Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095938), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Следовательно, Р~ - 25 и Р2 = 4 представляют собой оптимальное решение. 386 Глава 1О. 17 еоб азованиечестотыдиск тизеции Практическая реализация процесса фильтрации/прореживания достаточно прозрачна. Возвращаясь к нашему примеру прореживания в Р = 3 раза, мы можеьг реализовать его в виде стандартного КИХ-фильтра с линейной ФЧХ на основе линии задержки с ответвлениями, показанного на рисунке 10.4, при этом мы вычисляем выходной отсчет у(л 1, задвигаем в линию задержки Р = 3 новых отсчетов х(л) и вычисляем следующий выходной отсчет у(л), задвигаем три новых отсчетах(п) и вычисляем следующий выходной отсчету(л ) и т.д. (Если коэффициенты нашего КИХ-фильтра нечетного порядка симметричны, так что Ь(4)- Ь(0) и Ь(3) - Ь(1), существует остроумный способ уменьшить необходимое количество умножений, описанный в разделе 13.7.) Рис.
10.4. Реализация фильтра прореживания Прежде чем покончить с этой темой, упомянем две необычные особенности прореживания. Во-первых, интересно отметить, что прореживание представляет собой один из тех немногих процессов, которые не инвариантны во времени. Исходя из природы процесса прореживания можно заключить, что если мы задержим входной сигнал на один отсчет, блок прореживания выдаст на выход совершенно другую последовательность.
Например, если мы подадим на вход блока прореживания последовательность х(п) = х(0), х(1), х(2), х(3), х(4), ... и Р - 3, выходной сигнал у(и) будет представлять собой последовательность х(0), х(3), х(6), .... Если же мы задержим входную последовательность на один отсчет, задержанный входной сигнал х '(л) будет выглядеть так: х(1), х(2), х(3), х(4), х(5), .... В этом случае выходная прореженная последовательность у'(л) будет содержать отсчеты х(1), х(4), х(7), ..., что не является задержанной версией у(п). Следовательно, процесс прореживания не инвариантен во времени. Во-вторых, прореживание не приводит к уменьшению амплитуды сигнала во временной области. Синусоида с размахом в 10 единиц сохраняет этот размах после прореживания.
Однако прореживание в Р раз вносит потери амплитуды в частотной области в Р раз. Предположим, что дискретное преобразование Фурье (ДПФ) от синусоидального сигнала х(п) длиной в 300 отсчетов есть |Х(т)). Если мы проредим х(л) в Р - 3 раза, получив синусоидальную последовательность х'(л) длиной в 100 отсчетов, амплитуда ДПФ сигнала х '(и) будет )Х'(т) ! - )Х(т) ~3. Это происходит потому, что модули отсчетов ДПФ пропорциональны количеству преобразованных отсчетов во временной области.
И в завершение позволим себе дать небольшой практический совет от инженера ЦОС: всегда, когда мы можем проредить сигнал без возникновения ошибок наложения из-за перекрытия копий спектра, разумно использовать прореживание. 10.2. Инте паля ия Понижение частоты дискретизацииД а снижает требуемую вычислительную мощность (количество операций в секунду); с1 снижает количество отсчетов во временной области, которые необходимо обработать — наши вычисления завершаются скорее, что позволяет нам обрабатывать более широкополосные сигналы; д позволяет уменьшить стоимость (за счет снижения тактовых частот) аппаратурных компонентов, используемых при аппаратурной реализации обработки; с) уменьшает потребляемую аппаратурой мощность (это важно в приборах с батарейным питанием); О позволяет увеличить отношение сигнал/шум за счет фильтрации сигнала (искаженного шумом), за которой следует прореживание.
Вывод: взвешивайте возможность прореживания сигналов всегда, когда оно представляется разумным. 10.2. Интерполяция Прореживание — это только одна сторона преобразования частоты дискретизации. Рассмотрим другую сторону — интерполяцию. Повышение частоты дискретизации с помощью интерполяции несколько сложнее, чем прореживание, поскольку при интерполяции необходимо вычислять значения новых отсчетов. Концептуально интерполяция состоит в генерации непрерывной кривой уг(г), которая проходит через точки, соответствующие значениям отсчетов х И(и), как показано на рисунке 10.5 (а), с последующей дискретизацией этой кривой с новой частотой дискретизации ~„,и для получения интерполированной последовательности х„(и) на рисунке 10.5 (Ь).
Конечно, непрерывные кривые не могут строиться цифровыми машинами, поэтому нам необходимо получать х (п) непосредственно из х,14(п). Для повышения заданной частоты дискретизации в М раз нам необходимо вычислить М-1 промежуточных значений между каждыми двумя соседними отсчетами х ~,~(п). Этот процесс абсолютно прямолинеен, и понять его лучше всего на примере.
Предположим, что мы имеем последовательность х,~,~(п), часть которой показана на рисунке 10.6 (а), и мы хотим увеличить частоту дискретизации в М - 4 раза. Спектр последовательности х Ы(п) приведен на рисунке 10.6 (а) в диапазоне от 0 Гц до 4У„и. Обратите, пожалуйста, внимание: штриховые линии на графике Х и(и) обозначают копии спектра. Чтобы повысить частоту дискретизации последовательности х м(п) в четыре раза, мы, как правило, добавляем три нуля между каждой парой отсчетов, как показано на рисунке 10.6 (Ь), в результате чего получаем новую последовательность х;„,(и ). Индекс 1пт означает 1пгегшейаСе, т.е.
промежуточная. Заметьте, что при п" = 4и значение хм,(и') = х,14(п), т. е. старая последовательность теперь включена в новую. Введение нулей устанавливает новые значения индексов последовательности интерполированных значений х;„(и ). звв Глава 10. П об азование частоты диск етизации, ~ х, (л) 1 и- в -- и а- м 0 (а) ~ х (л) и ° ем и ° и в 1 ° (Ь) О -1 и и ° ° Рис. 10.5.
Преобразование частоты дискретизации:(а) исходная последовательность;(Ь)последовательность,частотадискретизациикоторой увеличена в три раза (а) Время О Гю 2(ам З(м 4( м Частота (г,) (ь) Время О Геа 2Гое Зт и Г Частота (г,) (с) ВРемЯ О ~е„2(м Зтое Г „Частота (7,) т т Рис. 10.6. Интерполяция в четыре раза: (а) исходная дискретизированная последовательность и ее спектр; (Ь) введение нулей в исходную последовательность и результирующий спектр; (с) выходная последовательность интерполирующего фильтра и окончательный спектр интерполированной последовательности Спектр Хги (и) последовательности х;„х(и) показан на рисунке 10.6 (Ъ), где (яем-4(о(4. Составляющие спектра Х;„,(т), нарисованные сплошными линиями, центры которых расположены на частотах, кратных1о(4, называются изображениями. Добавив нули, мы просто повысили эффективную частоту дискретизации до (см.
рис. 10.6 (Ъ)). Последний шаг интерполяции состоит в том, чтобы отфильтровать последовательность х;аг(п ) фильтром нижних частот, амплитудно- частотная характеристика которого изображена на рисунке 10.6 (Ъ) штриховой линией на частотах вблизи 0 Гц нулем Гц, чтобы подавить изображения спектра. 389 10.3. Объединение п о ежиаания и инте поляции Этот фильтр нижних частот называется интерполирующим фильтром, а его выходная последовательность и есть требуемая х„,„(п ), показанная на рисунке 10.6 (с) и имеющая спектр Х„(т). Итак,мы сделали все, необходимое для внедрения нулей, интерполяции и фильтрации? Ну, не совсем — из-за того, что мы не можем реализовать идеальный фильтр нижних частот, х„, (и ) не будет точной интерполяцией последовательности х,~Яп).
Ошибка проявляется как остатки изображений в Х„ии(т). При использовании идеального фильтра эти остатков не было бы. Мы можем только аппроксимировать идеальный интерполирующий фильтр нижних частот. Важно помнить, что точность всего процесса интерполяции зависит от уровня подавления в полосе задерживания интерполирующего фильтра. Чем больше подавление, тем точнее интерполяция. Как и в случае прореживания, интерполяцию можно рассматривать как упражнение по проектированию фильтров нижних частот.
Обратите внимание на то, что из-за внедрения нулей процесс интерполяции приводит к потере амплитуды в М раз. Следовательно, чтобы обеспечить единичный коэффициент преобразования х ы(п) в х„и,(п ), фильтр интерполяции должен иметь коэффициент усиления, равный М. И еще один последний момент, относящийся к интерполяции. Вы можете впасть в заблуждение, думая, что интерполяция — порождение современной теории и применения цифровой обработки сигналов. (Например, она используется, когда мы повышаем частоту дискретизации музыкального сигнала перед подачей его на цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП), выходной сигнал которого подается далее на усилитель и громкоговоритель в проигрывателе компакт-дисков.
Такое повышение частоты дискретизации снижает стоимость аналогового фильтра, включенного на выходе ЦАП). Не стоит так думать. Древние астрономические клинописные таблицы (составленные в Уруке и Вавилоне за '200 лет до Рождества Христова) показывают, что для заполнения пропущенных клеток в таблицах положения небесных тел, когда атмосферные условия препятствовали прямым наблюдениям, использовалась линейная интерполяция [31. С тех пор интерполяция часто использовалась для заполнения пропущенных данных.
10.3. Объединение прореживания и интерполяции Хотя изменение частоты дискретизации в целое количество раз с помощью прореживания или интерполяции и может быть полезным, что делать, если нам необходим нецелый коэффициент преобразования частоты дискретизацииу Можно реализовать преобразование частоты дискретизации с любым рациональным коэффициентом М/Р путем последовательного выполнения интерполяции в М раз и прореживания в Р раз. Поскольку отношение М/Р можно получить с такой точностью, какую мы хотим, при правильном выборе целых М и Р, мы можем практически реализовать почти любое значение коэффициента преобразования.
Например, повышение частоты дискретизации с коэффициентом 7.125 можно выполнить путем интерполяции с М = 57 с последующим прореживанием в Р = 8 раз, т. к. 7. 125 = 57/8. Глава 10. П еоб азоввниечастотыдиск етизации Изменение частоты дискретизации с коэффициентом М/Р изображается в виде схемы, показанной на рисунке 10.7 (а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
