Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 64
Текст из файла (страница 64)
(7-36) (7-36') 323 7.2. Инте поли оаанные КИХФНЧ Интерполированный КИХ-фильтр Н,(() х(л) ,.' (а) (Щ О 25 1О а 15 20 О 5 РиоЛ.34. Интерполированный КИХ-фильтр: (а) каскадная структура; (Ь) результи- рующая импульсная характеристика Подавление в полосе задерживания прототипа и субфильтра подавления изображений идентичны и равны требуемому подавлению ИКИХ-фильтра. Слово «интерполированный» в названии ИКИХ-фильтров используется потому, что субфильтр подавления изображений интерполирует нулевые отсчеты импульсной характеристики формирующего субфильтра Ь,й(Ь), в результате чего общая импульсная характеристика Ь(1;,(Ь) ИКИХ-фильтра на рисунке 734 (Ъ) оказывается почти эквивалентной импульсной характеристике длины К,ь нерекурсивного КИХ-фильтра.
(Вы заметили, что Ь(ят(Ь) представляет собой интерполированную версию Ьр(Ь)на рисунке 7.32 (Ъ)?) Некоторые авторы подчеркивают это обстоятельство, называя субфильтр подавления изображений интерлолятором. Частота дискретизации в пределах ИКИХ-фильтра не меняется, поэтому никакой интерполяции на самом деле нет. Чтобы дать вам стимул для дальнейшего чтения, рассмотрим следующий пример, который демонстрирует огромное преимущество ИКИХ-фильтра с точки зрения количества операций. Рассмотрим проектирование КИХ-фильтра с линейной ФЧХ, нормированная ширина полосы пропускания которого равна ,- 0.1, неравномерность АЧХ в полосе пропускания равна О.
( дБ, ширина переходной полосы/(, = 0.02, а подавление в полосе задерживания не меньше 60 дБ. (Неравномерность АЧХ в полосе пропускания представляет собой размах пульсаций от пика до пика в дБ.) АЧХ прототипа (Н,Я) при коэффициенте расширения М = 3 показана на рисунке 7.35 (а). Ось частот этих графиков пронормирована так, что значение 0.5 на оси абсцисс представляет частоту 1, /2 Гц, т. е. половину частоты дискретизации. Частотная характеристика формирующего субфильтра при М - 3 приведена на рисунке 7.35 (Ъ), при этом центр изображения находится на частоте 1/М. Характеристика субфильтра подавления изображений на рисунке 7.35 (с) показана сплошной линией, а характеристика всего фильтра приведена на рисунке 7.35 (()).
Чтобы реализовать требования к исходному фильтру, соответствующие рисунку 7.35 (д), потребовался бы традиционный КИХ-фильтр с М~;„= 137 ответвлениями, где индекс "г/тт" обозначает традиционный КИХ-фильтр. В нашем ИКИХ-фильтре формирующий и подавляющий изображения субфильтры требуют Ур - 45 и У;„- 25 ответвлений соответственно, при этом общее количество ответвлений составляет А(/;„= 70. 324 Глава 7.
Специальные КИХ- ильт ы нижних частот -00, -бО 0.1 0.2 0.3 0.4 О.б Частота (ь) 0 0.1 0.2 О.З 0,4 Частота (а) Об 0 -60 -бО 0 0.1 0.2 0.3 0.4 О.б 0 0.1 0.2 О.З 0.4 О.б Частота Частота (с) (о) Мы можем определить относительное уменыпение количества операций в процентах в случае использования ИКИХ-фильтра по сравнению с традиционным КИХ-фильтром как % уменьшения количества операций = 100()ч(~;т — Нл — )ч(т)/)ч(у(т.
(7 -37) При этом И КИХ-фильтр из рассмотренного примера обеспечил снижение количества операций по сравнению с традиционным КИХ-фильтром, равное % уменьшения количества операций = 100(137 — 70)/137 = 49%, (7-37') Рисунок 7.35 показывает, что ширина переходной полосы (форма) 1Н(уьЯ~ определяется шириной переходной полосы ~Н,ьЩ, и этим оправдывается решение назвать )т,б()т) «формирующим» фильтром 7.2.1.
Выбор оптимального значения коэффициента расширения М Коэффициент расширения М заслуживает нашего внимания, т. к. он может оказывать существенное влияние на вычислительную эффективность ИКИХ-фильтров. Чтобы показать это, предположим, что в нашем примере на рисунке 7.35 мы приняли М = 2. В этом случае мы реализовали бы ИКИХ-фильтр, параметры которого приведены в строке М = 2 таблицы 7.4 и который обеспечивает уменьшение объема вычислений на 43 %. При М = 2 коэффициент сжатия Н,ьЯ в частотной области меньше, что потребовало увеличения количества ответвлений Ь,ь()т) по сравнению со случаем М = 3.
Рис.7.36. Амплитудно-частотные характеристики для примера ИКИХ-Фильтра .нижних частот: (а) характеристика прототипа; (Ь) характеристика Формирующего субфильтра; (с) характеристика субфильтра подавления. изображений; (б) характеристика окончательного ИКИХ-фильтра 7.2. Инте поли ованныеКИХФНЧ 325 таблица 7.4. Зависимость снижения количества операций ИКИХ-фильтра от М Количество ответвлений Уменьшение количества операций в% КоэФфициент расширения а „(к) й (к) ИКИХ-фильтра 69 77 49 25 70 45 130 35 95 (7 -38) М вЂ” [1Д21л )) . где Ъх~ обозначает усечение х до целого числа.
Таким образом, приемлемыми будут целые значения коэффициента расширения в диапазоне 2 ( М ( М Вычисляя (7-38) для примера ИКИХ-фильтра, приведенного на рисунке 7.35, получаем М = [ 1/[2(0.1 + 0.02)Ц = 4, (7 -38') что объясняет диапазон значений М, использованных в таблице 7.4. 7.2;2. Оценка количества ответвлений КИХ-фильтра Для оценки уменьшения количества' операций при использовании ИКИХ-фильтров необходим алгоритм вычисления количества ответвлений %традиционного нерекурсивного КИХ-фильтра. Ряд авторов предлагали эмпирические формулы для оценки значения 1т' традиционных нерекурсивных КИХ-фильтров на основе неравномерности АЧХ в полосе пропускания, подавления в полосе задерживания и ширины переходной полосы [8, 15-17). Наиболее простое выражение для расчета Если бы мы взяли М = 4, уменьшение объема вычислений составило бы всего 8%, как показано в таблице 7.4.
Это объясняется тем, что изображения Н,ьЯ располагаются так близко друг к другу, что требуется фильтр подавления изображений повышенного качества (с увеличенным количеством ответвлений). Как часто бывает в обработке сигналов, здесь требуется найти разумный компромисс. Нам хотелось бы использовать большие значения М, чтобы как можно сильнее сжать переходную полосу Н,ьЯ, но увеличение М требует уменьшения ширины переходной полосы субфильтра подавления изображений, что приводит к увеличению количества ответвлений Ь;„ф) и требуемого объема вычислений. В нашем примере ИКИХ-фильтра на рисунке 7.35 значение М = 3 является оптимальным, потому что оно дает наибольший коэффициент уменьшения объема вычислений по сравнению с традиционным нерекурсивным однокаскадным КИХ-фильтром.
Как показано на рисунке 7.33 (Ъ), максимальное значение М равно наибольшему целому числу, удовлетворяющему условию 1/М вЂ” 1'„ол ) ~,~Оп, которое обеспечивает отсутствие перекрытия изображений. Следовательно, верхняя граница М определяется выражением зге Глава 7. Специальные КИХ- ильт ы нижних частот Ж, дающее результаты, согласующиеся с другими оценками при неравномерности АЧХ в полосе пропускания в районе 0.1 дБ, имеет вид Ж = Аттеп/122(М)Я„ор — /ро, )] Ж;, = Аггеп/[22(1/М вЂ” / „— /р, )] . (7-39') (7-39" ) 7.2.3. Моделирование характеристик ИКИХ-фильтров Уменьшение объема вычислений ИКИХ-фильтра зависит от коэффициента расширения М, ширины полосы пропускания и ширины переходной полосы разрабатываемого ИКИХ-фильтра. Чтобы продемонстрировать эту зависимость, подставим выражения (7-39) в (7-37) и запишем о уменьшения количества операций = - 100~(М вЂ” 1)/М вЂ” М~, „, /(1 — М/; — 2М/' )] .
(7-46) График, построенный согласно (7-40) для ширины полосы пропускания, равной одной десятой частоты дискретизации (1„, =0.1), показан на рисунке 7.36 (а) и показывает достижимые значения коэффйциента уменыпения объема вычислений как функцию ширины переходной полосы для коэффициентов расширения 2, 3 и 4. Рассмотрев внимательно рисунок 7.36 (а), мы видим, что при большой ширине переходной полосы (скажем,/ьч„, = 0.07) сумма ширины полосы пропускания и ширины переходной полосы так велика по сравнению с шириной полосы пропускания, что только коэффициент расширения М - 2 позволит избежать перекрытия изображений.
При меньших значениях ширины переходной полосы можно использовать значения коэффициента 3 и 4. Например, когда ширина переходной полосы лежит в диапазоне от 0.005 до 0.028, коэффициент расширения М = 3 дает большее уменьшение количества операций, чем М = 2. Оптимальное значение (обеспечивающее наибольшее уменьшение объема вычислений) коэффициента расширения как функция ширины переходной полосы приведено на рисунке 7.36 (Ь). Черные точки на рисунке 7.36 представляют пример ИКИХ-фильтра, показанный на рисунке 7.35, с шириной переходной полосы/„- 0.02. Чтобы показать, как процент снижения количества операций ИКИХ-фильтров изменяется в зависимости от заданной ширины полосы пропускания, на рисунке 7.37 приведены характеристики ИКИХ-фильтра при ширине полосы пропускания, составляющей 5% частоты дискретизации (/р, = 0.05).
Числа на графиках на рисунке 7.37 (а) представляют значения коэффйциента расширения. Х~;„= АггепД22(т, — /р „)], (7-39) где Агтеп — подавление в полосе задерживания в дБ,/ и/ — нормированные (относительные) частоты, показанные на рисунке 733 (д) 11$]. Аналогично, количество ответвлений прототипа и субфильтра подавления изображений можно оценить по формуле 7.2. Инте поли оввнныеКИХФНЧ 327 80 н о 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09 Ширине переходной полосы 7 (а) 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09 Ширина переходной полосы 7 (Ь) Рис. 7.36. Параметры ИКИХ-фильтра как функции ширины переходной полосы при 7 = О.
7: (а) процентное уменьшение количества операций; (Ь) оптимальйые значения коэффициента расширения 20 ы 10 О 2 0 0 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0 05 Ширина переходной полосы т „, (Ь) 0.01 0 02 0.03 0.04 0.05 Ширина переходной полосы 7 (а) Рис. 7.37. Параметры ИКИХ-фильтра как функции ширины переходной полосы при 7 = 0.06: (а) процентное уменьшение количества операций; (Ь) оптимальные значения коэффициента расширения о 80 Б 3 с 40 й в $ 20 80 'Ь в 70 о и о 50 У 50 с е 40 3 4 $ г но 3.5 й Е 3 3 ,х 2.5 3 % 3 я.е и ф 7 г Йе 3, 3 3 с 3 Глава 7. Специальные КИХ- ильт ы нижних частот 828 'а а80 о 8 то о И Г 50 о 50 а 40 3 а зо ж а 20 а в а„о а х о О.ООО1 80 'а 'х а \~ Ф с о а Ф н о Ф х с х О Ф а то 8О 50 40 зо а л а з Й а Х о 20 ш о 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09 Ширина пареходнсй полосы Ч„ 0.001 0.01 ол Ширина переходной полосы Г (ь) (а) 7.38.
Максимальное уменьшение объема вычислений в процентах в зависимости от ширины переходной полосы при 1„= О. 1: (а) в линейном масштабе; (Ь) в логарифмическом масштабе осйчастот Рис Оптимальные значения М в зависимости от ширины переходной полосы показаны на рисунке 7.37 (Ь). Кривые на рисунке 7.37 (а) показывают, в соответствии с отношением в квадратных скобках (7-40), что при приближении ширины переходной полосы к нулю процент снижения количества операций приближается к 1ОО(М вЂ” 1)/М. Мы продолжаем обсуждение эффективности ИКИХ-фильтров, рассматривая жирную кривую на рисунке 7.38 (а), которая представляет максимальное уменьшение количества операций как функцию ширины переходной полосы для ИКИХ-фильтра с 1р, = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
