Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 76
Текст из файла (страница 76)
(а) Г,а Частота (Ь) Зг Частота Ю гг„ (с) 1„,„/2 (о) Частота Рис. 10.2. Прореживание в три раза: (а) спектр исходного сигнала; Вз) спектр после прореживания в три раза; (с) полоса В'должна сохраняться; (с)) частота среза фильтра нижних частот по отношению к ширине спектра В' Когда требуется, чтобы 1а „была меньше, чем 23, перед выполнением прореживания необходимо профильтровать х м(п) фильтром нижних частот, как показано на рисунке 10.2 (с). Если исходный сигнал имеет ширину спектра В, а нас интересует только диапазон частот В ', сигналы с частотами выше В 'должны быть отфильтрованы до выполнения прореживания, при этом полоса подавления должна начинаться с частоты ~т .
На рисунке 10.2 (с() это показано подробнее, причем частотная характеристика фильтра нижних частот, показанная штриховой линией, должна ослабить составляющие сигнала с частотами, превышающими В '. На практике для реализации лрореживающих Фильтров предпочтительной является структура КИХ-фильтра, показанная на рисунке 5.13, благодаря линейности ее ФЧХ [1]. Когда требуется реализовать большой коэффициент прореживания В, скажем 1) > 10, следует учитывать одну важную особенность процесса фильтрациибпрореживания.
Можно добиться существенного уменьшения объема вычислений, Глава Ю. П еоб азоввниечвстотыдиск етизвции 384 если реализовать прореживание в несколько ступеней, как показано на рисунке 10.3 (а). Операция прореживания (понижения частоты дискретизации) 4 Рт означает отбрасывание каждого Р1-го отсчета. Произведение Р1 и Р2 дает требуемое значение коэффициента прореживания, т. е.
Р(Р2-Р. Проблема состоит в следующем: какими должны быть значения Р1 и Р2 для минимизации количества ответвлений фильтров нижних частот ГРГ1 и йРГ2? Если Р = 100, следует ли выбрать Р(Р2 равными (5)(20), (25К4) или (10)(10)? Вдумчивые и внимательные пионеры ЦОС нашли для нас ответ на этот вопрос Щ. Для двухступенчатой фильтрации с прореживанием оптимальное значение Р(составляет Оь,~ 2РΠ— Ъ~Р7/[2- Г~ 1Д2-ДР О!, (1О-О где à — ширина переходной полосы, отнесенная к границе полосы подавления, т.
е. Г = ЛЯиогх Определив Р(,, находим второй коэффициент прореживания: 02 = Р/Р(,о (10-2') х„ (о) х (и) (РЕ, ( О, ЬРР, 4о, (а) (ь) П =16КГц Г = 4КГц = 400 КГц (с) 400 Частота (КГц) 182 4 16 Частота (КГц) 12 (а) 4 Частота (КГц] 1.8 2 )аис. 10.3. Многокаскадное прореживание: (а) обобщенная блок-схема прореживания; (Ь) прореживание в 100 раз; (с) спектр исходного сигнала; (б) спектр сигнала на выходе блока прореживания в 0 = 2б раз; (е) спектр выходного сигнала блока прореживания в 0 = 4 раза Для примера предположим, что мы имеем входные данные, поступающие с частотой дискретизации 400 кГц, и мы должны проредить их в Р - 100 раз, чтобы получить частоту дискретизации 4 кГц.
Предположим также, что интересующий нас диапазон нижних частот простирается от 0 до В ' = 1.8 кГц. 10.1. П о вживание 386 Таким образом, имея/„ви - 4 кГц, мы должны отфильтровать всю энергию сигНалах,14(п), сосредоточенную в полосе частот выше/ /2, причем переходная полоса фильтра может занимать диапазон частот от 1.8 кГц до 1я =/„ /2 = 2 кГц. Теперь оценим количество ответвлений Т, необходимое для однокаскадной реализации фильтрации с прореживанием. Было показано, что количество ответвлений Т стандартного КИХ ФНЧ, построенного на основе линии задержки с ответвлениями, пропорционально отношению исходной частоты дискретизации к ширине переходной полосы фильтра А/на рисунке 10.2 (Й) [1, 21: Т=Ц, /У, -В)=Ц„„/А|, (10-3) где 2 < Й < 3, в зависимости от заданных неравномерности АЧХ в полосе пропускания и подавления в полосе задерживания.
Таким образом, для нашего случая, если в, к примеру, равно 2, Т = 2(400/02) - 4000. Представьте себе КИХ-фильтр с 4000 ответвлений (коэффициентов)! Теперь разделим наш прореживатель на два каскада: для Р - 100 и Р - (0.2 кГц/2 кГц) (10.2) дает оптимальное значение коэффициента прореживания Рт г равное 31.9. Ближайший целый делитель коэффициента 100 равен 25, поэтому мы берем Р~ = 25 и Р2 = 4, как показано на рисунке 10 3 (Ь). Предположим, что спектр исходного сигнала Х 14(т) простирается от нулевой частоты до частоты, несколько превышающей 100 кГц, как на рисунке 10.3 (с). Если первый ФНЧ ХРР~ имеет частоту среза 1.8 кГц, а граница его полосы задерживания положена равной 8 кГц, выходной сигнал блока прореживания с Р = 25 будет иметь спектр, изображенный на рисунке 10.3 (д), где интересующий нас диапазон частот шириной 1.8 кГц отмечен штриховой линией.
Когда ТРР~ имеет частоту среза 1.8 кГц, а его/и„принята равной /вв„/2 = 2 кГц, выходной сигнал блока прореживания с Р = 4 будет иметь требуемый спектр, показанный на рисунке 10.3 (е). Смысл всего этого в том, что общее количество ответвлений двух ФНЧ Т ~ намного меньше, чем 4000 ответвлений, необходимых при однокаскадной фильтрации.
Из (10.3) для двух фильтров ГРР~ и ГРРР мы! 1.РГ1 гРЛ (10-4) = 2 х 400/(8 — 1.8) ч- 2 х 16/(2 — 1.8) = 289 ответвлений Это впечатляющее уменьшение объема вычислений. Рассмотрев (10.3) для каждого каскада, мы можем увидеть, что для первого каскада при постоянной ~,ц = 400 кГц мы увеличиваем А|. Для второго каскада уменыпаются и А/, и 1' 14. Следует хорошо запомнить тот факт, что при определении количества ответвлений ФНЧ в (10.3) отношение 1„14/А/оказывает значительно большее влияние, чем в.
Этот пример, хотя и страдает некоторым преувеличением, показывает, каким образом достигается уменьшение объема вычислений при многокаскадном прореживании. Разве не удивительно, что увеличение количества каскадов обработки в схеме прореживания с Р = 100 в действительности уменьшает требования к вычислительной мощности? Можете посчитать, что, если бы мы в нашем примере прореживания в 100 раз использовали значения Р1 - 50 и Р2 - 2 (или Рт- 10 и Рх = 10), то общее количество ответвлений фильтров было бы существенно больше 400. Следовательно, Р~ - 25 и Р2 = 4 представляют собой оптимальное решение.
386 Глава 1О. 17 еоб азованиечестотыдиск тизеции Практическая реализация процесса фильтрации/прореживания достаточно прозрачна. Возвращаясь к нашему примеру прореживания в Р = 3 раза, мы можеьг реализовать его в виде стандартного КИХ-фильтра с линейной ФЧХ на основе линии задержки с ответвлениями, показанного на рисунке 10.4, при этом мы вычисляем выходной отсчет у(л 1, задвигаем в линию задержки Р = 3 новых отсчетов х(л) и вычисляем следующий выходной отсчет у(л), задвигаем три новых отсчетах(п) и вычисляем следующий выходной отсчету(л ) и т.д.
(Если коэффициенты нашего КИХ-фильтра нечетного порядка симметричны, так что Ь(4)- Ь(0) и Ь(3) - Ь(1), существует остроумный способ уменьшить необходимое количество умножений, описанный в разделе 13.7.) Рис. 10.4. Реализация фильтра прореживания Прежде чем покончить с этой темой, упомянем две необычные особенности прореживания.
Во-первых, интересно отметить, что прореживание представляет собой один из тех немногих процессов, которые не инвариантны во времени. Исходя из природы процесса прореживания можно заключить, что если мы задержим входной сигнал на один отсчет, блок прореживания выдаст на выход совершенно другую последовательность. Например, если мы подадим на вход блока прореживания последовательность х(п) = х(0), х(1), х(2), х(3), х(4), ...
и Р - 3, выходной сигнал у(и) будет представлять собой последовательность х(0), х(3), х(6), .... Если же мы задержим входную последовательность на один отсчет, задержанный входной сигнал х '(л) будет выглядеть так: х(1), х(2), х(3), х(4), х(5), .... В этом случае выходная прореженная последовательность у'(л) будет содержать отсчеты х(1), х(4), х(7), ..., что не является задержанной версией у(п).
Следовательно, процесс прореживания не инвариантен во времени. Во-вторых, прореживание не приводит к уменьшению амплитуды сигнала во временной области. Синусоида с размахом в 10 единиц сохраняет этот размах после прореживания. Однако прореживание в Р раз вносит потери амплитуды в частотной области в Р раз.
Предположим, что дискретное преобразование Фурье (ДПФ) от синусоидального сигнала х(п) длиной в 300 отсчетов есть |Х(т)). Если мы проредим х(л) в Р - 3 раза, получив синусоидальную последовательность х'(л) длиной в 100 отсчетов, амплитуда ДПФ сигнала х '(и) будет )Х'(т) ! - )Х(т) ~3. Это происходит потому, что модули отсчетов ДПФ пропорциональны количеству преобразованных отсчетов во временной области.
И в завершение позволим себе дать небольшой практический совет от инженера ЦОС: всегда, когда мы можем проредить сигнал без возникновения ошибок наложения из-за перекрытия копий спектра, разумно использовать прореживание. 10.2. Инте паля ия Понижение частоты дискретизацииД а снижает требуемую вычислительную мощность (количество операций в секунду); с1 снижает количество отсчетов во временной области, которые необходимо обработать — наши вычисления завершаются скорее, что позволяет нам обрабатывать более широкополосные сигналы; д позволяет уменьшить стоимость (за счет снижения тактовых частот) аппаратурных компонентов, используемых при аппаратурной реализации обработки; с) уменьшает потребляемую аппаратурой мощность (это важно в приборах с батарейным питанием); О позволяет увеличить отношение сигнал/шум за счет фильтрации сигнала (искаженного шумом), за которой следует прореживание.
Вывод: взвешивайте возможность прореживания сигналов всегда, когда оно представляется разумным. 10.2. Интерполяция Прореживание — это только одна сторона преобразования частоты дискретизации. Рассмотрим другую сторону — интерполяцию. Повышение частоты дискретизации с помощью интерполяции несколько сложнее, чем прореживание, поскольку при интерполяции необходимо вычислять значения новых отсчетов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
