Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095938), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Гребенчатый каскад вычитает задержанный входной отсчет из текущего входного отсчета, а интегратор представляет собой просто аккумулятор, к которому на каждом периоде дискретизации добавляется новый отсчет. Разностное уравнение ИГФ имеет вид у(п) = х(п) — х(п — Р) + у(п — 1), (10-12) а его передаточная функция выглядит так Н,м(г) = [1 — г о]/[1 — г ~].
(10-13) Чтобы увидеть, чем интересен ИГФ, мы, прежде всего, исследуем его поведение во временной области для Р -5 по характеристикам, показанным на рисунке 10.15. Обратите внимание на то, что положительный импульс с выхода гребенчатого фильтра приводит к тому, что все отсчеты на выходе интегратора становятся равными единице. Затем, через Р отсчетов, отрицательный импульс с выхода гребенчатого фильтра обнуляет интегратор, все его последующие выходные отсчеты становятся равными О. Ключевым моментом здесь является то, что общая импульсная характеристика ИГФ представляет собой дискретный прямоугольный импульс, идентичный 400 Глава 10.
Г/ еоб азованиечастотыдиск етизации импульсной характеристике рекурсивного фильтра скользящего суммирования. (Фильтры скользящего среднего, рекурсивные фильтры скользящего суммирования и ИГФ вЂ” близкие родственники. Они имеют одинаковые карты нулей и полюсов в г-области, их АЧХ имеют одну и туже форму, их фазо-частотные характеристики идентичны, а их передаточные функции отличаются только постоянным масщтабирующим множителем.) АЧХ и ФЧХ ИГФ при Р -5 показаны на рисунке 10.16 (а), где частотная ось нормирована относительно входной частоты дискретизации/, = 1„п.
Вычисление передаточной функции Н„,(2) на единичной окружности, при 2 = еаза, дает частотную характеристику ИГФ вида Нос(еуш) = (1 е 1ш0)/(1 — е /ш) = = [е /шг//г(е/шг/!г — е ушг)/2)]/[е ла/2(е/ /2 — е /ш/2)] (10-14) Используя тождество Эйлера 2/яп(а) - е/и — е /", мы можем записать Н„,(е/ ) - (е /Мр/г/е /ш/г)[21яп(шР/2)/21яп(ш/2)] = = е /ш(г/ /)/г[5)п(шР/2)/5)п(ш/2)] . (10-15) Общая импульсная характеристика ИГФ Импульсная характериогика гребенчатого фильтра 1 ° Импульсная характеристика интегратора 1.5 ..
1 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° 0 ° ° ° ° ° ° ° ° -1/ 0.5 ( о) -О.5~в 'о о 5 9 Время 5 9 Время Время Рис. 10.15. Характеристики однокаскадного ИГФ во временной области при (х = 5 /кчх Фчх 4 к-плоскость .а г $0 -г -10 кт -го о Яейстаительная часть (8) (ь) (с) Рис. 10.16. Характеристики однокаскадного ИГФ при 0 = 5: (а) ЛАЧХ; (Ь) ФЧХ; (с) карта нулей и полюсов И в результате получаем ФНЧ с характеристикой вида яп(х)/х, центр которой расположен на частоте 0 Гц. (По этой причине ИГФ иногда называют 5(лс-филь- -зо -4 -/,/2 -/,/4 0 /,/4 /,/2 -/,/2 -/,/4 0 /,/4 Частота Частота 1.5 ~ 1 ° ° ° ° ° 0.5 ~ о! ° ° ° ° ° -0.5 ~ — — — —— 'О 5 9 1 йо и -1 10.5.
Каскадные ннгег то ы-г ебенчагые ильт ы 401 трами.) Расположение нулей и полюсов ИГФ в г-плоскости при Р = 5 приведено на рисунке 10.16 (с), при этом гребенчатый фильтр дает Р нулей, распределенных равномерно по единичной окружности, а интегратор дает единственный полюс, компенсирующий ноль в точке г = 1. Нули гребенчатого фильтра, которые являются корнями степени Р из 1, расположены в точках г(т) =е12тк/О, где т = О, 1, 2, ..., Р— 1, соответствующих нулям АЧХ на рисунке 10.16 (а). Рискованная, как правило, ситуация, когда полюс находится на единичной окружности, в данном случае не должна нас беспокоить, потому что передаточная функция Н,(г) не содержит ошибки, обусловленной квантованием коэффициентов. Коэффициенты ИГФ равны единице и в формате чисел с фиксированной запятой представляются без погрешности.
Хотя ИГФ является рекурсивным фильтром, он гарантированно устойчив, обладает линейной ФЧХ и имеет импульсную характеристику конечной длительности. Если мы рассмотрим модуль Нос(ел") из (10.15), мы можем определить коэффициент передачи нашего ИГФ на нулевой частоте. Положив в (10-15) в=О, мы имеем Коэффициент передачи ИГФ = ~Ное(е~ )) о =~з(п(0)/з(п(0)) =О/О. (10-16) Пусть эта неопределенность вас не беспокоит, мы можем применить к (10-16) правило маркиза де Лопиталя Коэффициент передачи ИГФ = [соз(шР/2)(Р/2)'/[соз(ш/2)(1/2)'1 = - [соэ(0)(Р/2))/[соз(0)(1/2)[ = Р.
(10-17) Таким образом, коэффициент передачи ИГФ для постоянной составляющей равен задержке гребенчатого фильтра Р. Этот факт будет важным для нас, когда мы захотим реализовать наш ИГФ в аппаратуре. ИГФ используются для антиэлайзинговой фильтрации перед прореживанием и для подавления изображений спектра интерполированных сигналов [21]. Хорошо запомнив все сказанное, поменяем порядок следования гребенчатого фильтра и интегратора, в котором они показаны на рисунке 10.14 (с), на обратный — мы имеем право сделать так, потому что оба фильтра линейны — и введем блок изменения частоты дискретизации в Я раз, получив схему на рисунке 10.17 (а).
(Предоставляем читателю самостоятельно доказать, что импульсная характеристика комбинации интегратор-гребенчатый фильтр, предшествующая изменению частоты дискретизации на рисунке 10.17 (а), равна импульсной характеристике фильтра, изображенного на рисунке 10.15 (с).) В большинстве применений ИГФ коэффициент преобразования частоты дискретизации Я принимается равным разностной задержке гребенчатого фильтра Р, но мы пока будем рассматривать эти параметры как независимые. Операция прореживания [ Я состоит в отбрасывании каждого Я-го отсчета, в результате чего выходная частота дискретизации равна /, т=/, ы /Я.
Чтобы исследовать подробнее поведение ИГФ в частотной областй, на рисунке 10.18 (а) показана ЛАЧХ ИГФ, предшествующего прореживанию, при Р =. 8. Требуемая полоса пропускания фильтра представляет собой полосу частот шириной В, центр которой расположен на нулевой частоте. Ключевым моментом для расчета ИГФ является заворачивание спектра, обусловленное прореживанием. 402 Глава 10. П еоб зование частотыдиск етиза ии Прорежиеание Интерполяция Интегратор Гребенчатый фильтр (а) ГРебенчатый Интегратор фильтр (Ь) Рис.
10.17. Использование однокаскадных КГИФ при: (а) прореживании; (Ь) ин- терполяции -10 (а) Я -20 -30 -/, ь/8 0 /* ь/8 /в и/4 3/з и/8 /э ~ /2 Частоте (перед прорежиеанием) -10 (ь) -20 -30 -/, /4 /. 72 (/„Лб) 0 /, /4 Частота (после прорежиеания) Рис. 10.18. АЧХ прореживающего ИГФ первого порядка с 0 = 8: (а) характеристика перед прореживанием„(Ь) характеристика и наложения после прореживания в Я = 8 раз На рисунке 10.17 (Ь) показан ИГФ, используемый для интерполяции, при этом символ 1 Я обозначает введение Я-1 нулей между парами соседних отсчетов исходной последовательности, в результате чего получаем частоту дискретизации выходного сигнала у(п), равную7аслг=Я/; /л. (В текущем обсуждении ИГФ интерполяция понимается как введение нулей с последующей фильтрацией.) На рисунке 10.19 (а) показан произвольный низкочастотный спектр сигнала, Затененные на рисунке 10.18 (а) полосы частот шириной В, центры которых расположены на частотах /т;л //Я, при прореживании в Я=В раз будут накладываться непосредственно на интересующий нас диапазон частот, как показано на рисунке 10.18 (Ь).
Заметьте, что уровень наибольшего накладываемого компонента примерно на 16 дБ ниже уровня компонента в интересующем нас диапазоне частот. Конечно же, уровни накладываемой энергии зависят от ширины полосы частот  — чем меньше В, тем мейьше уровень наложений после прореживания. 403 10.5. Каск ные инте ато ы-'г ебенчатые ильт ы подаваемого на интерполирующий ИГФ с (7 - Я - 8, показанный на рисунке 10.17 (Ь), с его копиями: Спектр выходного сигнала фильтра на рисунке 10.19 (Ь) показывает, как неидеальная фильтрация приводит к появлению нежелательных изображений спектра. После интерполяции мешающие изображения основного спектра шириной В расположены вокруг значений частоты, на которых АЧХ фильтра принимает нулевые значения и которые кратны частоте/', /Я.
Если мы после ИГФ включим обычный КИХ ФНЧ на основе линии задержки с ответвлениями, полоса подавления которого включает полосу первого изображения, мы можем достичь достаточно хорошего подавления изображений. „-то (а) -20 -зо -г.и 2(,и ЗГ„, Частота (перед интерполяцией) „, -то (И и -20 -30 -Г, ~,/8 0 г,,,(8 г,,,(4 зг, /8 б /2 Частота (после интерполяции) Рис. 10.19.
Спектры в случае интерполирующего ИГФ первого порядка, 0 = Я = 8: (а) спектр входного сигнала до интерполяции; (Ь) изображения выходного спектра 10.6.3. Улучшение подавления ИГФ Самый общий метод улучшения подавления ИГФ состоит в повышении его порядка М путем включение нескольких секций фильтра. На рисунке 10.20 показаны структура и ЛАЧХ прореживающего ИГФ третьего порядка (М - 3). Обратите внимание на то, что подавление в полосах частот вблизи )т(л /Я на рисунке 10.20 (Ъ) улучшилось по сравнению с фильтром первого порядка, показанным на рисунке 10.18 (а). Поскольку М = 3 секций ИГФ включены последовательно, общая АЧХ представляет собой произведение характеристик каскадов, или ) Н„с и ряЗ „м(ез ) ~ - ) з(п(от)9/2)/з(п(то/2) (М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
