Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Некогерентное интегрирование по отношению к БПФ представляет собой усреднение соответствующих модулей бинов нескольких БПФ, т. е, для некогерентного усреднения я результатов БПФ нулевой бин некогерентного среднего БПФ вычисляется как Гысоь(0) = ()Гт(0) ~ + )Гу(0) ( -' )Гу(0) ) + ... + )Гь(0) ()/а, (11-18) где 1Г„(0) ~ — модуль нулевого бина п-го результата БПФ. Аналогично, первый бин некогерентно усредненного спектра, Гьм ь(1), вычисляется как Глава 11. Ус еднение сигналов 422 г"' 01(1) =()г1(1)( + (Гг(1)( + (Г~(1)( +- + (Г)(1)))/А' (11 18) и т.
дн до последнего бина, гти„ь(Ж вЂ” 1), который вычисляется как Р(,„()У-1) =((~1(й(-1)(+ (~Я1~-1)(+ (РЗ()У-1)(+... + (~,()У-1)()~(, (11-18") стнннея редняя щнссть ме (е) Щ5 -20 -25 -3О о 30 40 50 60 т 40 го Истнннея средняя щнссть ме мо (ь) що -го -30 ос 0 20 30 40 50 60 т Рис. 1 1.6. Модули отсчетов отдельного БПФ (серая линия) и результат усреднения модулей десяти БПФ (черная линия): (а) частота тона совпадает с центром бина; (Ь) частота тона находится между центрами бинов Некогерентное интегрирование дает уменьшение шума, которое усиливает улучшение, присущее самому БПФ.
Мы можем показать зто на рисунке 11.6 (а), где серой линией показан результат отдельного БПФ смеси тона с частотой, соответствующей 16-м„бину 64-точечного БПФ, с шумом. Черная линия на рисунке 11.6 (а) отображает результат некогерентного интегрирования модулей десяти отдельных 64-точечных БПФ. Оба графика нормированы относительно своих пиковых значений, так что максимальное значение равно 0 дБ.
Обратите внимание на то, что изменения мощности шума на черном графике уменьшились в результате усреднения десяти БПФ. Уровень мощности шума, изображаемый черной линией, флуктуирует не так сильно, как уровень шума, изображаемый серой линией. Использовав усреднение, мы не увеличили мощность тона в 16-м бине, но мы уменьшили пиковые значения мощности шума. Чем больше количество усредняемых результатов БПФ, тем теснее значения шумовых бинов группируются вокруг истинного среднего уровня мощности шума, показанного штриховой линией на рисунке 11.6 (а). 11.3.
Ус днение ез льтатов быст ого п еоб взования Ф ье 423 Когда частота тона не совпадает с центром бина, некогерентное усреднение тоже уменьшает флуктуации шумовых бинов БПФ. Серая линия на рисунке 11.6 (Ъ) показывает результат отдельного БПФ смеси шума и тона, частота которого отстоит на одинаковую величину от центров 16-го и 17-го бинов 64-точечного БПФ. Черная кривая на рисунке 11.6 (Ь) показывает результат усреднения десяти БПФ.
Вариации мощности шума, демонстрируемые черной линией, и в этом случае были уменьшены благодаря интегрированию десяти БПФ. Следовательно, некогерентное интегрирование уменьшает флуктуации мощности шума независимо от частоты сигнала. Как и следовало ожидать, на рисунке 11.6 (Ь) пики сигнала шире, а истинная мощность шума выше, чем на рисунке 11.6 (а), потому что утечка спектра повышает средний уровень мощности шума, а гребешковые потери уменьшают уровень мощности бинов БПФ на рисунке 11.6 (Ь). Следует запомнить, что некогерентное усреднение модулей отсчетов БПФ уменьшает вариации мощности шума, но не уменьшает его среднюю мощность.
Уменьшение дисперсии шума 16] при некогерентном усреднении )г результатов БПФ по отношению к дисперсии шума отдельного БПФ аналогично результату, полученному в разделе 11.2, и выражается как а ЙБПФ/о дяоБПФ = 1/е . (11-19) Временной ' 3 „„. ч — — в.вве т в — — -» р"д 1-е БГ1Ф 1 — — 1 2-еБПФ т — 1 3-е БПФ 1 4-е БПФ 1 — 1 Время Н отсчетов 10-е БПФ~ — -1 Рис. 11.7. Входные последовательности БПФ с 50 % перекрытием Соответственно, если мы усредняем модули А отдельных БПФ, мы уменьшаем дисперсию шума в Й раз. На практике, когда усредняются несколько БПФ, а входные последовательности БПФ сглаживаются окном, входные последовательности обычно берутся с перекрытием во временной области.
Это показано на рисунке 11.7 для интервала накопления длительностью 5.5№, секунд, когда мы хотим усреднить десять результатов Ж-точечных БПФ, при этом г, — период дискретизации (1/1;). Поскольку входные последовательности БПФ формируются во временной области с 50 % перекрытием, некоторая часть шума, содержащаяся в М отсчетах, подготовленных для первого БПФ, будут содержаться также и во втором БПФ. Возникает вопрос «Каким будет уменьшение дисперсии шума, когда некоторая часть шума присутствует в результатах двух БПФ7» Ответ на этот вопрос зависит от используемого окна.
Было показано, что для наиболее распространенных окон при использовании перекрытия на 50 % или меньше выражение (11-19) остается справедливым (7). 424 Глава 11. Ус еднение сигналов Улучшение когерентного интегрирования возможно, когда мы усредняем отдельно действительные и мнимые части бинов нескольких БПФ, а затем объединяем среднюю действительную часть и среднюю мнимую часть в один средний комплексный бин; т. е. для когерентного усреднения результатов 1 отдельных БПФ нулевой бин комплексного когерентного среднего БПФ, Г»в»(0), вычисляется как Г (О) гГ1(0) Г2(0) Рз(0) - Гь(0) 1]/М +ЯГ1(0);»,~+ Г2(0)»в + ГЗ(0);,» + ...
+ Г1,(0);,» ]/1г. (11-20) Первый бин комплексного когерентного среднего БПФ, Г»»»(1), равен Г„ь(1) = 1Г1(1) 1+ Г2(1)„„1+ Гг(1)„„1+ -. + Гь(1),1]/й+ "АГ1(1)1а +Г2(1)1 Гз(1)1жах+-+Гь(1)1 и]/а (11-20') и т. д. до последнего бина, Г»»ь(М-1), который вычисляется как Гто»(А1 1) =%(А1 1)те»1 + Г2(А/ 1)тв»1 + ГЗ(А 1)твв! + '" + Г»Р/ 1)тгаИ + +ДГ1(Х вЂ” 1)Ь» + Г2(Ж вЂ” 1);„+ Гу(М вЂ” 1);„„+ ... + Гь(Х вЂ” 1);,„- ]~%, (11-20") Давайте подумаем, почему улучшение интегрирования, получаемое в результате когерентного усреднения, полезнее улучшения интегрирования от некогерентного усреднения. Некогерентное интегрирование не уменьшает средний уровень мощности шума, но оно уменьшает вариации уровня мощности шума, поскольку мы работаем только с модулями отсчетов БПФ, и все бины БПФ, содержащие щум, положительны.
Следовательно, нх среднее значение никогда не будет нулевым. С другой стороны, когда мы усредняем комплексные бины БПФ, комплексные шумовые бины могут быть как положительными, так и отрицательными. Эти положительные и отрицательные значения действительных и мнимых частей будут компенсировать друг друга.
Это значит, что средние шумовые бины могут оказаться близкими к 0 до того, как мы будем вычислять их модули, в то время как усредненные сигнальные бины будут приближаться к истинному ненулевому значению. Если мы говорим, что отношение сигнал/шум когерентно усредненного БПФ определяется выражением ЯМг», » = 20 ° 10810(модуль сигнального бина/модуль шумового бина), (11-21) мы можем видеть, что при уменьшении знаменателя этого выражения 5Атгг', » повышается. Посмотрим на пример когерентного интегрирования на рисунке 11.8 (а), где серой линией показан результат отдельного БПФ суммы шума и тона, частота которого совпадает с центром 16-го бина 64-точечного БПФ. Черная линия на рисунке 11.8 (а) представляет результат когерентного интегрирования десяти 64-точечных БПФ.
Обратите внимание, насколько уменьшился средний уровень мощности шума'. Это результат когерентного интегрирования. Чем больше количество усредняемых БПФ, тем сильнее уменьшается средняя мощность шума. Наблюдательный читатель может здесь сказать; «Постойте. Кажется, когерентное иптегрирование уменьшает средний уровень мощности шума, но не похоже, чтобы оно уменьшало вариации мощности шума.» Вариации уровня мощности шума в действительности уменьшились по амплитуде — помните, что мы используем логарифмический масштаб.
Амплитуда вариаций мощности шума от -20 дБ до -30 дБ меньше, чем амплитуда вариаций от -10 дБ ло -20 лБ. 425 11.3. Ус еднение ез льтетов быст ого и еоб азования Ф ье Когда частота тона не совпадает с центром бина, когерентное интегрирование тоже уменьшает средний уровень шума, но не в такой степени, как в случае, когда частота тона совпадает с центром бина.
Серая кривая на рисунке 11.8 (Ъ) представляет результат отдельного БПФ суммы случайного шума и тона, частота которого лежит посредине между центрами 16-го и 17-го бинов 64-точечного БПФ. Соответственно, черная линия на рисунке 11.8 (Ь) показывает результат когерентного усреднения десяти БПФ. Средний уровень мощности шума и в этом случае уменьшился. Когерентное интегрирование обеспечивает наибольшее улучшение, когда частота дискретизации /; кратна частоте тона, который мы пытаемся обнаружить. В этом случае тон всегда будет иметь одну и ту же фазу в начале всех интервалов взятия отчетов для отдельных БПФ. Следовательно, частоту дискретизации /; следует выбирать так, чтобы частота интересующего нас тона (мы предполагаем, что она не меняется в процессе измерения) совпадала с центром одного из бинов БПФ.
При когерентном усреднении нескольких БПФ помните о двух моментах. Во-превых, если случайный шум, искажающий сигнал, имеет ненулевое среднее, в усредненном спектре будет присутствовать ненулевой отсчет нулевой частоты Г ь(0). Усреднение, конечно же, не уменьшит уровень этого бина.
Во-вторых, когерентное интегрирование может уменьшить отношение сигналт'шум, если обнаруживаемый сигнал имеет случайную начальную фазу относительно начала интервала взятия отсчетов для отдельного БПФ. Вот вам пример такой ситуации: серая линия на рисунке 11.8 (с) демонстрирует результат отдельного БПФ смеси шума и тона, частота которого совпадает с центром 16-го бина 64-точечного БПФ. Черная линия на рисунке 11.8 (с) представляет результат когерентного усреднения десяти отдельных 64-точечных БПФ. Но для каждого из этих десяти БПФ в тон вносился случайный сдвиг фазы.
Обратите внимание на то, что средний уровень мощности шума в усредненном спектре выше, чем средний уровень мощности шума в результате отдельного БПФ. Когда начальная фаза тона меняется случайным образом, мы ухудшаем, а не улучшаем, отношение сигнал/шум, потому что входной тон в этом случае не синхронизирован с частотой анализа бина БПФ. Существует наглядное объяснение того, почему когерентное интегрирование ведет себя таким образом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
