Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095938), страница 73
Текст из файла (страница 73)
На практике значение 41с может оказаться обескураживающе большим. К счастью, мы можем воспользоваться особенностями полосовай дискретизации для снижения частоты дискретизации. Вот вам пример: рассмотрим действительный аналоговый сигнал, центральная частота которого составляет 50 'МГц, показанный на рисунке 8.24 (а). Вместо того чтобы 369 Библиог а ия дискретизировать этот сигнал с частотой 200 МГц, мы используем полосовую дискретизацию и в соответствии с (2-13) при то44 = 5 установим частоту дискретизации, равную 40 МГц.
Это приводит к тому, что одна из копий спектра дискретного сигнала )Х(т) ~ переносится на частоту/;/4, как показано на рисунке 8.24 (Ь), чего мы и добивались. Выходной сигнал АЦП х(п) теперь готов для комплексного понижающего преобразования на 1; /4 (10 МГц) и цифровой фильтрации. (а) ЗО Частота (мгц) (ь) -то о то Зо Частота ((44) (мгч) -00 Рис. 8. 24. Эффекты полосовой дискретизации, используемые для понижения частоты дискретизации при квадратурной дискретизации с цифровым смешиванием: (а) спектр входного аналогового сигнала; (Ь) спектр на выходе АЦП В разделе 13.1 описан остроумный прием снижения вычислительной сложности фильтров нижних частот, использованных на рисунке 8.22, когда этот метод понижающего преобразования на/, /4 используется вместе с прореживанием в два раза. Библиография 1: 81гп()г, Р. А Сопс(зе Нитогуо/Мат)тетпанст, Роттег РпЫ(сат(опз, Хетс Уог)г, 1967 (неоднократно издавались русские переводы, например: Стройк Д.
Я. Краткий очерк истории математики. М. Наука, 1990, 256 с.). 2. Вегйапппй Р. Маг!)етаг!сз, 1.!!е 8с(енсе !.!Ьгагу, Типе 1пс., Хетч Уог)(, 1963. 3. 1 ечт(зЛ ').,е(ат. Егпеаг5узтепиАпа!уяз, МсСгач-Н!111пс.,Хетп Уота, 1969, р. 193. 4. 80Ьи'агГг, М. Уп~оппабоп, Ггапзтияоп„Мат!и)абоп, апт! )т7оие, МсСгаът-Н!11 !пс., Хе~ч Уота, 1970, р. 35. 3. Сопз!с))пе, Ъ". «Р!8(га! Сощр!ех 8ащр!!п8», Е!есггоп!сзЕеггетз, 19, Апйпзт 4,1983. Глава 9 Дискретное преобразование Гильберта Дискретное преобразование Гильберта представляет собой процедуру, используемую для генерации комплексных сигналов из действительных сигналов. Использование комплексных сигналов вместо действительных упрощает многие операции обработки сигналов и повышает их эффективность.
Если вы читали о дискретном преобразовании Гильберта в книгах по ЦОС, вы, вероятно, с трудом продирались сквозь математические описания аналитических функций с ограничениями на их г-преобразования в областях сходимости и, возможно, встречали интегральную теорему Коши, используемую в определении преобразования Гильберта'. В действительности дискретное преобразование Гильберта не так сложно, как кажется в первый раз, и в этой главе делается попытка подтвердить данное заявление.
Здесь мы вводим преобразование Гильберта с практической точки зрения, объясняем математические основы его описания и показываем, как оно используется в системах ЦОС. В дополнение к изложению некоторых аналитических выкладок, отсутствующих в ряде учебников, мы покажем характеристики преобразования во временной и частотной областях с упором на физический смысл квадратурных (комплексных) сигналов, связанных с применениями преобразования Гильберта.
В конце приводятся примеры проектирования нерекурсивного преобразователя Гильберта и примеры генерации комплексных, так называемых аналитических, сигналов. (Если вы не слишком сведущи в описании и поведении комплексных сигналов, здесь было бы полезно просмотреть главу 8.) 1 Преобразование Гнльберта названо в честь великого немецкого математика Давида Гнльберта (1862-1943). На его могиле в Геттингене, Германия, написано «'»т'1г швзэеп бачк«ев, ъчг ъ ег8ев ъчээеп.» (Нам необходимо знать, мы будем знать.) 362 Глава 9.Диск етноеп еоб азование Гульбе та 9.1.
Определение преобразования Гильберта Как показано на рисунке 9.1, преобразование Гильберта (ПГ) — это математическая процедура, выполняемая над действительным сигналом х„(Г) и дающая новый действительный сигнал з)к(Г). При этом наша цель состоит в том, чтобы х~ф) представлял собой сдвинутую по фазе на 90' версию сигнала х1(г). Итак, прежде чем двигаться дальше, убедимся в том, что мы понимаем обозначения, использованные на рисунке 9.1. Переменные определены следующим образом: О х„(Г) = действительный непрерывный входной сигнал во временной области; а Ь(г) = импульсная характеристика преобразователя Гильберта; х (г)= ПГх„(г), (х~,(г) — тоже действительный сигнал во временной области); а Х,(ш) = преобразование Фурье действительного входного сигнала х„(г); а Н(ш) = частотная характеристика (комплексная) преобразователя Гиль- берта; О Х1к(ш) = преобразование Фурье выходного сигнала хл (Г); ~з ш - непрерывная частота в радианах в секунду; Г = непрерывное время в секундах.
Мы покажем, что хь (г) = л(г)+хт(г), где символ * обозначает свертку. Кроме того, мы можем определить спектр хь (г) как Хм(ш) = Н(ш)Х„(ш). (Конечно, эти соотношения делают ПГ похожим на фильтр, не так ли? Мы поразмышляем об этом позже в данной главе.) Самое короткое описание того, чем отличается новый сигнала)я(г), ПГ сигнала х„(г), от исходного сигнала х,(г), можно получить, связав преобразования Фурье этих сигналов Х„(ш) и Хл (ш).
Выражая это описание словами, мы можем сказать, что все компоненты хЬт(Г) с положительными частотами равны компонентам хт(Г) с положительными частотами, сдвинутым по фазе на -90'. А все компоненты з) (Г) с отрицательными частотами равны компонентам х,(Г) с отрицательными частотами, сдвинутым по фазе на +90'. Напомним: Хы(ш) Н(ш)Хт(ш) (9-1) где Н(ш) = — у для положительных частот и Н(ш) = у для отрицательных частот. Отличная от 0 мнимая часть Н(ш) показана на рисунке 9.2 (а). Чтобы полностью описать комплексную Н(ш), на рисунке 9.2 (Ъ) мы представляем ее плавающей в трехмерном пространстве.
Толстая линия изображает рассматриваемую комплексную Н(ш). В правой части расположена вертикальная плоскость, на которую мы можем проецировать мнимую часть Н(ш). 9.1. Оп еделениеп еоб азованияГильбе та 363 Рис. 9.1. Обозначение, используемое для определения непрерывного преобразования Гильберта Мнимая часть Н(м) Мнимая ф ось 21 Мнимая часть Н(и) 1. +1 О -1 ' О -2 Частота -1 -Частота -- .
ь .—. +2 ельне" +Частота " -2 ', ~ ось Действительная (а) часть Н(м) Рис. 9.2. Комплексная частотная характеристика Н(ок) В нижней части рисунка 9.2 (Ь) показана горизонтальная плоскость, на которую мы можем проецировать действительную часть Н(ш). В терминах декартовых координат мы говорим, что Н(ок) = О +11для отрицательных частот и Н(со) = Π— 11 для положительных частот. (Мы вводим трехмерные оси на рисунке 9.2 (Ь) потому, что позже мы будем использовать их для рассмотрения других комплексных функций в частотной области.) Чтобы привести простой пример ПГ и укрепить нашу графическую точку зрения, мы показываем на рисунке 9.3 (а) трехмерные представления действительного косинусоидального сигнала соз(окг) во временной и частотной областях.
Рисунок 93 (Ъ) показывает, что ПГ соз(окг) дает синусоидальный сигнал з)п(оку). Мнимая ействительная ось ействительная ось (а) Действи косинусе Время Частота ействительная ось ействительная ось (ь) Действи синусоида Время Частота Рис. 9.3. Преобразование Гильберта: (а) соз(оку); (Ь) его преобразование з)п(скт) 364 Глава 9. иск етное и еоб азование Гульбе та Комплексный спектр в правой части рисунка 9.3 (Ь) демонстрирует, как ПГ поворачивает компонент косинусоидального сигнала с положительной частотой на — ), а его компонент с отрицательной частотой — на +у. Вы можете убедиться в том, что по нашему определению операция умножения на +1 есть просто поворот спектрального компонента на+90' против часовой стрелки вокруг частотной оси. (Длина вектора спектрального компонента равна половине амплитуды исходного косинусоидального сигнала.) Мы предполагаем, что синусоиды в правой части рисунка 9.3 существуют для всех значений времени, и это позволяет нам изображать их спектр в виде бесконечно узких импульсов в частотной области.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
