Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Концептуально интерполяция состоит в генерации непрерывной кривой уг(г), которая проходит через точки, соответствующие значениям отсчетов х И(и), как показано на рисунке 10.5 (а), с последующей дискретизацией этой кривой с новой частотой дискретизации ~„,и для получения интерполированной последовательности х„(и) на рисунке 10.5 (Ь). Конечно, непрерывные кривые не могут строиться цифровыми машинами, поэтому нам необходимо получать х (п) непосредственно из х,14(п). Для повышения заданной частоты дискретизации в М раз нам необходимо вычислить М-1 промежуточных значений между каждыми двумя соседними отсчетами х ~,~(п). Этот процесс абсолютно прямолинеен, и понять его лучше всего на примере. Предположим, что мы имеем последовательность х,~,~(п), часть которой показана на рисунке 10.6 (а), и мы хотим увеличить частоту дискретизации в М - 4 раза. Спектр последовательности х Ы(п) приведен на рисунке 10.6 (а) в диапазоне от 0 Гц до 4У„и.
Обратите, пожалуйста, внимание: штриховые линии на графике Х и(и) обозначают копии спектра. Чтобы повысить частоту дискретизации последовательности х м(п) в четыре раза, мы, как правило, добавляем три нуля между каждой парой отсчетов, как показано на рисунке 10.6 (Ь), в результате чего получаем новую последовательность х;„,(и ). Индекс 1пт означает 1пгегшейаСе, т.е. промежуточная. Заметьте, что при п" = 4и значение хм,(и') = х,14(п), т. е. старая последовательность теперь включена в новую. Введение нулей устанавливает новые значения индексов последовательности интерполированных значений х;„(и ). звв Глава 10.
П об азование частоты диск етизации, ~ х, (л) 1 и- в -- и а- м о~ — р (а) ~ х (л) и ° ем и ° и в 1 ° (ь) о -1 и и ° ° Рис. 10.5. Преобразование частоты дискретизации:(а) исходная последовательность;(Ь)последовательность,частотадискретизациикоторой увеличена в три раза (а) Время О Гю 2(ам З(м 4( м Частота (г,) (ь) Время С Геа 2Гое Зт и Г Частота (г,) (с) ВРемЯ С ~е„2(м Зтое Г „Частота (7,) т т Рис.
10.6. Интерполяция в четыре раза: (а) исходная дискретизированная последовательность и ее спектр; (Ь) введение нулей в исходную последовательность и результирующий спектр; (с) выходная последовательность интерполирующего фильтра и окончательный спектр интерполированной последовательности Спектр Хги (и) последовательности х;„х(и) показан на рисунке 10.6 (Ъ), где (яем-4(о(4. Составляющие спектра Х;„,(т), нарисованные сплошными линиями, центры которых расположены на частотах, кратных1о(4, называются изображениями. Добавив нули, мы просто повысили эффективную частоту дискретизации до (см. рис.
10.6 (Ъ)). Последний шаг интерполяции состоит в том, чтобы отфильтровать последовательность х;аг(п ) фильтром нижних частот, амплитудно- частотная характеристика которого изображена на рисунке 10.6 (Ъ) штриховой линией на частотах вблизи 0 Гц нулем Гц, чтобы подавить изображения спектра. 389 10.3. Объединение п о ежиаания и инте поляции Этот фильтр нижних частот называется интерполирующим фильтром, а его выходная последовательность и есть требуемая х„,„(п ), показанная на рисунке 10.6 (с) и имеющая спектр Х„(т). Итак,мы сделали все, необходимое для внедрения нулей, интерполяции и фильтрации? Ну, не совсем — из-за того, что мы не можем реализовать идеальный фильтр нижних частот, х„, (и ) не будет точной интерполяцией последовательности х,~Яп).
Ошибка проявляется как остатки изображений в Х„ии(т). При использовании идеального фильтра эти остатков не было бы. Мы можем только аппроксимировать идеальный интерполирующий фильтр нижних частот. Важно помнить, что точность всего процесса интерполяции зависит от уровня подавления в полосе задерживания интерполирующего фильтра. Чем больше подавление, тем точнее интерполяция. Как и в случае прореживания, интерполяцию можно рассматривать как упражнение по проектированию фильтров нижних частот. Обратите внимание на то, что из-за внедрения нулей процесс интерполяции приводит к потере амплитуды в М раз. Следовательно, чтобы обеспечить единичный коэффициент преобразования х ы(п) в х„и,(п ), фильтр интерполяции должен иметь коэффициент усиления, равный М.
И еще один последний момент, относящийся к интерполяции. Вы можете впасть в заблуждение, думая, что интерполяция — порождение современной теории и применения цифровой обработки сигналов. (Например, она используется, когда мы повышаем частоту дискретизации музыкального сигнала перед подачей его на цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП), выходной сигнал которого подается далее на усилитель и громкоговоритель в проигрывателе компакт-дисков.
Такое повышение частоты дискретизации снижает стоимость аналогового фильтра, включенного на выходе ЦАП). Не стоит так думать. Древние астрономические клинописные таблицы (составленные в Уруке и Вавилоне за '200 лет до Рождества Христова) показывают, что для заполнения пропущенных клеток в таблицах положения небесных тел, когда атмосферные условия препятствовали прямым наблюдениям, использовалась линейная интерполяция [31. С тех пор интерполяция часто использовалась для заполнения пропущенных данных. 10.3. Объединение прореживания и интерполяции Хотя изменение частоты дискретизации в целое количество раз с помощью прореживания или интерполяции и может быть полезным, что делать, если нам необходим нецелый коэффициент преобразования частоты дискретизацииу Можно реализовать преобразование частоты дискретизации с любым рациональным коэффициентом М/Р путем последовательного выполнения интерполяции в М раз и прореживания в Р раз.
Поскольку отношение М/Р можно получить с такой точностью, какую мы хотим, при правильном выборе целых М и Р, мы можем практически реализовать почти любое значение коэффициента преобразования. Например, повышение частоты дискретизации с коэффициентом 7.125 можно выполнить путем интерполяции с М = 57 с последующим прореживанием в Р = 8 раз, т. к. 7.
125 = 57/8. Глава 10. П еоб азоввниечастотыдиск етизации Изменение частоты дискретизации с коэффициентом М/Р изображается в виде схемы, показанной на рисунке 10.7 (а). Операция повышения частоты, обозначенная как 7 М, состоит во введении М вЂ” 1 нулевых отсчетов между парами отсчетов хо)~(л). Замечательным свойством этой процедуры является то, что вычислительная сложность изменения частоты дискретизации с рациональным коэффициентом М/Р меньше, чем сумма вычислительных сложностей интерполяции и последующего прореживания, выполняемых по отдельности. Это объясняется тем, что мы можем объединить интерполирующий фильтр ЕРРм и прореживающий фильтр 7РР0 в один фильтр, который на рисунке 10.7 (Ь) обозначен как йРРм/0.
Процесс, изображенный на рисунке 10.7 (Ь) обычно называют преобразованием частоты дискретизации, потому что, если М > Р, мы имеем интерполятор, а при Р > М мы имеем устройство прореживания. (Фильтр 7РРМ/0 часто называют многочастотным фильтром.) Фильтр 7.РРм/0 должен существенно подавлять спектральные изображения, возникающие при интерполяции, чтобы вызванные ими искажения полезного сигнала не превышали некоторого допустимого уровня. Интерполяция Прорежиеание к, (п), : к (и") (а) Вь 1 М ).РЕм (.РЕп (, 0 Преооразоеатель частоты дискретизации к,„(п) к (м~ тМ ЬРЕме Е 0 (ь) Рис. 10.7. Преобразование частоты дискретизации с рациональным коэффициентом: (а) комбинация интерполяции и прореживания; (Ь) преобразование частоты дискретизации с помощью единственного фильтра Заметим, что граница полосы задерживания фильтра 1РРмдолжна быть меньше /2, чтобы после прореживания не возникали наложения.
Подавление в полосе задерживания АРРм/0 должно быть достаточно большим, чтобы остатки ослабленных изображений спектра не вносили шум недопустимо высокого уровня, когда они накладываются на диапазон частот от 0 до/и /2в результате прореживания. И снова наша задача интерполяции/прореживания сводится к задаче проектирования ФНЧ. Для ее решения мы можем применить все наши знания и все инструменты, которые доступны для проектирования ФНЧ.
При программном проектировании интерполяторов/прореживателей мы хотим, чтобы ФНЧ эффективно подавлял изображения спектра, и его реализация работала как можно быстрее. Для аппаратурных интерполяторов/прореживателей мы стремимся до- ' стичь разумного компромисса противоречивых требований высокого качества (минимального уровня наложений), простой архитектуры, высокой пропускной способности и низкого энергопотребления.
Фильтрация прн измейении частоты дискретизации в том виде, в каком мы ее представили, удручающе неэффективна. Представьте себе изменение частоты дискретизации сигнала с коэффициентом 4/3; нам необходимо вставить в исходную последовательность три нулевых отсчета на каждый исходный отсчет, а затем подать эту расширенную последовательность на ФНЧ. Три четверти умножений 10.4. Поли зные ильт ы при реализации фильтра будут давать нулевой результат. Затем мы отбросим две трети отфильтрованных отсчетов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
