Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095938), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Во-вторых, т. к. мы знаем, что частотная характеристика дискретной системы периодична с периодом повторения, равным частоте дискретизации щ, мы будем вычислять интеграл на интервале, рйвном периоду повтрения с границами — и,/2 и +в, /2. В-третьих, мы разделим исходный интеграл на два отдельных интеграла. Эти математические манипуляции приводят к следующему результату: со, /г 0 Оэ~,'г Ь(Г) = (1/2л) г Н(го') ем'"~йш = (1/2л) г/ел'ийо + (1/2л) г — >е3 'йо— ю~,'г —,/г о 0 .
и~/г (1/2лгЯе)ш 1 ~е/шд~ ) = (1/2лг) (010 е — 3ш~о/г еУо~~/г + е)0) -ь /г о = ( 1/2лг)(2 — 2соз(еф/2)1 = ( 1/лг)(1 —, соз(иф/2) ) . (9-8) Скоро мы сможем начертить график этой импульсной характеристики, но сначала нужно преодолеть одно препятствие. Подстановка г = 0 в (9-8) может вызвать сердечный приступ, так как мы приходим к неопределенному отношению О/О. Здесь придется призвать на помощь чистую математику.
Чтобы получить Ь(0), мы просто извлекаем из памяти правило маркиза де Лопиталя, берем производные по времени от числителя и знаменателя (9-8), а затем подставляем г = О. Следующие выкладки подводят итог сказанному: Ь(0) - 1с о =~ьЬгът(ш4/2)/2л~ ~~ о =О. (9-9) 0/Й ~сох(и, г/2)1 ~г/Ь(лг) Таким образом, мы теперь знаем, что Ь(0) = О. Найдем дискретную версию (9-8), т. к.
именно ее можно промоделировать программно и использовать в практических системах ЦОС. Мы можем перейти к цифровой системе, подставив дискретную переменную пг, вместо непрерывной переменной времени г в (9-8). Вместо того чтобы в соответствии с традицией просто написать уравнение импульсной характеристики для прибора, который выполняет ПГ, мы покажем, как получить это выражение. Чтобы получить выражение для импульсной характеристики преобразователя Гильберта, мы берем обратное преобразование Фурье от частотной характеристики ПГ Н(ш). Одна из разновидностей непрерывного обратного преобразование Фурье произвольной функции частоты ХЯ по определению имеет вид: Используя следующие обозначения: с1 п =дискретный индекс вовременной области(..., — 3, — 2, — 1, О, 1,2 3, ...), /, = частота дискретизации в отсчетах в секунду, гк = период времени между отсчетами в секундах (Г, = 1Д,), ь1 ~, = 2~~„ мы можем переписать (9-8) в дискретной форме: й(п) = (1/лпт,)11 — соз(ы,пт,/2)) .
ПОдСтаВЛяя 2Л/л ВМЕСТО В, И 1//; ВМЕСТО Г„ПОЛуЧИМ: (9-10) Наконец, построим импульсную характеристику ПГ Ь(п) на рисунке 9.9. Член /л в (9-11) — просто масштабирующий множитель, его значение не влияет на форму й(п). Информированный читатель мог бы сейчас сказать: «Погодите минуту. Уравнение (9-11) выглядит совсем не так, как уравнение для импульсной характеристики, которое я нашел в другой книге по ЦОС. Которое из них правильно? ь И читатель будет прав, потому что в литературе популярно следующее выражение для 11(п); Ответ состоит в следующем.
Во-первых, вывод уравнения (9-12) основан на предположении, что частота дискретизации/«равна единице. Кроме того, если вы стряхнете пыль с вашего старого справочника по математике, то внутри него вы найдете тригонометрическое тождество: яп2(а) = [1 — соз(2а))/2. Если в (9-11) мы подставим 1 вместо/л и подставим 2яп2(лп/2) вместо ) 1 — сов(лп)), то мы увидим, что (9-11) и (9-12) идентичны. л п(п) Зл 2 ° ' ° ° Ф ° «в -1 ь -15 -10 -5 0 и 10 15 Рис. 9.9. Дискретная импульсная характеристика преобразования Гипьберта при 1, = 1 1, 0.5)- 0, Глава9.Диск етноеп еоб азованиеГильбе га 11(п) = ( 1/лпт«))1 — соз(2л/т п/2~,)) =~, /лп 11 — соз(лп)) .
(9-11) для п э~ О и ~Ь(п) = О, для п=О) . Альтернативная форма: п(п) = 2яп2(лп/2)/(лп) . (9-12) 9.4. П оекти ованиедиск етногоп еоб азователяГильбе та 371 Посмотрев снова на рисунок 9.9, мы можем усилить обоснованность нашего вывода Ь(л). Заметим, что при п > О значения Ь(л) отличны от нуля только для нечетных значений п. Кроме того, зти ненулевые значения уменьшаются как ряд чисел 1/1, 1/3, 1/5, 1/7 и т. д.
Что это вам напоминает? Правильно, ряд Фурье для периодического прямоугольного сигнала! Это не случайно, т. к. Ь(л) представляет собой обратное преобразование Фурье прямоугольной функции Н(вз), показанной на рисунке 9.2. Более того, Ь(п) антисимметрична, и это согласуется с тем, что Н(гз) — чисто мнимая. (Бели бы нам требовалось сделать Ь(п) симметричной, проинвертировав ее значения при п < О, новая последовательность была бы пропорциональна ряду Фурье действительного периодического прямоугольного колебания.) Теперь, когда мы имеем выражение для импульсной характеристики ПГ Ь(п), используем его для построения дискретного преобразователя Гильберта.
9.4. Проектирование дискретного преобразователя Гильберта Дискретное преобразование Гильберта может быть реализовано как во временной, так и в частотной области. Сначала рассмотрим преобразователь Гиль- берта во временной области. 9.4.1. Преобразование Гильберта во временной области: реализация в виде КИХ-фильтра Взгляните снова на рисунок 9.4. Имея Ь(п), мы хотим узнать, как получить дискретный сигнал х;(и). Вспомнив, что в (9-1) используется умножение в частотной области, мы можем сказать, что х;(л) образуется в результате свертки х„(л) с Ь(Ь). Аналитически зто выглядит так: х;(л) =,,~ Ь(Ь)х,(п — Ь).
(9-13) к -ао Это значит, что мы можем реализовать преобразователь Гильберта в виде дискретного нерекурсивного фильтра с конечной импульсной характеристикой (КИХ); как показано на рисунке 9.10. Рис.9.10. Реализация преобразователя Гильберта с К ответвлениями в виде КИХ-фильтра Зтг Глава9. иск етноеп еоб азованиеГильбе та Проектирование традиционного КИХ-преобразователя Гильберта сводится к вычислению значений Ь(Ь), благодаря чему становится возможной реализация схемы, приведенной на рисунке 9.4. А, может быть, просто взять коэффициенты Ь(л) согласно (9-11) или рисунку 9.9, и использовать их в качестве Ь(Ь) на рисунке 9.10? Это почти правильный подход.
К сожалению, последовательность Ь(п) на рисунке 9.9 имеет бесконечную длину. И все усилия при проектировании сосредоточиваются на выяснении того, как следует усекать Ь(л). Для начала мы должны решить, должна ли усеченная Ь(л) иметь четную или нечетную длину. Мы принимаем это решение, вспомнив, что реализации КИХ- фильтров, имеющих антисимметричные коэффициенты и нечетную или четную длину, называются системами П1 или 11т типа соответственно [1 - 3]. Частотные характеристики антисимметричных фильтров этих типов удовлетворяют непреодолимым ограничениям: Длина й(я) иечетпв (тип 111) Длина Ь(я) четпа (тпп1(т) ) Н(0)) - 0 .) Н(0)) - 0 ) Н(ш,/2)) = 0 ! Н(ш, /2)) без ограничений Эта маленькая табличка говорит нам, что амплитудно-частотная характеристика преобразователей Гильберта с нечетным числом ответвлений равна нулю как на частоте 0 Гц, так и на частоте, равной половине частоты дискретизации.
Преобразователи Гильберта с четным количеством ответвлений всегда имеют АЧХ, равную 0 на нулевой частоте. Рассмотрим несколько примеров. На рисунке 9.11 показана частотная характеристика КИХ-преобразователя Гильберта длиной в 15 ответвлений (Тип П1, нечетная длина), коэффициенты которого обозначены как Ь2(Ь). Эти графики могут многому научить нас. 64 ° О 2 4 6 « 6 10 12 14 -6 кио -16 -гуг г24 -г24 з 1 Ф -2 Ьи -г24 Рис. 9. 11.
Частотная характеристика Н,(ш) преобразователя Гильберта с 15 ответ- влениями, имеющего импульсную характеристику Л,(К) 9.4. П оекти оеаниедиек етногоп еоб азоеателя Гильбе та 373 1. Например, КИХ-реализация нечетной длины действительно имеет нулевую АЧХ на частотах О Гц и +/,/2 Гц. Это значит, что КИХ-реализации нечетной длины (П1-го типа) ведут себя как полосовые фильтры.' 2. Нт(щ) имеет пульсации в полосе пропускания. Нам следовало этого ожидать, т. к. мы не можем использовать последовательность Ь ~(Ь) бесконечной длины.
Здесь, точно так же, как и при проектировании стандартных КИХ-фильтров нижних частот, усечение импульсной характеристики во временной области приводит к появлению пульсаций в частотной области. (Когда мы резко обрываем функцию в одной области, Природа мстит нам, вводя в действие явление Гиббса, результатом которого являются пульсации в другой области.) Как вы, видимо, уже догадались, мы можем уменьшить пульсации (Н~(м) (, умножив усеченную последовательность Ьт(Ь) на окно.
Однако умножение коэффициентов на окно приведет к некоторому сужению полосы пропускания Нт(ш), поэтому может потребоваться увеличение количества коэффициентов. Попробуйте убедиться в том, что взвешивание усеченной последовательности Ь ~(Ь) окном дает положительный эффект. 3. Очень трудно рассчитать ПГ для низкочастотных сигналов. Мы можем несколько расширить полосу пропускания и уменьшить ширину переходной полосы Н~(о>), но это потребует существенного увеличения длины фильтра. 4.
Фазо-частотная характеристика Н~(ш) линейна, как и должно быть при симметричной импульсной характеристике. Наклон ФЧХ (который в нашем случае постоянен) пропорционален задержке, которую испытывает сигнал, проходя через КИХ-фильтр. Ниже мы поговорим об этом подробнее. Разрыв ФЧХ на частоте О Гц соответствует и радианам, как и должно быть в соответствии с рисунком 9.2. Отлично, это как раз то, чего мы добивались в первую очередь! В нашем неустанном стремлении к точным результатам при генерации аналитического сигнала х,(и) мы должны компенсировать линейный фазовый сдвиг, присутствующий в Йт(тл) — а именно, постоянную задержку во времени, равную групповой задержке фильтра. Мы делаем это, задерживая во времени исходный сигнал х,(и) на время, равное групповой задержке КИХ-преобразователя Гильберта с импульсной характеристикой Ьт(Ь). Напомним, что групповая задержка 6 КИХ-фильтра длиной в К ответвлений, измеряемая в отсчетах, равна 6 = (К вЂ” 1)/2 отсчетов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
