Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Аналитический сигнал х,(г) изображен толстой спиралью, ориентированной в соответствии с правилом буравчика. Мы можем описать х (г) как комплексную экспоненту, используя одно из тождеств Эйлера: х,(г) = х,(г) + )х((г) - сов(в г) + гз(п(в г) - е~У"о(. (9-3) Спектры этих сигналов показаны на рисунке 9.8. Обратите внимание на три особенности рисунка 9.6. Во-первых, в соответствии с (9-3), если мы повернем Х;(в) на -(-90' против часовой стрелки (+г) и прибавим результат к Х,(в), мы получим Х,(в) = Х,(в).(?Х((в). Во-вторых, заметьте, что модуль Х (в) равен удвоенному модулю компонентов Х,(в).
В-третьих, обратите внимание на то, что Х (в) равен нулю на всех отрицательных частотах. Именно благодаря тому, что отсутствуют спектральные компоненты с отрицательными частотами, х,(г) назван аналитическим сигналам. Некоторые называют Х,(в) оДносторонним спектром. Чтобы разобраться в физическом смысле приведенных выкладок, вспомним, что сигнал х (г) — не просто математическая абстракция. Мы можем генерировать х,(г) в нашей лаборатории и передавать его по кабелям в другую лабораторию. (Эта идея описана в разделе 8.3.) Для иллюстрации полезности понятия аналитического сигнала х,(г), посмотрим, как аналитический сигнал помогает при измерении мгновенных параметров некоторого сигнала во временной области, таких как амплитуда, фаза или частота в некоторый заданный момент времени.
Идея измерения мгновенных значений кажется не такой значительной, когда мы имеем ввиду описание, скажем, чистой Глава 9. иск етное л еоб взоввние Гульбе та звв синусоиды. Но когда мы говорим о более сложных сигналах таких как мойули ванный синусоидальный сигнал, измерение мгновенных значений может быть очень важным.
Если действительный сигнал хг(Г) промодулирован по амплитуде, так что в его огибающей содержится какая-то информация, то с помощью аналитической версии сигнала мы можем измерять мгновенные значения огибающей Е(Г), используя соотношение: з(о — ни!) -тГя' *!от.
(9-4) Огибающая сигнала совпадает с модулем х (г). На рисунке 9.7 (а) мы приводим простой пример демодуляции АМ сигнала, где синусоидальный сигнал модл ирован по амплитуде низкочастотной синусоидой (штриховая кривая). Для У восстановления модулнрующего сигнала по традиционной схеме потребовалось бы выпрямить модулированный сигнал хг(г) и пропустить результат выпрямления через фильтр нижних частот. Выходной сигнал фильтра показан на рис нк 9. Ъ е .7 (Ъ) сплошнои линиеи, которая представляет модулирующий сигнал. р сунВместо этого мы можем вычислить ПГ хг(г), получив в результате хт(г), и использовать последний для формирования аналитического сигналах (с) = х (Г) ч- ' (Г).
с г Ж( Наконец, для выделения модулирующего сигнала, показанного на рисунке 9.7 (с) толстой сплошной линией, мы вычисляем с помощью (9-4) модуль х (г). Ф нкц ! хо(Г), 'значительно точнее представляет модулирующий сигнал, чем сплош- ия ! ная линия на рисунке 9.7 (Ъ). Предположим, с другой стороны, что некоторый действительный синусоида- льный сигнал хг(г) модулирован по фазе. Мы можем оценить мгновенную фазу ф(г) сигнала х,(г), используя выражение: (Презбразованне х,(!) Гнпьбарта от х,(!)) 1 8 й о з й ! Рис. 9.5. Преобразование Гильберта и аналитический сигнал для соз(от г) 9.2 Почем нас так занимаетп еоб азование Гульбе та? 367 Х,(0)) Х,(и) Мнимая ссь Мнимая ссь О ..
а об Ю Частота Рис. 9.6. Спектры ПГ: (а) спектр сов(тает); (Ь) спектр ПГ сов(таст), в(п(тает); (с) спектр аналитического сигнала, соответствующего сов(тв (), екав( о.об ол оп 5 о.г о.гб Время и 1! ~~ о.в,- (т,((я (Ь) с 0.5- ка Ол 02- о о.об 0:25 0'1 В мя О'15 О.г в о.в В 0.2 (с) в И -0.2 , : , ;( < '=.
( 'У,' ' '/ т,(1) -о.в( х,(О=, ', -1 — -- — --'— ' — - — — — — — — — — — — ---'-' — -- — —-- 0 0'05 0'1 В 0'15 0'2 0'25 Время Рис. 9.7. Выделение огибающей: (а) входной сигнал х,(г); (ь) результат традиционной фильтрации (хт(()(; (с) результат выделения огибающей с помощью комплексного сигнала, ~х (6 ~ ф(Г) = тап-1)х((Г)/х„(Г)) . (9-5) Вычисление ф(Г) эквивалентно фазовой демодуляции сигналах (Г).
Аналогично, если действительный синусоидальный несущий сигнал модулирован по частоте, мы можем измерять его мгновенную частоту г((), вычисляя мгновенную скорость изменения мгновенной фазы х,(Г) (а чаще всего реализуется именно этот способ), используя выражение: Г(Г) = СЦф(Г))/й = й(тан 1(Х((Г)/Хт(Г)1)/й. (9-6) и 1 $'0.5 (а) с О -о.б о Х.,(от) Мнимая 05 4 -1 ! Действительная .О б т Частота Действительная .а ссь 1 о' -.. с'а '. Частота ЗВ9 Глава 9. иск етное и еоб азование Гульбе Га Вычисление Г(Г) эквивалентно частотной демодуляции сигнала хт(Г). Кстати, если ф(г) измеряется в радианах, то единицей измерения г(г) в (9-6) будет радиан в секунду.
Разделив Г(г) на 2л, мы получаем частоту в Гц. (Другой метод частотной демодуляции обсуждается в разделе 13.22.) В качестве еще одного примера применения ПГ рассмотрим действительный сигнал х,(Г), модуль спектра которого ~ Х„(0)) ~ располагается в окрестности центральной частоты 25 кГц (рисунок 9.8 (а)). Допустим, мы хотим перенести этот спектр на центральную частоту 20 кГц. Мы могли бы умножить х,(г) на действительную синусоиду соз(2л500()Г), чтобы получить действительный сигнал, спектр которого показан на рисунке 9.8 (Ь). Проблема такого подхода состоит в том, что для подавления высокочастотных копий спектра нам потребовался бы фильтр с практически нереализуемой частотной характеристикой (штриховая линия).
(а) 50 К(. Частота -50 КГц (ь) 50 КГц -50 КГц (с) -50 КГц (6) 50 КГц -50 КГц (а) 50 КГц -50 КГц Рис. 9.8. Спектры, связанные с переносом сигнала хт(г) по частоте С другой стороны, если мы вычислим ПГ хт(г) и получим х((г), затем сформируем из этих двух сигналов аналитический сигнал х (г) = хт(г)+)х((г), мы будем иметь комплексный сигнал хс(Г), односторонний спектр которого показан на рисунке 9.8 (с).
Затем мы умножим комплексный хс(г) на комплексную экспоненту е )зл5000(, получив сдвинутый по частоте комплексный сигнал х (г), спектр которого показан на рисунке 9.8 (с(). Нам остается взять действительную часть х цт(г), чтобы получить действительный сигнал с требуемым спектром, центральная частота которого равна 20 кГц, как показано на рисунке 9.8 (е).
Теперь, когда мы убедились в полезности ПГ, определим импульсную характеристику преобразователя Гильберта и используем ее для построения такого преобразователя. 9.3. Имп льснаяха акта истикап аоб азоаателяГильбе та 369 9.3. Импульсная характеристика преобразователя Гильберта <о х(г) = ~ХЯеуг~Ф г7/, (9-7) где/ — это частота в периодах в секунду (Герцах).
В это уравнение мы внесем три изменения. Во-первых, поскольку мы используем круговую частоту щ = 2л~'радиан в секунду, а также потому, что ф' = Йо/2л, вместо члена ~1/ мы подставим Йо/2л. Во-вторых, т. к. мы знаем, что частотная характеристика дискретной системы периодична с периодом повторения, равным частоте дискретизации щ, мы будем вычислять интеграл на интервале, рйвном периоду повтрения с границами — и,/2 и +в, /2.
В-третьих, мы разделим исходный интеграл на два отдельных интеграла. Эти математические манипуляции приводят к следующему результату: со, /г 0 Оэ~,'г Ь(Г) = (1/2л) г Н(го') ем'"~йш = (1/2л) г/ел'ийо + (1/2л) г — >е3 'йо— ю~,'г —,/г о 0 . и~/г (1/2лгЯе)ш 1 ~е/шд~ ) = (1/2лг) (010 е — 3ш~о/г еУо~~/г + е)0) -ь /г о = ( 1/2лг)(2 — 2соз(еф/2)1 = ( 1/лг)(1 —, соз(иф/2) ) . (9-8) Скоро мы сможем начертить график этой импульсной характеристики, но сначала нужно преодолеть одно препятствие. Подстановка г = 0 в (9-8) может вызвать сердечный приступ, так как мы приходим к неопределенному отношению О/О. Здесь придется призвать на помощь чистую математику.
Чтобы получить Ь(0), мы просто извлекаем из памяти правило маркиза де Лопиталя, берем производные по времени от числителя и знаменателя (9-8), а затем подставляем г = О. Следующие выкладки подводят итог сказанному: Ь(0) - 1с о =~ьЬгът(ш4/2)/2л~ ~~ о =О. (9-9) 0/Й ~сох(и, г/2)1 ~г/Ь(лг) Таким образом, мы теперь знаем, что Ь(0) = О. Найдем дискретную версию (9-8), т. к. именно ее можно промоделировать программно и использовать в практических системах ЦОС.
Мы можем перейти к цифровой системе, подставив дискретную переменную пг, вместо непрерывной переменной времени г в (9-8). Вместо того чтобы в соответствии с традицией просто написать уравнение импульсной характеристики для прибора, который выполняет ПГ, мы покажем, как получить это выражение. Чтобы получить выражение для импульсной характеристики преобразователя Гильберта, мы берем обратное преобразование Фурье от частотной характеристики ПГ Н(ш).
Одна из разновидностей непрерывного обратного преобразование Фурье произвольной функции частоты ХЯ по определению имеет вид: Используя следующие обозначения: с1 п =дискретный индекс вовременной области(..., — 3, — 2, — 1, О, 1,2 3, ...), /, = частота дискретизации в отсчетах в секунду, гк = период времени между отсчетами в секундах (Г, = 1Д,), ь1 ~, = 2~~„ мы можем переписать (9-8) в дискретной форме: й(п) = (1/лпт,)11 — соз(ы,пт,/2)) . ПОдСтаВЛяя 2Л/л ВМЕСТО В, И 1//; ВМЕСТО Г„ПОЛуЧИМ: (9-10) Наконец, построим импульсную характеристику ПГ Ь(п) на рисунке 9.9. Член /л в (9-11) — просто масштабирующий множитель, его значение не влияет на форму й(п). Информированный читатель мог бы сейчас сказать: «Погодите минуту.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
