Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Нули гребенчатого фильтра, которые являются корнями степени Р из 1, расположены в точках г(т) =е12тк/О, где т = О, 1, 2, ..., Р— 1, соответствующих нулям АЧХ на рисунке 10.16 (а). Рискованная, как правило, ситуация, когда полюс находится на единичной окружности, в данном случае не должна нас беспокоить, потому что передаточная функция Н,(г) не содержит ошибки, обусловленной квантованием коэффициентов. Коэффициенты ИГФ равны единице и в формате чисел с фиксированной запятой представляются без погрешности. Хотя ИГФ является рекурсивным фильтром, он гарантированно устойчив, обладает линейной ФЧХ и имеет импульсную характеристику конечной длительности.
Если мы рассмотрим модуль Нос(ел") из (10.15), мы можем определить коэффициент передачи нашего ИГФ на нулевой частоте. Положив в (10-15) в=О, мы имеем Коэффициент передачи ИГФ = ~Ное(е~ )) о =~з(п(0)/з(п(0)) =О/О. (10-16) Пусть эта неопределенность вас не беспокоит, мы можем применить к (10-16) правило маркиза де Лопиталя Коэффициент передачи ИГФ = [соз(шР/2)(Р/2)'/[соз(ш/2)(1/2)'1 = - [соэ(0)(Р/2))/[соз(0)(1/2)[ = Р. (10-17) Таким образом, коэффициент передачи ИГФ для постоянной составляющей равен задержке гребенчатого фильтра Р.
Этот факт будет важным для нас, когда мы захотим реализовать наш ИГФ в аппаратуре. ИГФ используются для антиэлайзинговой фильтрации перед прореживанием и для подавления изображений спектра интерполированных сигналов [21]. Хорошо запомнив все сказанное, поменяем порядок следования гребенчатого фильтра и интегратора, в котором они показаны на рисунке 10.14 (с), на обратный — мы имеем право сделать так, потому что оба фильтра линейны — и введем блок изменения частоты дискретизации в Я раз, получив схему на рисунке 10.17 (а). (Предоставляем читателю самостоятельно доказать, что импульсная характеристика комбинации интегратор-гребенчатый фильтр, предшествующая изменению частоты дискретизации на рисунке 10.17 (а), равна импульсной характеристике фильтра, изображенного на рисунке 10.15 (с).) В большинстве применений ИГФ коэффициент преобразования частоты дискретизации Я принимается равным разностной задержке гребенчатого фильтра Р, но мы пока будем рассматривать эти параметры как независимые.
Операция прореживания [ Я состоит в отбрасывании каждого Я-го отсчета, в результате чего выходная частота дискретизации равна /, т=/, ы /Я. Чтобы исследовать подробнее поведение ИГФ в частотной областй, на рисунке 10.18 (а) показана ЛАЧХ ИГФ, предшествующего прореживанию, при Р =. 8. Требуемая полоса пропускания фильтра представляет собой полосу частот шириной В, центр которой расположен на нулевой частоте. Ключевым моментом для расчета ИГФ является заворачивание спектра, обусловленное прореживанием.
402 Глава 10. П еоб зование частотыдиск етиза ии Прорежиеание Интерполяция Интегратор Гребенчатый фильтр (а) ГРебенчатый Интегратор фильтр (Ь) Рис. 10.17. Использование однокаскадных КГИФ при: (а) прореживании; (Ь) ин- терполяции -10 (а) Я -20 -30 -/, ь/8 0 /* ь/8 /в и/4 3/з и/8 /э ~ /2 Частоте (перед прорежиеанием) -10 (ь) -20 -30 -/, /4 /. 72 (/„Лб) 0 /, /4 Частота (после прорежиеания) Рис.
10.18. АЧХ прореживающего ИГФ первого порядка с 0 = 8: (а) характеристика перед прореживанием„(Ь) характеристика и наложения после прореживания в Я = 8 раз На рисунке 10.17 (Ь) показан ИГФ, используемый для интерполяции, при этом символ 1 Я обозначает введение Я-1 нулей между парами соседних отсчетов исходной последовательности, в результате чего получаем частоту дискретизации выходного сигнала у(п), равную7аслг=Я/; /л. (В текущем обсуждении ИГФ интерполяция понимается как введение нулей с последующей фильтрацией.) На рисунке 10.19 (а) показан произвольный низкочастотный спектр сигнала, Затененные на рисунке 10.18 (а) полосы частот шириной В, центры которых расположены на частотах /т;л //Я, при прореживании в Я=В раз будут накладываться непосредственно на интересующий нас диапазон частот, как показано на рисунке 10.18 (Ь).
Заметьте, что уровень наибольшего накладываемого компонента примерно на 16 дБ ниже уровня компонента в интересующем нас диапазоне частот. Конечно же, уровни накладываемой энергии зависят от ширины полосы частот  — чем меньше В, тем мейьше уровень наложений после прореживания. 403 10.5. Каск ные инте ато ы-'г ебенчатые ильт ы подаваемого на интерполирующий ИГФ с (7 - Я - 8, показанный на рисунке 10.17 (Ь), с его копиями: Спектр выходного сигнала фильтра на рисунке 10.19 (Ь) показывает, как неидеальная фильтрация приводит к появлению нежелательных изображений спектра.
После интерполяции мешающие изображения основного спектра шириной В расположены вокруг значений частоты, на которых АЧХ фильтра принимает нулевые значения и которые кратны частоте/', /Я. Если мы после ИГФ включим обычный КИХ ФНЧ на основе линии задержки с ответвлениями, полоса подавления которого включает полосу первого изображения, мы можем достичь достаточно хорошего подавления изображений. „-то (а) -20 -зо -г.и 2(,и ЗГ„, Частота (перед интерполяцией) „, -то (И и -20 -30 -Г, ~,/8 0 г,,,(8 г,,,(4 зг, /8 б /2 Частота (после интерполяции) Рис.
10.19. Спектры в случае интерполирующего ИГФ первого порядка, 0 = Я = 8: (а) спектр входного сигнала до интерполяции; (Ь) изображения выходного спектра 10.6.3. Улучшение подавления ИГФ Самый общий метод улучшения подавления ИГФ состоит в повышении его порядка М путем включение нескольких секций фильтра. На рисунке 10.20 показаны структура и ЛАЧХ прореживающего ИГФ третьего порядка (М - 3). Обратите внимание на то, что подавление в полосах частот вблизи )т(л /Я на рисунке 10.20 (Ъ) улучшилось по сравнению с фильтром первого порядка, показанным на рисунке 10.18 (а).
Поскольку М = 3 секций ИГФ включены последовательно, общая АЧХ представляет собой произведение характеристик каскадов, или ) Н„с и раЗ „м(ез ) ~ - ) з(п(ат)9/2)/з(п(то/2) (М. (10-18) 4О4 Глава ! О. Преоб азование частоты диск етизации За улучшение ослабления копий спектра мы платим увеличением количества аппаратурных сумматоров' и увеличением неравномерности АЧХ в полосе пропускания, Дополнительная цена повышения порядка — увеличение коэффициента передачи фильтра, который растет экспоненциально с ростом порядка. Поскольку ИГФ обычно должны работать с полной разрядностью, чтобы сохранить устойчивость, разрядность сумматоров определяется как ЛЯодфЭ), так что за более высокий порядок фильтра приходится платить большой длиной слова данных.
Несмотря на это, многокаскадные реализации распространены в коммерческих интегральных схемах, при этом ИГцэ М-го порядка часто называ":"т:7 ":.' "'',л,.":,, "„,: -;„; -. ".ы„„:, ч с э"" 10.5. Каскадные интег ато ы-г ебенчатые ильт ы 405 2. Фильтр реализован в двоичной дополнительной арифметике (без насыщения). Прорежиаание Интерполяция 0 я (а) (ь) Рис. 10.21. Однокаскадные реализации ИГФ: (а) для прореживания; (Ь) для интер- поляции -то ц/ -го то го -ЗО -/,;/2 -/,,и О /„„/4 /, /2 -/, '/2 Частота (а) /4 О /„ /4 /„ /2 частота (ь) Рис.
10.22. Частотные характеристики прореживающего ИГФ: (а), для разных значений разностной задержки /)/ при Я = 8; (Ь) для двух коэффициентов прореживания при и/= 2 Конфигурации, приведенные на рисунке 10.21, имеют два главных достоинства: во-первых, новая разностная задержка гребенчатого каскада уменьшается до У = Р/К что снижает требуемый объем памяти, а во-вторых, гребенчатая секция теперь работает на пониженной частоте дискретизации. Оба эти преимущества приводят к снижению потребляемой энергии. Типовое значение параметра разностной задержки /т/'гребенчатой секции составляет 1 или 2 для больших коэффициентов преобразования частоты дискретизации, которые часто' используются в повышающих/понижающих преобразователях. По существу, Жзадает количество нулей частотной характеристики прореживаю- щего фильтра, как показано на рисунке 10.22 (а).
Важной особенностью прореживающего фильтра на основе ИГФ является то, что форма его характеристики в'зависимости от коэффициента прореживания меняется очень мало, как показано на рисунке 10.22 (Ь). Для значений Я, превышающих 16, изменение формы характеристики пренебрежимо мало. Это позволяет использовать один и тот же компенсирующий КИХ-фильтр в системах с переменным коэффициентом прореживания. ИГФ подвержены переполнениям регистров, вызванных единичной обратной связью в каждой интегрирующей секции.
Эти переполнения не приводят к неприятным последствиям, если выполняются следующие два условия: 1. Диапазон представления чисел в выбранном формате данных не меньше максимальных ожидаемых значений выходных сигналов. 406 Как показано в (10.17), ИГФ первого порядка имеет коэффициент передачи на нулевой частоте (постоянной составляющей), равный О = ЖЯ, а М включенных последовательно прореживающих фильтров имеют коэффициент передачи (ХЯ)"т. Каждый дополнительный интегратор для правильной работы должен добавлять Л(Я бит. Интерполирующие ИГФ вводят нули между отсчетами входного сигнала, что уменьшает коэффициент передачи в Я раз с учетом нулевых значений, следовательно, полный коэффициент передачи интерполирующего ИГФ равен (ЖК)м/Я.
Поскольку фильтр должен использовать целочисленную арифметику, длина слова для каждого каскада фильтра должна быть достаточной, чтобы принять максимальный сигнал (максимально возможный входной сигнал, умноженный на коэффициент передачи) этого каскада. Хотя коэффициент передачи прореживающего ИГФ равен (МЯ)"г, в отдельных интеграторах может возникнуть переполнение. (Их усиление для постоянной составляющей бесконечно.) Использование двоичной дополнительной арифметики позволяет преодолеть эту трудность, если длина слова интегратора способна принять максимальное значение разности двух последовательных отсчетов (т.
е. разность дает не более однократного переполнения). Используя двоично-дополнительный формат с его цикличностью, следующий гребенчатый фильтр вычислит правильную разность двух последовательных выходных отсчетов интегратора. Чтобы проиллюстрировать этот принцип, на рисунке 10.23 показано, как при прореживании с использованием четырехбитового двоичного дополнительного формата чисел первый выходной отсчет интегратора х(ит(0), равный шести, вычитается из второго отсчета, х(п,(1), равного 13 (что приводит к переполнению), и в результате получается правильная разность 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
