частотами его синфазной (действительной) составляющей всегда обладают четной симметрией относительно нулевой частоты.
Это значит, что компоненты синфазной части с положительной и с отрицательной частотой представляют собой зеркальное отражение друг друга. Компоненты же квадратурной (мнимой) составляющей с положительной и с отрицательной частотой всегда имеют противоположные знаки. Это значит, что фазовый угол любого данного квадратурного компонента с положительной частотой равен фазовому углу соответствующего квадратуриого компонента с отрицательной частотой, взятому с противоположным знаком, как показано тонкими сплошными стрелками на рисунке 8.12 (а).
Эта сопряженная симметрия является неотъемлемым свойством действительных сигналов и становится очевидной, когда их спектр представляется в комплексной записи. Комплекснозначный сигнал, спектр которого может иметь вид, показанный на рисунке 8.12 (с1), не обязательно должен обладать описанной сопряженной симметрией.
Мы будем называть такой комплексный сигнал аналитическим ааяалом, показывая, что он не содержит спектральных компонентов с отрицательными частотами. Глава В. Квад а ные сигналы — Комллвкснвя экспонента Сннфвзнвя (действнтельнвя) часть Кведрвтурнвя (мннмвя) часть Кввдрвтурнвя составляющая Сннфвзнвя составляющая Кввдрвтурнвя составляющая т Сннфвзнвя состввляющвя 0 соз(2 к(,т Частота Частота (в) (Ь) Кввдрвтурнвя составляющая 4 Сннфвзнвя составляющая Кввдрвтурнвя состввляющвя Снн(звзнвя состввляющвя в в (в) Частоте (с> О Частота Рис. 8.12.
Квадратурное представление сигналов: (а) действительной синусоиды соз(2пуо( + (з); (Ь) действительного полосового сигнала, содержащего шесть синусоид в полосе В Гц; (с) действительного полосового сигнала, содержащего бесконечное количество синусоид в полосе В Гц; (с() комплексного полосового сигнала в полосе В Гц Напомним себе еще раз: жирные стрелки на рисунках 8.12 (а) и (Ь) не являются вращающимися фазорами. Они представляют собой импульсы в частотной области, изображающие отдельные комплексные экспоненты е)2'Ф. Направления, указываемые стрелками, показывают относительные фазы спектральных компонентов. Существует один важный принцип, о котором следует помнить, чтобы двигаться дальше. Умножение сигнала на комплексную эхспонеиту е)2ЯУзт, которое мы называем квадратурным смешиванием (его также называют комплексным смешиванием), сдвигает спектр сигнала вверх по частоте наус Гц, как показано на рисунках 8.13 (а) и (Ь).
Аналогично, умножение сигнала на е У2кЛт (которое также называют комплексным понижающим преобразованием или переносом в основную полосу) сдвигает спектр сигнала вниз так, что центральная частота становится равной О Гц, как показано на рисунке 8.13 (с). Процесс квадратурного смешивания используется во многих применениях ЦОС и в самых современных системах связи.
Все наши рассуждения о квадратурных сигналах до сих пор относились к непрерывным сигналам, но описанные принципы в равной мере применимы и к дискретным сигналам. Рассмотрим влияние комплексного понижающего преобразования на спектр дискретного сигнала. б.7. Комплексное понижающее и еоб азованне 381 турная турная нфазная аэная Частота О Частота (Ь) (с) (а) Рис. 8.13. Квадратурное смешивание полосовых сигналов: (а) спектр комплексно- го сигналах(г); (Ь) спектрх(г)еРягог; (с) спектрх(г)е )магог 8.7. Комплексное понижающее преобразование 1 (а) о -г,/2 -г,м г/4 г,д Частота ° ° ° а )хря)) т у,гг г/4 ~~ ааа ° ° ° л ° ° ° Ъс - — ое,р -ооо -Частота С +Частота (Ь) Рис.
8.14. Дискретный спектр Х(т) действительной последовательности: (а) традиционное изображение; (Ь) изображение циклической частотной оси Комплексное понижающее преобразование дискретного сигнала представляет собой простой процесс, и описывать его лучше всего на примере. Рассмотрим действительную дискретную последовательность х(п), имеющую модуль спектра )Х(гл) ~, ненулевые отсчеты которого показаны как черные точки на рисунке 8.14 (а). Глава В. Кв а ные сигналы 4п) х(п) хт(п) х,(п) = !(и) + ))(и) ч(п) (а) -)2х(,п(, а -яп(2хт,п(т) Е 2 1 (ь) (24 ' т/г 4» Частота )Х,(т)) е (г Еа в о.о.о.о.о-о-о-о.о о ° а (24 Оо ооо Ы4 оо — (...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
