Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 71
Текст из файла (страница 71)
(Тема прореживания рассматривается в разделе 10.1.) При всех присущих ему преимуществах вы должны были обратить внимание на один недостаток этого метода квадратурной дискретизации с цифровым смешиванием: частота дискретизации 1", должна быть ровно в четыре раза больше центральной частоты сигнала 1" . На практике значение 41с может оказаться обескураживающе большим. К счастью, мы можем воспользоваться особенностями полосовай дискретизации для снижения частоты дискретизации. Вот вам пример: рассмотрим действительный аналоговый сигнал, центральная частота которого составляет 50 'МГц, показанный на рисунке 8.24 (а). Вместо того чтобы 369 Библиог а ия дискретизировать этот сигнал с частотой 200 МГц, мы используем полосовую дискретизацию и в соответствии с (2-13) при то44 = 5 установим частоту дискретизации, равную 40 МГц.
Это приводит к тому, что одна из копий спектра дискретного сигнала )Х(т) ~ переносится на частоту/;/4, как показано на рисунке 8.24 (Ь), чего мы и добивались. Выходной сигнал АЦП х(п) теперь готов для комплексного понижающего преобразования на 1; /4 (10 МГц) и цифровой фильтрации. (а) ЗО Частота (мгц) (ь) -то о то Зо Частота ((44) (мгч) -00 Рис. 8. 24. Эффекты полосовой дискретизации, используемые для понижения частоты дискретизации при квадратурной дискретизации с цифровым смешиванием: (а) спектр входного аналогового сигнала; (Ь) спектр на выходе АЦП В разделе 13.1 описан остроумный прием снижения вычислительной сложности фильтров нижних частот, использованных на рисунке 8.22, когда этот метод понижающего преобразования на/, /4 используется вместе с прореживанием в два раза.
Библиография 1: 81гп()г, Р. А Сопс(зе Нитогуо/Мат)тетпанст, Роттег РпЫ(сат(опз, Хетс Уог)г, 1967 (неоднократно издавались русские переводы, например: Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики. М. Наука, 1990, 256 с.). 2. Вегйапппй Р. Маг!)етаг!сз, 1.!!е 8с(енсе !.!Ьгагу, Типе 1пс., Хетч Уог)(, 1963. 3. 1 ечт(зЛ ').,е(ат.
Егпеаг5узтепиАпа!уяз, МсСгач-Н!111пс.,Хетп Уота, 1969, р. 193. 4. 80Ьи'агГг, М. Уп~оппабоп, Ггапзтияоп„Мат!и)абоп, апт! )т7оие, МсСгаът-Н!11 !пс., Хе~ч Уота, 1970, р. 35. 3. Сопз!с))пе, Ъ". «Р!8(га! Сощр!ех 8ащр!!п8», Е!есггоп!сзЕеггетз, 19, Апйпзт 4,1983. 362 Глава 9.Диск етноеп еоб азование Гульбе та 9.1. Определение преобразования Гильберта Как показано на рисунке 9.1, преобразование Гильберта (ПГ) — это математическая процедура, выполняемая над действительным сигналом х„(Г) и дающая новый действительный сигнал з)к(Г).
При этом наша цель состоит в том, чтобы х~ф) представлял собой сдвинутую по фазе на 90' версию сигнала х1(г). Итак, прежде чем двигаться дальше, убедимся в том, что мы понимаем обозначения, использованные на рисунке 9.1. Переменные определены следующим образом: О х„(Г) = действительный непрерывный входной сигнал во временной области; а Ь(г) = импульсная характеристика преобразователя Гильберта; х (г)= ПГх„(г), (х~,(г) — тоже действительный сигнал во временной области); а Х,(ш) = преобразование Фурье действительного входного сигнала х„(г); а Н(ш) = частотная характеристика (комплексная) преобразователя Гиль- берта; О Х1к(ш) = преобразование Фурье выходного сигнала хл (Г); ~з ш - непрерывная частота в радианах в секунду; Г = непрерывное время в секундах.
Мы покажем, что хь (г) = л(г)+хт(г), где символ * обозначает свертку. Кроме того, мы можем определить спектр хь (г) как Хм(ш) = Н(ш)Х„(ш). (Конечно, эти соотношения делают ПГ похожим на фильтр, не так ли? Мы поразмышляем об этом позже в данной главе.) Самое короткое описание того, чем отличается новый сигнала)я(г), ПГ сигнала х„(г), от исходного сигнала х,(г), можно получить, связав преобразования Фурье этих сигналов Х„(ш) и Хл (ш).
Выражая это описание словами, мы можем сказать, что все компоненты хЬт(Г) с положительными частотами равны компонентам хт(Г) с положительными частотами, сдвинутым по фазе на -90'. А все компоненты хл (Г) с отрицательными частотами равны компонентам х,(Г) с отрицательными частотами, сдвинутым по фазе на +90'.
Напомним: Хы(ш) Н(ш)Хт(ш) (9-1) где Н(ш) = — у для положительных частот и Н(ш) = у для отрицательных частот. Отличная от 0 мнимая часть Н(ш) показана на рисунке 9.2 (а). Чтобы полностью описать комплексную Н(ш), на рисунке 9.2 (Ъ) мы представляем ее плавающей в трехмерном пространстве. Толстая линия изображает рассматриваемую комплексную Н(ш). В правой части расположена вертикальная плоскость, на которую мы можем проецировать мнимую часть Н(ш).
9.1. Оп еделениеп еоб азованияГильбе та 363 Рис. 9.1. Обозначение, используемое для определения непрерывного преобразования Гильберта Мнимая часть Н(м) Мнимая ф ось 21 Мнимая часть Н(и) 1. +1 О -1 ' О -2 Частота 1к — — -Частота -- . ь .-- +2 вльиея +Частота " -2 ', ~ ос" Действительная (а) часть Н(м) Рис. 9.2.
Комплексная частотная характеристика Н(ок) Мнимая ействительная ось ействительная ось (а) Действи косинусе Время Частота ействительная ось ействительная ось (ь) Действи синусоида Время Частота Рис. 9.3. Преобразование Гильберта: (а) соз(оку); (Ь) его преобразование з)п(скт) В нижней части рисунка 9.2 (Ь) показана горизонтальная плоскость, на которую мы можем проецировать действительную часть Н(ш).
В терминах декартовых координат мы говорим, что Н(ок) = О +11для отрицательных частот и Н(со) = Π— 11 для положительных частот. (Мы вводим трехмерные оси на рисунке 9.2 (Ь) потому, что позже мы будем использовать их для рассмотрения других комплексных функций в частотной области.) Чтобы привести простой пример ПГ и укрепить нашу графическую точку зрения, мы показываем на рисунке 9.3 (а) трехмерные представления действительного косинусоидального сигнала соз(окг) во временной и частотной областях. Рисунок 93 (Ъ) показывает, что ПГ соз(окг) дает синусоидальный сигнал з)п(оку). 364 Глава 9.
иск етное и еоб азование Гульбе та Комплексный спектр в правой части рисунка 9.3 (Ь) демонстрирует, как ПГ поворачивает компонент косинусоидального сигнала с положительной частотой на — ), а его компонент с отрицательной частотой — на +у. Вы можете убедиться в том, что по нашему определению операция умножения на +1 есть просто поворот спектрального компонента на+90' против часовой стрелки вокруг частотной оси. (Длина вектора спектрального компонента равна половине амплитуды исходного косинусоидального сигнала.) Мы предполагаем, что синусоиды в правой части рисунка 9.3 существуют для всех значений времени, и это позволяет нам изображать их спектр в виде бесконечно узких импульсов в частотной области.
Теперь, когда мы определили частотную характеристику ПГ, новичок имеет полное право спросить: «Зачем кому-то понадобилась такая частотная характеристика, как эта причудливая Н(ш) на рисунке 9.2 (Ь)7» 9.2. Почему нас так занимает преобразование Гильберта? Ответ: нам необходимо понимать П Г потому, что оно оказывается полезным во множестве приложений обработки комплексных (квадратурных) сигналов.
Даже простой поиск в Интернете выявляет методы обработки сигналов, связанные с ПГ, применяющиеся в следующих областях: П квадратурная модуляция и демодуляция (связь); а автоматическая регулировка усиления (АРУ); О анализ двух- и трехмерных комплексных сигналов; а построение изображений в медицине, анализ сейсмических данных и океанических волн; О оценка мгновенной частоты; а обработка сигналов в радарах/сонарах и анализ сигналов во временной области с использованием вейвлетов; П измерение задержки приема сигналов; приемники телевидения высокой четкости (НРТЪ'); акустические системы, комнатная акустика и анализ механических вибраций; а сжатие аудиосигналов и цветных изображений; и анализ нелинейных и нестационарных систем.
Во всех этих приложениях ПГ используется либо для генерации, либо для измерения комплексных сигналов во временной области, и именно здесь проявляется сила ПГ. ПГ дает нам в буквальном смысле другое измерение возможностей обработки сигналов, т. к. мы переходим от двухмерных действительных сигналов к трехмерным комплексным сигналам. Уясним, как это делается. 9.2. Почем нас текзаннмаетп еоб зованнедильбе тз? Рассмотрим несколько математических определений. Если мы имеем действительный сигнал х„(Г), мы можем связать с ним некоторый комплексный сигнал х (г), определяемый как хс(г) = х„(г) + ух((г) .
(9-2) Комплексный сигнал хс(г) известен как аналитический сигнал (потому что он не содержит спектральных компонентов с отрицательными частотами), а его действительная часть равна исходному действительному сигналу х„(г). Ключевым моментом здесь является то, что мнимая часть х((() сигналах (г) есть ПГ исходного сигнала х„(г), как показано на рисунке 9.4. х,(() х ,(0 х,(0 = х,(0+/х,(0 х,(0 Рис.
9.4. Функциональное соотношение между хс(() и х,(1) Как мы вскоре увидим, во многих практических ситуациях работа с х,(г) оказывается более простой и понятной, чем работа с исходным сигналом х„(г). Прежде чем мы увидим, почему это так, продолжим исследование х,(г) и попытаемся придать ему некоторый физический смысл. Рассмотрим действительный сигнал х,(г) = сох(в г), точнее четыре его периода, и его пГ х((г), представляющее собой синусондальный сигнал, изображенные на рисунке 9.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
