Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095938), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Первый вопрос: что мы увидим в другой лаборатории на экране осциллоскопа, если подадим непрерывные действительные сигналы соз(2л~;г) и гйп(2л~' г) и на входы каналов горизонтального и вертикального отклонения осциллоскопа соответственно7 (Не забыв, естественно, переключить канал горизонтального отклонения на внешний вход.) Правильно, мы увидим, как электронный луч осциллоскопа вращается на экране по кругу против хода часовой стрелки. Следующий вопрос что мы увидим на экране осциллоскопа, если кабели помечены неправильно и наши сигналы поменялись местами? Мы снова увидим окружность, но луч будет вращаться по ходу часовой стрелки.
Этот опыт был бы особенно наглядным, если бы мы установили частоту 1;, равную, например, 1 Гц. Этот опыт имеет большое значение и помогает нам ответить на важный вопрос «Как аппратурно реализуется оператор), когда мы работаем с квадратурными сигналами?» Реализация оператора) заключатся в том, как мы интерпретируем два сигнала по отношению друг к другу. Мы должны рассматривать их как ортогональные, так что действительный сигнал соз(2лг' г) представляет направление Глава 8. Кв а ные сигналы 344 восток-запад, а действительный сигнал з1п(2л~;г) представляет ортогональное ему направление север-юг. (Под ортогональностью я понимаю то, что упи между направлениями север-юг и восток-запад составляет ровно 90'.) Таким образом, в нашем примере с осциллоскопом оператор7' реализуется просто порядком подкаючения наших кабелей к осциллоскопу.
Действительный косинусоидальный сигнал управляет отклонением луча по горизонтали, а действительный синусоидальный сигнал управляет отклонением луча по вертикали. В результате формируется двухмерный квадратурный сигнал, значение которого представляется мгновенным положением точки на экране осциллоскопа. Пример, приведенный на рисунке 8.7, напоминает нам об одной важной характеристике квадратурных сигналов: в то время, как действительные сигналы могут передаваться по одному проводу, для передачи квадратурных (комплексных) сигналов всегда требуется два провода. Рис. В.7.
Визуализация квадратурного сигнала с помощью осциллоскопа Возвращаясь к рисунку 8.5 (Ц, спросим себя: «Чему равна векторная сумма этих двух фазоров, когда они вращаются в противоположных нзправлениях7» Подумайте об этом... Правильно, действительные части фаворов всегда суммируются с одинаковыми знаками, а мнимые части всегда взаимно уничтожаются. Это значит, что сумма фаворов е 12н/о~ и е 1зл/Ог всегда будет действительным числом.
Именно на этом свойстве основаны реализации современных систем связи! Чтобы подчеркнуть важность действительной суммы этих двух комплексных синусоид, мы нарисуем еще один рисунок. Рассмотрим сигнал на трехмерном рисунке 8.8, полученный как сумма двух комплексных фаворов е12л/ог/2 и е 12л/ г/2 половинной амплитуды, вращающихся в противоположных направлениях вокруг оси времени и движущихся вдоль нее.
Рассматривая эти фаворы,легко понять, почему косинусный сигнал можно приравнять сумме двух комплексных экспонент в соответствии с формулой соз(2л/ Г) = еРз/ ~/2 + е 12лЛ~/2 = (е/2лlФ + е -12лХФ)/2. (8-13) Соотношение (8-13) хорошо известно, его также называют одним из тождеств Эйлера. Мы могли бы вывести это тождество, решив уравнения (8-7) и (8-8) относительно/з)п(ф), приравняв полученные выражения и решив результирующее уравнение относительно соз(ф).
Мы могли бы проделать аналогичные выкладки и показать, что действительный синус также представляет собой сумму двух комплексных экспонент вида з1п(2л/'Г) =(еФ"ХФ вЂ” е Фл/')/(27) =Яе 12"/о' — е/2/г)/2. (8-14) 346 8.4. Несколько мыслей ло повод от ицательной частоты Действительная -12лг, 2 Рис. 8.8. Косинус, представленный суммой двух вращающихся комплексных фаворов Посмотрите внимательно на выражения (8-13) и (8-14) — они представляют собой стандартные выражения для косинусоидального и синусоидального сигналов в комплексной записи и часто встречаются в литературе по квадратурным системам связи.
Чтобы ваша голова не закружилась, подобно этим комплексным фаворам, осознайте, пожалуйста, что единственной целью рисунков 8.5 — 8.8 является обоснование комплексных выражений для синусоидального и косинусоидального сигналов, приведенных в (8-13) и (8-14). Эти два уравнения вместе с уравнениями (8-7) и (8-8) представляют собой Розеттский камень квадратурной обработки сигналов .
Теперь мы можем легко переводить синусоиды в комплексные экспоненты и наоборот. Теперь отступим немного назад и напомним себе, что же мы делаем. Мы изучаем, как действительные сигналы, которые можно передавать по коаксиальному кабелю, оцифровывать и сохранять в памяти компьютера, могут быть представлены комплексными числами. Да, каждая из составных частей комплексного числа действительна, но мы рассматриваем эти части особым образом — как квадратуры. 8.4.
Несколько мыслей по поводу отрицательной частоты Для нас важно освоиться с понятием отрицательной частоты, т. к. оно существенно для понимания эффектов размножения спектра при периодической дискретизации, дискретного преобразования Фурье и различных методов обработки 1 Розеттский камень представляет собой древнюю базальтовую плиту, найденную в Египте в 1799 году. На ней сохранился один и тот же текст, написанный на трех языках, два из которых — греческий и египетские иероглифы. Это позволило ученым расшифровать наконец древние иероглифы. Глава В.
Кв а ные сигналы квадратурных сигналов, обсуждаемых в главе 9. Соглашение об отрицательной частоте служит как состоятельный и мощный инструмент в анализе сигналов. Использование отрицательной частоты становится обязательным, когда мы представляем действительные аиналы, такие как косинусы и синусы, в комплексной 'записи. Трудности понимания идеи отрицательной частоты для некоторых, наверное, сродни тому оцепенению, которое ощущалось в кабинетах средневековых математиков, когда онн впервые столкнулись с отрицательными числами. Вплоть до тринадцатого века отрицательные числа рассматривались как фиктивные, потому что числа обычно использовались для счета и измерения. Соответственно, до того времени отрицательные числа просто не имели смысла.
В те времена допустимо было спросить: «Как вы можете держать в руке нечто, которое меньше, чем ничтоже» Идея вычитания шести из четырех должна была казаться бессмысленной. Историки математики предполагают, что отрицательные числа впервые были введены в оборот в Италии. Как свидетельствует история, около 1200 года итальянский математик Леонардо Пизанский (более известный как Фибоначчи) работал над некой финансовой проблемой, единственное допустимое решение которой включало отрицательные числа.
Отважный Лео писал: «В отношении этой проблемы я показал, что она неразрешима, если только не допустить, что первый человек имел долгл Так отрицательные числа появились на математическом горизонте и никогда больше с него не уходили. Современные мужчины и женщины теперь могут понять, что с отрицательными числами связано направление. Направление назад от нуля в том смысле, что положительные числа показывают направление вперед от нуля.
Например, отрицательные числа могут представлять температуру, измеряемую в градусах ниже нуля, время в минутах до текущего момента, если текущий момент принят за О, или сумму денег, которую мы должны сборщику налогов, когда наш доход представляется положительной суммой. Таким образом, понятие отрицательного числа вполне состоятельно, если мы определяем его соответствующим образом. Как бы ни были для нас привычны отрицательные числа, отрицательная частота остается трудным и сомнительным понятием для многих инженеров 13, 4]. Автор однажды встретил статью в техническом журнале, которая утверждала: «т.
к. отрицательные частоты не могут существовать...» Ладно, как и отрицательные числа, отрицательная частота представляет собой вполне состоятельное понятие, если мы правильно определяем ее по отношению к тому, что мы называем положительной частотой. Запомнив это, мы назовем сигнал еР"у г на рисунке 8.5 комплексной экспонентой положительной частоты, потому что он вращается вокруг начала координат по кругу в положительном направлении с частотой /; оборотов в секунду. Аналогично, сигнал е Ф«Ф будем называть комплексной экспонентой отрицательной частоты из-за отрицательного направления его вращения.
Таким образом', мы определили отрицательную частоту в частотной области. Если мои коллеги по ЦОС хотят заявить, что отрицательная частота не существует во временной области, я не буду спорить. Однако наше определение отрицательной частоты в частотной области является однозначным, совместимым с действительными сигналами, очень полезным, и мы будем его придерживаться. 8.5. Кв ные сигналы в частотной области 847 8.5. Квад]натурные сигналы в частотной области Теперь, когда нам известно достаточно о временной природе квадратурных сигналов, мы готовы взглянуть на их описание в частотной области. Будем использовать полное трехмерное изображение частотной области, так что ни одно из фазовых соотношений не останется невидимым.
Рисунок 8.9 подсказывает нам правила представления комплексных экспонент в частотной области. Отрицательная частота Положительная частота '-~2хР() ~2хГГ) Направление адоль Модуль равен 1/2 мнимой оси Рис. 8.8. Интерпретация комплексных экспонент в частотной области Мы будем представлять одну экспоненту как узкий импульс, расположенный на частоте экспоненты. Кроме того, мы будем изображать фазовые соотношения между комплексными экспонентами на действительной и мнимой осях в частотной области.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
