Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095938), страница 72
Текст из файла (страница 72)
о оооо -Частота (с) +Частота Рис. 8.15. Дискретный спектр (Х (гл)( временной последовательности, подвергнутой понижающему преобразованию: (а) условные обозначения понижающего преобразования; (Ь) традиционное'изображение частотной оси; (с) циклическое изображение частотной оси Если х(л) — действительная последовательность, содержащая М отсчетов, ее амплитудный спектр (Х(т)( симметричен относительно нулевой частоты. Если мы теперь выполним комплексное понижающее преобразование (умножив х(п) на е 12Я/ пхь где Вследствие периодичности спектра дискретного сигнала, которую мы обсуждали в разделах 2.1 и 3.17 (а также вследствие того, что частотная ось БПФ лежит на единичной окружности в з-плоскости, о чем шла речь в разделе 6.3), мы можем изобразить спектр )Х(т) ( в виде трехмерного циклического графика, приведенного на рисунке 8.14 (Ь).
На этом рисунке мы свернули линейную ось частот, изображенную на рисунке 8.14 (а), в окружность, длина которой равна частоте дискретизации/х, таким образом, что частотам/х /2 и — /; /2 соответствует одна и та же точка на циклической оси. 363 В.7. Комплексное понижающее и об азоаание ~,-1,(7„используя любую из эквивалентных схем, показанных на рисунке 8.15 (а)), результатом будет комплексная последовательность х,(л) = 1(л) + д7(п), спектр которой показан на рисунке 8.15 (Ц. Знак минус в экспоненте е Флам приводит к сдвигу спектра )Х(т) ~ на1, Гц в направлении отрицательных частот.
Конечно, т.к. последовательность х,(п) комплексная, (Х,(т) ( не обладает симметрией относительно нулевой частоты. Циклическое изображение )Х,(т) ( приведено на рисунке 8.15 (с). Говорят, что составляющие 1(п) и фл) последовательности х,(л) орлюгональны, и это значит, что они независимы и не влияют друг на друга, при этом выполняется следующее условие: л( — 1 ;5', 1(п)фл) = О.
(8-17) л=О Рисунки 8.14 и 8.15 приведены, чтобы показать, как перенос по частоте с помощью комплексного понижающего преобразования приводит к завороту спектральных компонентов вокруг точки 1; /2. Рисунок 8.15 (а) демонстрирует метод понижающего преобразования действительной временной последовательности х(л). Для полноты рисунок 8.16 показывает, что для переноса комплексной временной последовательности хо(л) = 1(л)+ ду(л) вверх или вниз по частоте на/, Гц требуется комплексный умножитель. Этот комплексный умножитель вычисляет ('(л) +>д'(л) = х,(п)е т х1о" з = (8-18) = [1(л) +Я(п))[соз(2п~,лг,) Й1з1П(2ф;лг,)) Если вы используете этот умножитель, не забывайте о знаке минус в верхнем сумматоре на рисунке 8.16. (Эту ошибку легко допустить.
Поверьте мне.) дп) /(л) о(л) л) = т(л) +/д'(л) «,(л) = l(л о'(л) сов(х п( л( ) з(п(2нт,л(,) « — повышающее преобразование -з(пДлГ,л1,) « — понижающее преобразование Рис. 6.16. Комплексный умножитель, используемый дли повышающего и понижа- ющего преобразований 354 Глава В. Ка а ные сигналы 8.8. Пример комплексного понижающего преобразования Мы можем использовать все, что узнали до сих пор о квадратурных сигналах, исследуя процесс квадратурной дискретизации. Квадратурая дискретизация— это процесс оцифровки непрерывного (аналогового) полосового сигнала с одновременным понижающим преобразованием его спектра, в результате которого центральная частота спектра сигнала становится равной 0 Гц. Посмотрим, как работает этот популярный процесс, на примере непрерывного полосового сигнала, ширина спектра которого равна В, а центр спектра находится на несущей частоте, равной~; Гц в соответствии с рисунком 8.17 (а).
(а) Частота (ь) Частота(т) Рис. 8.17. Спектр квадратурно-дискретизироеанного сигнала до и после преобразования Наша цель при квэдратурной дискретизации состоит в том, чтобы получить оцифрованную версию аналогового полосового сигнала, но мы хотим также, чтобы центральная частота спектра оцифрованного сигнала была равна 0 Гц, а не /; Гц, так, как показано на рисунке 8.17 (Ь). То есть мы хотим смешать сигнал с е 1~кГс г, чтобы выполнить комплексное понижающее преобразование.
Частота ~; представляет собой частоту дискретизации аналого-цифрового преобразователя в отсчетах в секунду. На рисунке 8.17 (Ь) мы показываем размноженный спектр, чтобы напомнить себе о том, что при аналого-цифровом преобразовании имеет место это явление. Мы можем решить поставленную задачу с помощью схемы блока квадратурной дискретизации (известного также как квадратурный демодулятор), приведенной на рисунке 8.18 (а).
Устройство, состоящее из двух синусоидальных генераторов, дающих сигналы с разностью фаз 90', часто называют квадратурным генератором. Прежде всего, исследуем синфазную (верхнюю) часть квадратурного дискретизатора. Если входной сигнал хь (г) имеет спектр, показанный на рисунке 8.18 (Ь), спектр выходного сигнала верхнего смесителя будет выглядеть в соответствии с рисунком 8.18 (с). Присутствующие на рисунке 8.18 экспоненты е 12"Ус г и е~~"У ' напоминают нам в соответствии с (8-13), что комплексные экспоненты, образующие действительный косинус, приводят к раздвоению и смещению каждой копии спектра )ХЬ„Я ~, давая в результате спектр Щ) ~.
При этом происходит уменьшение модуля сйектра )7(;Я ~ в 2 раза, но сейчас нас это не волнует. На рисунке 8.18 (д) показан спектр выходного сигнала фильтра нижних частот (ФНЧ) синфазного канала. 8.8. П име комплексногопонижающегоп еоб азоввния )(и) х,(п) = l(п) + )С(п) (а) д(п) -а)п(2п(,т) (ь) О Частота Е )2" >2ат,т е (с) Частот Частота -В/2 0 В/2 Рис. 8.18. Квадратурнвя дискретизация: (а) блок-схема; (Ь) спектр входного сигнала; (с) спектр выходного сигнала синфазного смесителя; (О) спектр выходного сигнала синфазного фильтра Точно так же рисунок 8.19 показывает, как мы получаем отфильтрованную непрерывную квадратурную составляющую (нижняя часть схемы) требуемого комплексного сигнала путем смешивания х( (г) с — з(п(2тг7сг).
из (8214) мы знаем, что ДЕйетВИтЕЛЬНЫй — З1П(2ПГс() ОбРаЗУЕтСЯ ИЗ ДВУХ КОМПЛЕКСНЫХ ЭКСПОНЕНТ Е 22пу» И вЂ” е 12ттт т. Знак минус в члене — е 12хг т учитывает то, что переносимый вниз по частоте спектр в (Хф) ~ сдвинут по фазе на 180' относительно спектра, переносимого вверх. Это опйсание квадратурной дискретизации можно сделать более наглядным, если посмотреть на него в трехмерном пространстве, как на рисунке 8.20. Здесь множитель +7' поворачивает «чисто мнимый» (Щ на 90', делая его «чисто действительным о. Величина7(Щ прибавляется затем к 1(Д, давая спектр комплексного непрерывного сигнала х(Г) = ((Г) +Л7(Г).
Подавая этот сигнал на два АЦП, мы, наконец, получаем требуемый дискретный сигнал х,(п) = г(п) «~д(п), изображенный на рисунке 8.18 (а) и имеющий спектр, показанный на рисунке 8.17 (Ъ). Такая схема квадратурной дискретизации обладает рядом достоинств, некоторые из которых приведены ниже: а каждый АЦП работает на частоте, равной половине частоты, необходи- мой при обычной дискретизации действительных сигналов; (з часто работа на пониженной частоте позволяет снизить потребляемую мощность; с) при заданной частоте дискретизации /; мы можем обрабатывать более широкополосные сигналы; Глава 8. Кв а ные сигналы а квадратурные последовательности делают использование БПФ более эффективным благодаря охвату более широкого диапазона частот; (з квадратурная дискретизация облегчает измерение мгновенных ампли- туд и фаз сигнала в процессе демодуляции; а зная мгновенные фазы сигналов, мы можем выполнять когерентную обработку.
(а) о Частота Спектральные атыоонанты сдвинуты на 180' (ь) Зу Частота (с) Рис. 8.19. Спектры сигналов в квадратурном (нижнем) канапе блок-схемы В то время как квадратурный дискретизатор, изображенный на рисунке 8.18 (а), выполняет комплексное понижающее преобразование, легко реализовать комплексное повышающее преобразование, просто заменив последовательность х,(л) комплексно сопряженной последовательностью, что, по существу, приводит к зеркальному отображению спектра последовательности х,(п) относительно нулевой частоты, как показано на рисунке 8.21. 8.9. Альтернативый метод понижающего преобразования Метод квадратурной дискретизации с использованием комплексного понижающего преобразования, изображенный на рисунке 8.18 (а) хорошо работает на бумаге, но на практике на высоких частотах и для широкополосных сигналов трудно выдержать точную разность фаз в 90'.
Обычно ошибка составляет один или два градуса. В идеале нам нужны точно согласованные по фазовым характеристикам коаксиальные кабели, два генератора, сигналы которых разнесены по фазе точно на 90', два идеальных смесителя с идентичными характеристиками и полным отсутствием постоянной составляющей на выходе, два аналоговых фильтра нижних частот с идентичными амплитудно-частотными и фазо-частотными характеристиками и два АЦП с идентичными характеристиками.
(Как это ни грустно, но таких электронных компонентов у нас нет.) К счастью, существует более простой для реализации метод квадратурной дискретизаг(ии (5]. 387 8.9. Альте нативый метод понижающего и еоб взоввния Мнимая ось ()) Действительная ось Мнимая ось 8) та Мнима ось б) та Мнимая ось О) Частота о/в Частота Рис. 8.20. Трехмерное изображение процесса объединения спектров /(/) и О(/) в спектр /(/) +/О(/) Кл) «л)-/С(л) 0 В/З Частота Кя) + /с(я) .В/З О В/З Частота Рис.8.21. Использование операции комплексного сопряжения для управления ориентацией спектра Рассмотрим процесс, изображенный на рисунке 8.22, где аналоговый сигнал хьр(г) сначала оцифровывается, а затем подвергается смешиванию и фильтрации, которые выполняются уже в цифровой форме.
Такая квадратурная дискретизация с применением цифрового смесителя полностью устраняет проблемы, связанные с реализацией метода квадратурной дискретизации, изображенного на рисунке 8. (8 (а) и избавляет нас от одного из АЦП. Збв Глава 8.
Кв а ные сигналы х,(п) ФНЧ хп) х,(п) = ((и) + )д(п) — (> ~ -а|п(2лп(4) Рис. 8.22. Квадратурная дискретизация с цифровым смешиванием (а) Частота )рд(т)) (ь) -4/, -3/, -2/, -/, О /, = /,/4 2/, 3/, 4/ Частота (с) -4/, -3/, -2/, -/, О /, = /24 2/, 3/, 4/, Частота (-/,) (/,) (о) О / Частота Рис. 8.23. Спектры при квадратурной дискретизации с цифровым смешиванием в синфазном (верхнем) канале На рисунке 8.23 показаны спектры в синфазном канале квадратурного дискретизатора с цифровым смесителем. Обратите внимание на подобие аналогового )1(/) ! на рисунке 8.18 (т)) и дискретного )1(т) ! на рисунке 8.23 (д). Приятной особенностью этого процесса является то, что при ~; =~;//4 выходы генераторов косинуса и синуса представляют собой последовательности из четырех значений соз(лп/2) = 1, О, — 1, О и — 3(п(лл/2) = О, — 1, О, 1, которые периодически повторяются. (Подробности об этих особых опорных последовательностях см.
в разделе 13.1.) Для переноса спектра на нулевую частоту в действительности никакой смеситель (или умножитель) не нужен! После низкочастотной фильтрации последовательности т(п) и д(п) обычно прореживаются в два раза, чтобы уменьшить поток данных для последующей обработки. (Тема прореживания рассматривается в разделе 10.1.) При всех присущих ему преимуществах вы должны были обратить внимание на один недостаток этого метода квадратурной дискретизации с цифровым смешиванием: частота дискретизации 1", должна быть ровно в четыре раза больше центральной частоты сигнала 1" .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
