Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Рисунок 8.3 подтверждает правильность (8-7) и обосновывает представление комплексного числа в полярной форме (8-3): МеФ. Если вместо г в верхней строке рисунка 8.3 мы подставим — 7ф мы придем к несколько отличной, но очень полезной форме тождества Эйлера: е Ф = соз(ф) — 7яп(ф) . (8-8) ! Леонард Эйлер (1.еоп)гагг1 Ец!ег), который родился в Швейцарии в 1707 году, считается многими историками величайшим математиком мира.
Между прочим, фамилия ' Ец!ег произносится как «Ойлер». 8.2. Запись комплексных чисел ,з + ,г г. г4 + 4! вг =1 + з! 'чФ) г! Ю з! УФ) 04) 4! 5! + +„, чг) 6! вгФ =1 + )Ф з з~ в~Ф =1 + )Ф + +г 4~ 5' е~Ф = сов(ф) +/в)п(ф) Рис. 8.3. Один из способов вывода тождества Эйлера с использованием разложений ег, сов(ф) и з!п(ф) в ряд Полярная форма (8-7) и (8-8) выгодна нам по следующим причинам: а она упрощает математические выкладки и анализ, преобразуя тригонометрические уравнения в более простые показательные, математические операции над комплексными числами подчиняются тем же правилам, что и операции над действительными числами; и она преобразует сложение сигналов в простое сложение комплексных чисел (векторное сложение); и это самая короткая форма; О она показывает, как реализуются и описываются в литературе системы связи.
Вот вам пример того, как полярная форма комплексных чисел может упростить математический анализ. Допустим, мы хотим разобраться в процессе умно- жениЯ комплексного числа ст = соз(ф) +751п(ф) на дРУгое комплексное число сг = соз(2ф) — )яп(2ф), аргумент которого равен удвоенному значению аргумента первого числа, взятому с обратным знаком.
Произведение имеет вид: ст сг - [соз(ф) +7Яп(ф)][сов(2ф) — 7Яп(2ф)] = - соз(ф)соз(2ф) + яп(ф)з)п(2ф) +7[яп(ф)соз(2ф) — соз(ф)яп(2ф)] . (8-9) Используя тригонометлрические тождества для произведения функций, мы можем записать (8-9) как ст сг - (т/2)[соз( — ф) + соз(3ф) + соз(-ф) — соз(3ф)] + +7(1/2)[яп(3ф) + яп( — ф) — яп(3ф) + яп( — ф)] = = соз(-ф) + гяп( — ф) - соз(ф) — гяп(ф) . (8-10) Таким образом, произведение стсг есть число, комплексно-сопряженное сомножителю сп Это не слишком впечатляет, гораздо больше впечатляет простота данной операции в полярной форме. Глава В.
Кв а ныа сигналы Мы можем записать все это одной короткой строкой: с1с2 =еФе 124 = е Ф, (8-11) которая эквивалентна (8-10). Для математического анализа обычно выбирают полярную форму. Вернемся к квадратурным сигналам. Чтобы понять природу квадратурных сигналов во временной области, мы будем использовать уравнения (8-7) и (8-8). Но прежде вдохнем поглубже и войдем в Сумеречную Зону оператора). Выше уже приводилось определение1 = 1 — 1.
Словами его можно выразить так: 1 представляет собой число, которое при умножении само на себя, дает -1. Да, это определение для новичка создает определенные трудности, т. к. все мы знаем, что любое число, умноженное само на себя, дает положительный результат. (К несчастью, технические учебники часто именно так определяют), а затем с поспешностью, впрочем, оправданной, переключаются на способы использования оператора 1для анализа синусоидальных сигналов. Читатели быстро забывают о вопросе: «Что на самом деле значит1 = ~1 — 1?») Символ 1 — 1 уже был известен математикам в течение некоторого времени, но не принимался всерьез до тех пор, пока в ХЪ'1 веке они не были вынуждены использовать его для решения кубических полиномиальных уравнений 11, 2).
Математики неохотно начали принимать абстрактное понятие ~/- 1, не имея потребности в его визуализации, т. к. его математические свойства были совместимы с арифметикой обычных действительных чисел. Именно идея Эйлера совместить комплексные числа и действительные косинусы и синусы, а также блестящая идея комплексной плоскости, предложенная Гауссом, окончательно узаконили понятие 1 — 1 для европейских математиков в ХУП1 веке. Эйлер, выходя за пределы области действительных чисел, показал, что комплексные числа имеют четкую связь с хорошо известными действительными тригонометрическими функциями синус и косинус. Подобно тому, как Эйнштейн показал эквивалентность массы и энергии, Эйлер показал эквивалентность действительных синусов и косинусов комплексным числам.
Беря пример с современных физиков, которые не знают, что собой представляет электрон, но хорошо понимают его свойства, мы не будем беспокоиться о том, что такое1, а удовлетворимся пониманием его поведения. Мы будем рассматривать 1 не как число, а как операцию над числом, точно так же, как мы рассматриваем операции изменения знака или умножения. С нашей точки зрения оператор1 обозначает поворот комплексного числа на 90' против часовой стрелки. Давайте посмотрим, почему.
Мы освоимся с представлением мнимых чисел на комплексной плоскости, изучив математические свойства оператора) = 1-1, как показано на рисунке 8А. Умножение любого числа, лежащего на действительной оси, на1 дает мнимое значение, лежащее на мнимой оси. Пример в левой части рисунка 8.4 показывает, что если +8 представлено точкой, лежащей на положительной полуоси действительной оси, то умножение +8 на1дает мнимое число +18, расположенное на положительной полуоси мнимой оси.
Аналогично, умножение +18 на) приводит еще к одному повороту на 90 и дает число — 8, лежащее на отрицательной полуоси действительной оси, потому что12= — 1. Умножение — 8 на1приводит к дальнейшему повороту на 90' и дает число 18, лежащее на отрицательной полуоси мнимой оси. Когда любое число умножается на), результатом становится поворот на 90' против часовой стрелки.
(В противоположность этому умножение на — 1 приводит на комплексной плоскости к повороту в направлении по ходу часовой стрелки на 90 .) 8.2. Запись комплексных чисел Если мы в (8-7) положим ф = уттт2, то мы можем сказать, что е)ж/з - соз(уттт2) +18(п(л/2) = О «-11, еут/2 = т' (8-12) Мнимая ось Мнимая ось т-н-н-н 4Н~ 8 Действительная ось ~«-ьь+~-ь~аь 8 Действительная -8 ось нажатии-нт-+ О Гь = умножение на -у иь = умножение нау Рис. 8.4. Преобразования числа В при умножении на)и -1 витальная вительная (ь) (а) Рис. 8.5. Мгновенное фото двух комплексных чисел, показатели степени которых меняются со временем: (а) числа показаны точками; (Ь) числа изображаются в виде фаворов Возьмем таймаут, чтобы перевести дыхание. Не унывайте, если идеи мнимых чисел и комплексной плоскости кажутся несколько загадочными.
Вначале так бывает со всеми — вы будете осваиваться с ними тем больше, чем больше вы будете их использовать. (Помните, что оператор т' озадачивал самых маститых математиков Европы в течение многих лет.) Конечно, не только математика комплексных чисел кажется поначалу несколько странной, но н применяемая терминология Это следует запомнить.
Если у вас есть одно комплексное число, представленное точкой на комплексной плоскости, то умножение его на) нли на еУ" ~ даст новое комплексное число, повернутое на 90' против часовой стрелки на комплексной плоскости. Не забывайте об этом, т. к. это пригодится при чтении литературы по системам квадратурной обработки! 342 Глава В. Кв а ные сигналы весьма необычна. Тогда как использование термина «мнимый» просто неудачно, термин «комплексный» совершенно сбивает с толку.
При первой встрече с ним выражение «комплексные числа» заставляет нас думать о неких сложных числах. Это тем более достойно сожаления, что понятие комплексных чисел в действительности не так сложно . Просто знайте, что целью приведенных выше математических рассуждений было обоснование выражений (8-2), (8-3), (8-7) и (8-8). Теперь (наконец-то!) поговорим о сигналах во временной области. 8.3. Представление действительных сигналов с помощью комплексных фазоров Теперь рассмотрим комплексную величину, которая является функцией времени. Рассмотрим число, модуль которого равен единице и фазовый угол которого увеличивается со временем. Это комплексное число представлено точкой е~~"Лг, показанной на рисунке 8.5 (а).
(Член 2гг~; представляет собой частоту в радианах в секунду, которая соответствует частоте /, периодов в секунду, измеряемой в Герцах.) По мере увеличения времени Г фазовый угол комплексного числа растет, и число описывает окружность с центром в начале координат комплексной плоскости в направлении против хода часовой стрелки.
На рисунке 8.5 (а) показано это число, представленное жирной точкой, зафиксированное в некоторый произвольный момент времени. Если, скажем, частотами; = 2 Гц, то точка будет обходить окружность два раза в секунду. Мы можем также представить себе другое комплексное число е )Зэк (белая точка), которое вращается по ходу часовой стрелки, т. к.
его фазовый угол с увеличением времени становится все более отрицательным. Назовем два комплексных выражения е)Зэк и е 1~"ЛФ квадратурными сигналами. Каждое из них имеет действительную и мнимую части, и оба они являются функциями времени, Эти выражения е)хкг г и е )2'Ю в литературе часто называют комплексными экспонентами. Мы можем также представить квадратурные сигналы е)2кЮ и е )З'Ю как концы фаворов, вращающихся в противоположных направлениях, как показано на рисунке 8.5 (Ь). Дальше мы будем придерживаться этого фазорного представления, т. к.
оно позволит нам достигнуть цели — представления действительных синусоид в контексте комплексной плоскости. Для более полногопонимания поведения простого квадратурногосигнала нарисунке 8.6 изображена трехмерная траектория сигнала е)2«ХФ, которую он описывает с течением времени. Чтобы показать, что е)2кЛг описывает спиральную траекторию, ориентированную в соответствии с правилом буравчика, ось которой совпадает с осью времени, мы добавили временную ось, направленную от страницы к читателю.
Действительная и мнимая части е)2'Ю на рисунке 8.6 показаны как синусная и косинусная проекции, что позволяет лучше понять соотношение (8-7). Блестящий американский инженер Чарльз П. Стейнмец (СЬаг!ез Р. Яе!пщетг) который в начале двадцатого века первый использовал мнимые числа для анализа электрических цепей, избегал использования термина «комплексные числ໠— он называл нх общими числами (яепега! пищЬегз). 8.3. П ставление действительных сигналов с помощью комплексных зо ов 343 з 0 Л сов(2кг,!) Рис.
8.8. Движение е!аалто~ со временем Чтобы понять физический смысл всего сказанного, вспомним, что непрерывный квадратурный сигнал е)Зло~ - соз(2лГ Г) +7з1п(2л~ Г) — не просто математическая абстракция. Мы можем генерировать е)З"Л~ в нашей лаборатории и передавать его в другую лабораторию. Для этого достаточно двух генераторов синусоидальных сигналов одинаковой частоты 1'. (Однако мы должны каким-то образом синхронизировать эти два генератора так, чтобы разность фаз генерируемых сигналов составляла ровно 90'.) Далее мы подсоединяем коаксиальные кабели к выходным разъемам генераторов и протягиваем эти кабели к месту назначения, помегив их надписями сох для косинусоидального сигнала и яп для синусоидального, в соответствии с рисунком 8.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
