Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 79
Текст из файла (страница 79)
На практике преобразование частоты дискретизации с большими коэффици- ентами выполняется в несколько этапов (при этом схема на рисунке 10.12, напри- мер, может использоваться как один каскад), на каждом из которых выполняется преобразование с меньшим коэффициентом. Каскадная реализация обладает сле- дующими преимуществами: п уменьшается вычислительная нагрузка, о упрощается проектирование фильтров, Глава10.П еоб азованиечастотыдиск тизации )з уменьшается объем памяти, уменьшается вредное влияние ограниченной длины слова коэффициентов.
х, (и) еД4 Рис. 10.12. Структура полифазного прореживающего в 4 раза фильтра в виде бан- ка КИХ-субфильтров Изложенное введение в преобразование частоты дискретизации по необходимости затронуло лишь поверхность этой важной технологии ЦОС. К счастью для нас, блестящая работа первых инженеров и математиков, исследовавших эту область, хорошо отражена в литературе. Ряд стандартных учебников по ЦОС затрагивают более тонкие вопросы проектирования многочастотных фильтров [5 - 7], другие книги посвящены исключительно полифазным фильтрам и многочастотным системам [8 - 10].
Любознательный читатель может продолжить изучение этой темы и узнать, как в многочастотных системах выбирается количество каскадов [1, 11], из каких соображений выполняется проектирование оптимальных КИХ-фильтров [1, 12], какие выгоды дает использо ванне полуполосных КИХ-фильтров [4, 13], в каких случаях предпочтение можно отдать БИХ-фильтрам [12], каковы особенности преобразования частоты дискретизации в обработке изображений [14 - 16], какие рекомендации существуют для разработчиков управляющей логики при аппаратурной реализации алгоритмов преобразования частоты дискретизации [12], как преобразование частоты дискретизации помогает более эффективно использовать коммерческую тестовую аппаратуру [17, 18], и какие программные инструменты проектирования многочастотных фильтров существуют сегодня [19].
397 10.5. Каскадные интег ато ы-г ебенчатые иль ы Прежде чем покончить с преобразованием частоты дискретизации,познакомимся с последней темой — каскадными интеграторами-гребенчатыми фильтрами. Эти фильтры популярны среди разработчиков систем преобразования частоты дискретизации в современных системах связи. 10.5.
Каскадные интеграторы-гребенчатые фильтры Каскадные интеграторы-гребенчатые фильтры (ИГФ) представляют собой эффективную реализацию узкополосных ФНЧ. и в этом качестве используются для аппаратурной реализации прореживания и интерполяции в современных системах связи.
ИГФ, частный случай более общего класса фильтров на основе частотной выборки, обсуждаемых в разделе 7.1, хорошо подходят для 'антиэлайзинговой фильтрации, предшествующей прореживанию (понижению частоты дискретизации), как показано на рисунке 10.13 (а), и для подавления изображений спектров при интерполяции (повышении частоты дискретизации), как изображено на рисунке 10.13 (Ь). Оба применения связаны с необходимостью фильтрации высокоскоростных потоков данных в таких устройствах как аппаратурные квадратурные модуляторы и демодуляторы в современных беспроводных системах, а также сигма-дельта АЦП и ЦАП.
Прорежиеание, Г, < Г ь (а) Интерполяция, т, > Г,и (Ь) Рис. 10.13. Применения ИГФ: (а) прорежиэание; (Ь) интерполяция Поскольку АЧХ таких фильтров имеет форму, подобную функции з)п(х)/х, после И ГФ или перед ним обычно включают более качественный КИХ-фильтр с линейной ФЧХ, задачей которого является компенсация неравномерности АЧХ ИГФ в полосе пропускания. Такая каскадная структура обладает рядом ценных качеств. Например, при прореживании благодаря предварительной фильтрации ИГФ узкополосные ФНЧ удается реализовать с существенным уменьшением вычислительной сложности по сравнению с реализацией в виде одного КИХ ФНЧ. Кроме того, КИХ ФНЧ второго каскада работает на пониженной частоте дискретизации, что позволяет уменыпить потребление энергии в высокоскоростных аппаратурных реализациях. Дополнительным преимуществом ИГФ является то, что они не используют операции умножения.
Глава 10. Р еоб азование частоты диск тизации 388 ИГФ были предложены сообществу специалистов по обработке сигналов более двух десятилетий тому назад, но возможности их использования выросли в последние годы [201. Прогресс технологии СВИС, расширение использования методов полифазной фильтрации, успешное развитие техники сигма-дельта преобразователей и быстрое развитие беспроводных систем связи существенно подстегнули интерес к ИГФ и модификацию их традиционных схем. Ниже приводится введение в структуры и свойства традиционных ИГФ, представлены их частотные характеристики и обсуждаются некоторые важные аспекты их реализации.
10.5.1. Рекурсивные фильтры скользящего суммирования ИГФ ведут свою родословную отрекурсивных фильтров скользявтдго суммирования, которые в свою очередь представляют собой эффективную форму нерекурсивного фильтра скользящего среднего. Посмотрев на Р-точечный фильтр скользящего среднего, изображенный на рисунке 10-14 (а), можно видеть, что для вычисления выходного отсчета у(п) требуется выполнить Р— 1 сложений плюс одно умножение на 1/Р. Гребенчатый х(п-0) (а) Рис. 10.14.
О-точечные усредняющие фильтры: (а) стандартный фильтр скользящего среднего; (с) рекурсивный фильтр скользящего суммирования; (с) версия Р-точечного усредняющего фильтра с использованием ИГФ Выходной сигнал фильтра скользящего среднего с Р ответвлениями во временной области вычисляется как у(п) - (1/Р) [х(п) + х(п — 1) + х(п-2) + х(п — 3) + ... +х(п — Р+1)1. (10-7) В г-области этому выражению соответствует изображение У(п) -(1/Р) [Х(п) +Х(п)х т+Х(п)г 2+Х(п)~з+ ... +Х(п)г 0+~], (108) а передаточная функция Н(г) выглядит следующим образом 0-( Н(г) = У(г)/Х(г) = (1/Р)~~Г г " - (1/Р) [1 + г т + г 2 + ... + г 0+() .
(10-9) 399 10.5. Каскадные инге ато ы-г ебенчатые ильт ы Эквивалентной, но более эффективной формой фильтра скользящего среднего является рекурсивный фильтр скользящего суммирования, показанный на рисунке 10.14 (Ь), где текущий отсчет х(п) прибавляется к предыдущему значению выходного сигнала у(п — 1), а самый старый отсчет,,х(п —.Р), вычитается из него. Разностное уравнение, описывающее фильтр скользящего суммирования, имеет вид у(п) = (1/Р)[х(п) — х(п — Р)] +у(п-1), (10-10) а передаточная функция Н(г) Н(г) =(1/Р) [1 г-В]/[1 г-1] (10-11) Мы используем одно и то же обозначение Н(г) для передаточных функций фильтра скользящего среднего и рекурсивного фильтра скользящего суммирования потому, что их передаточные функции равны.
Заметьте, что фильтр скользящего среднего имеет Р— 1 элементов задержки, а первая линия задержки рекурсивною фильтра скользящего суммирования содержит Р элементов. Фильтр скользящего суммирования имеет то преимущество, что он требует только две операции сложения на один выходной отсчет, независимо от величины Р задержки1 Этот фильтр используется во многих приложениях, где подавление шума достигается за счет усреднения.
Далее мы увидим, что ИГФ сам по себе также является рекурсивным фильтром скользящего суммирования. 10.6.2. Структуры ИГФ Если мы представим линию задержки одним блоком и опустим масштабирующий множитель 1/Р на рисунке 10.14 (Ъ), мы получим классическую форму ИГФ первого порядка, каскадная структура которой показана на рисунке 10.14 (с).
Часть ИГФ с прямой связью называется гребенчатой секцией, разностная задержка которой равна Р, а секцию с обратной связью обычно называют интегратором. Гребенчатый каскад вычитает задержанный входной отсчет из текущего входного отсчета, а интегратор представляет собой просто аккумулятор, к которому на каждом периоде дискретизации добавляется новый отсчет.
Разностное уравнение ИГФ имеет вид у(п) = х(п) — х(п — Р) + у(п — 1), (10-12) а его передаточная функция выглядит так Н,м(г) = [1 — г о]/[1 — г ~]. (10-13) Чтобы увидеть, чем интересен ИГФ, мы, прежде всего, исследуем его поведение во временной области для Р -5 по характеристикам, показанным на рисунке 10.15. Обратите внимание на то, что положительный импульс с выхода гребенчатого фильтра приводит к тому, что все отсчеты на выходе интегратора становятся равными единице. Затем, через Р отсчетов, отрицательный импульс с выхода гребенчатого фильтра обнуляет интегратор, все его последующие выходные отсчеты становятся равными О. Ключевым моментом здесь является то, что общая импульсная характеристика ИГФ представляет собой дискретный прямоугольный импульс, идентичный 400 Глава 10. Г/ еоб азованиечастотыдиск етизации импульсной характеристике рекурсивного фильтра скользящего суммирования.
(Фильтры скользящего среднего, рекурсивные фильтры скользящего суммирования и ИГФ вЂ” близкие родственники. Они имеют одинаковые карты нулей и полюсов в г-области, их АЧХ имеют одну и туже форму, их фазо-частотные характеристики идентичны, а их передаточные функции отличаются только постоянным масщтабирующим множителем.) АЧХ и ФЧХ ИГФ при Р -5 показаны на рисунке 10.16 (а), где частотная ось нормирована относительно входной частоты дискретизации/, = 1„п. Вычисление передаточной функции Н„,(2) на единичной окружности, при 2 = еаза, дает частотную характеристику ИГФ вида Нос(еуш) = (1 е 1ш0)/(1 — е /ш) = = [е /шг//г(е/шг/!г — е ушг)/2)]/[е ла/2(е/ /2 — е /ш/2)] (10-14) Используя тождество Эйлера 2/яп(а) - е/и — е /", мы можем записать Н„,(е/ ) - (е /Мр/г/е /ш/г)[21яп(шР/2)/21яп(ш/2)] = = е /ш(г/ /)/г[5)п(шР/2)/5)п(ш/2)] . (10-15) Общая импульсная характеристика ИГФ Импульсная характериогика гребенчатого фильтра 1 ° Импульсная характеристика интегратора 1.5 ..
1 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° 0 ° ° ° ° ° ° ° ° -1/ 0.5 ( о) -О.5~в 'о о 5 9 Время 5 9 Время Время Рис. 10.15. Характеристики однокаскадного ИГФ во временной области при (х = 5 /кчх Фчх 4 к-плоскость .а г $0 -г -10 кт -го о Яейстаительная часть (8) (ь) (с) Рис. 10.16. Характеристики однокаскадного ИГФ при 0 = 5: (а) ЛАЧХ; (Ь) ФЧХ; (с) карта нулей и полюсов И в результате получаем ФНЧ с характеристикой вида яп(х)/х, центр которой расположен на частоте 0 Гц. (По этой причине ИГФ иногда называют 5(лс-филь- -зо -4 -/,/2 -/,/4 0 /,/4 /,/2 -/,/2 -/,/4 0 /,/4 Частота Частота 1.5 ~ 1 ° ° ° ° ° 0.5 ~ о! ° ° ° ° ° -0.5 ~ — — — —— 'О 5 9 1 йо и -1 10.5. Каскадные ннгег то ы-г ебенчагые ильт ы 401 трами.) Расположение нулей и полюсов ИГФ в г-плоскости при Р = 5 приведено на рисунке 10.16 (с), при этом гребенчатый фильтр дает Р нулей, распределенных равномерно по единичной окружности, а интегратор дает единственный полюс, компенсирующий ноль в точке г = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
