Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095938), страница 86
Текст из файла (страница 86)
При измерении отношения сигнал/шум в децибелах мы имеем коэффициент улучшения когерентного усреднения, или интегрирования, равный Коэффициент улучшения ай Л(ЙВ) = 20 ' 1ов)о(5й~йооя) = 20 ° 1ой)оФУ) = 10 1ойго()ч) . (11-14) Формулы (11-13) и (11-14) также справедливы, если А характеризует уровень сигнала, а ога представляет стандартное отклонение исходного шума. Другой способ, с помощью которого можно определить коэффициент интегрирования, достигаемый при когерентном усреднении, состоит в рассмотрении стандартного отклонения входного шума а;а и вероятности получения того или иного конкретного значения амплитуды импульса, показанного на рисунке 11.1.
Предположим, что мы выполнили множество отдельных измерений амплитуды импульса и построили гистограмму измеренных значений, получив график, изображенный штриховой линией на рисунке 11.2. Вертикальная ось на рисунке 11.2 представляет вероятность получения измеренного значения амплитуды импульса, откладываемого по горизонтальной оси. Если шум подчиняется хорошо известному нормальному, или Гауссовому, распределению, то распределение вероятностей, изображаемое штриховой линией, описывается формулой г 1/(о 1/чя)]е — (а — а) г/2ог Ке — (а — а) г/2ог (11-15) где о = о;а, а истинная амплитуда импульса соответствует р = 2.5.
По штриховой кривой мы видим, что любое измеренное значение с наибольшей вероятностью будет расположено близко к истинной амплитуде импульса, равной 2.5. Заметьте, однако, что существует ненулевая, вероятность получения таких значений, как 1.0 или 4.0. Будем говорить, что штриховая линия представляет распределение вероятностей смеси импульса с шумом, показанной на рисунке 11.1 (а). Если мы усредним 32 отсчета этой смеси и построим кривую распределения вероятностей усредненных измерений, мы получим график, начерченный сплошной линией на рисунке 11.2.
Эта кривая характеризует отсчеты смеси импульса с шумом, показанные на рисунке 11.1 (Ъ). По этой кривой мы видим, что после усреднения вероятность получить значение меньше 2.0 или больше 3.0 очень мала. 417 11.1. Коге ентное с еднение О,в ое оа ог 2.0 з.о а 0 Измаранная амплитуда(х] Рис. 11.2. Графики функций плотности вероятности измеренных амплитуд без усреднения (И = 1) и при усреднении И = 32 отсчетов Из (11-9) мы знаем, что стандартное отклонение результата усреднения 32 отсчетов сигнала равно (11-16) оаае = о1л ф32 = о1л /5 б5 На рисунке 11.2 мы можем видеть уменьшение стандартного отклонения в результате усреднения со статистической точки зрения. Использование для вычисления среднего большего количества отсчетов сожмет сплошную кривую на рисунке 11.2 еще больше вокруг значения 2.5, т.
е. истинной амплитуды импульса'. Возвращаясь к зашумленному сигналу на рисунке 11.1 и выполняя когерентное усреднение для разных значений Ю, мы видим на рисунке 11.3 (а), что с ростом Жусредненная амплитуда импульса приближается к истинному значению амплитуды 2.5. Рисунок 11.3 (Ь) показывает, как быстро уменьшается дисперсия шума при увеличении У. Проиллюстрировать уменьшение дисперсии с ростом У можно и другим способом: постройте график мощности шума в логарифмическом масштабе, как на рисунке 11.3 (с).
На этом графике дисперсия шума нормирована относительно дисперсии шума без усреднения, т.е. при Ж = 1. Обратите внимание на то, что наклон графика на рисунке 11.3 (с) довольно точно соответствует предсказанию (11-13) и (11-14): когда Ж увеличивается в 10 раз, мощность усредненного шума уменьшается на 10 дБ. Хотя тестовый сигнал в данном случае представляет собой импульс, выражения (11-13) и (11-14) будут справедливы и для синусоидального сигнала.
Кривые на рисунке 11.2 для удобства нормированы. Согласно (11-15) при и = 1 для У = 1 получаем К = 03989. В случае М = 32 новое стандартное отклонение равно с ' = а/~/У - 1/ут32, и К = 03989 ут32 =2.23. 418 Глава 1!. Ус еднение сигналов (а) 2.50 г.45 г.яо Дисперсия, о г 0.9 о.в 0.7 о.в ол (ь) 0.4 о.з 0.2 ол о -О.т ' О 1ОО вь Средняя мощность шума (дБ) о ° -1О (с) .15 -го -25 -ЗО 1 10 1ОО Рис. 11.3. Результаты усреднения смеси импульса с шумом: (а) измеренная амплитуда в зависимости от И: (Ь) дисперсия амплитуды в зависимости от И; (с) мощность шума в зависимости от И в логарифмическом масштабе 11.2.
Некогерентное усреднение Процесс некогерентного усреднения (известного также как среднеквадратичное, последетекторное, скалярное или видео-усреднение) представляет собой усреднение отсчетов сигнала в случае, когда на временные соотношения дискретизации не накладываются никакие ограничения; т. е. интервалы измерения сигнала никак не синхронизированы с фаз()й измеряемого сигнала.
Подумайте, каким будет среднее значение зашумленного импульса, приведенного на рисунке 11.1 (а), если мы не будем синхронизировать какнм-то образом начало накопления отсчетов с началом 419 11.2 Некоге нтное с едненне импульса. В результате мы получим импульсы, которые начинаются в разные моменты в разных наборах отсчетов.
Усреднение множества наборов отсчетов размажет импульс по набору отсчетов, или попросту «задавит сигналк (Для читателей, знакомых с использованием осциллоскопа, некогерентное усреднение похоже на попытку увидеть импульс, когда начало развертки не синхронизировано с сигналом.) По этой причине некогерентное усреднение во временной области приносит мало пользы'. В частотной области, однако, все не так, потому что некогерентное усреднение может увеличить точность измерения относительного уровня сигнала. Действительно, некогерентное усреднение используется во множестве измерительных приборов, таких как анализаторы спектра, анализаторы сетей и анализаторы сигналов.
В некоторых аналоговых измерительных приборах сигналы представляются в частотной области с помощью узкополосного фильтра, средняя частота которого пробегает весь исследуемый диапазон частот, и детектора мощности. Эти приборы измеряют мощность сигнала как функцию частоты. Детектор мощности необходим, поскольку изменение частоты не синхронизировано по времени с Измеряемым сигналом. Следовательно, данные, полученные таким образом в частотной области, представляют только мощность и не содержат никакой информации о фазе сигнала.
Хотя в этом случае улучшать входное отношение сигнал/шум уже поздно, некогерентное усреднение может улучшить точность измерения мощности сигнала в присутствии шума, т. е., если спектр мощности сигнала очень зашумлен, мы можем уменьшить флуктуации оценок мощности и улучшить точность измерения мощности сигнала и шума. Рисунок 11.4 (а) иллюстрирует эту идею, на нем мы видим мощность (квадрат модуля) отсчетов БПФ основного тона и нескольких его гармоник, маскируемых шумом. Обратите внимание на то, что уровни мощности шума на рисунке 11.4 (а) изменяются почти на 20 дБ относительно истинной средней мощности шума, показанной штриховой линией на уровне — 19 дБ.
Если бы берем 10 БПФ, усредняем квадраты их модулей и нормируем эти значения, мы получаем спектр мощности, показанный на рисунке 11.4 (1!). Здесь мы уменьшили дисперсию шума в спектре, но не улучшили отношение мощности гармонических сигналов к мощности шума; т. е. средний уровень мощности шума не изменился. Усреднение квадратов модулей ста БПФ дает спектр, показанный на рисунке 11.4 (с), который обеспечивает более точное измерение относительных уровней мощности гармоник. Аналогично тому, как мы получили выражение для коэффициента улучшения когерентного интегрирования (11-14), мы можем выразить коэффициент улучшения некогерентного интегрирования 5А1К!ем Ь через отношение сигнал/шум в дБ следующим образом Коэффициент улучшения 5ММы«оь = 10 ° 1ой1о(~1М) . (11-17) ! Термин некогерентное усреднение несколько неудачен. Усреднение данных это не более, чем усреднение — мы складываем набор значений данных и делим сумму на количество отсчетов в наборе.
Некогерентное усреднение оледовала бы, вероятно, назвать усреднением данных, полученных некогерентно. 4гр Глава 11. Ус еднение сигналов (а) -1 стенная средняя щнасть штие -зо 0 10 20 30 40 50 60 Частота -1 (ь) -1 -25 0 10 20 50 60 Частота ЗО 40 (с) -25 0 10 20 ЗО 40 50 60 Рис. 11.4. Результат усреднения спектра для смеси гармоник с шумом: (а) без усреднения И = 1; (Ь) И = 10; (с) И = 100 Соотношение (11-17) применимо, когда усредняемая величина представляет собой мощность сигнала.
Поэтому мы использовали в (11-17) коэффициент 10 вместо 20 в (11-14)'. Мы можем сравнить коэффициенты улучшения (11-14) и (11-17), построив графики этих выражений на рисунке 11.5. 1 В разделе Е.1 приложения Е приводится объяснение того, почему при измерении мощности сигналов мы используем коэффициент 10, а при работе с амплитудами — коэффициент 20. 11.3. Ус еднение ез льгатовбыст огоп еоб азованияФ ье 421 :зо 2О 1О о 101 1ОЗ 1О4 то 3 4ОО И Рис. 11.5.
Коэффициент улучшения отношения сигнал/шум при обработке во временной области согласно (11-14) и при обработке в частотной области согласно (11-17) как функция И 11.3. Усреднение результатов быстрого преобразования Фурье В разделе 3.12 мы обсуждали коэффициент улучшения, связанный с ДПФ, и установили, что мы можем повысить его, увеличив количество точек Ж-точечного ДПФ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
