Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Это объясняется тем, что, например, значение х(1) — х „в квадратных скобках представляет собой разность значения текущего отсчета х(1) и среднего значения х„,. Другая важная величина, которую мы будем использовать — это стандартное отклонение, которое определяется как положительное значение квадратного корня из дисперсии, или (11-3) Другими словами, среднее значение х„„представляет собой постоянный уровень, относительно которого значения отдельных отсчетов могут изменяться.
Дисперсия оЗ представляет собой сумму квадратов отклонений отдельных отсчетов от среднего уровня х,„,'. Если последовательность х(п) представляет собой временной ряд или отсчеты сигнала, мы можем сказать, что х „определяет постоянную составляющую сигнала, стандартное отклонение о отражает амплитуду флуктуаций,или переменной составляющей сигнала, а дисперсия е2 отражает мощность переменной составляющей.
(Для тех читателей, кто не каждый день сталкивается с этими понятиями статистики, в приложении Р приводится объяснение их природы.) Теперь мы готовы исследовать два вида усреднения — когерентное и некогерентное, чтобы узнать, чем они отличаются друг от друга и в каких условиях их следует применять.
11.1. Когерентное усреднение В процессе когерентного усреднения (известного также как линейное, преддетекторное; или векторное усреднение), ключевую роль играет временная сетка, используемая для дискретизации исходного сигнала: мы накапливаем множество последовательностей отсчетов смеси сигнала с шумом, причем необходимо, чтобы начальная фаза сигнала во всех этих последовательностях была одна и та же. Например, когда мы усредняем синусоиду, смешанную с шумом, для когерентного усреднения необходимо, чтобы начальная фаза синусоиды была одинаковой во всех последовательностях отсчетов.
Когда это требование выполняется, усреднение синусоиды дает ее истинные отсчеты. Шум, однако, отличается в каждой последовательности, участвующей в усреднении,и результат его усреднения равен нулю . Смысл этого в том, что когерентное усреднение уменьшает дисперсию шума, сохраняя в то же время неизменными отсчеты сигнала, которые синхронны, или когерентны, относительно начала интервала накопления.
При когерентном 1 Точнее, средний квадрат отклонений от среднего уровня — (прим. перев.). 2 Мы предполагаем, что отсчеты шума некоррелированы друг с другом ис частотой дискретизации. Если какой-то компонент шума коррелируется с частотой дискретизации, после усреднения он останется. 413 11.1. Косе нтное с еднение усреднении мы можем действительно улучшить отношение сигнал/шум. В качестве примера рассмотрим последовательность из 128 отсчетов, график которой приведен на рисунке 11.1 (а). Эта последовательность содержит отсчеты импульса, искаженного шумом. (Для иллюстрации сказанного исходный импульс, амплитуда которого равна 2.5, показан в качестве фона рисунка 11.1.) В графике смеси сигнала с шумом (жирная черная линия) на рисунке 11.1 (а) очень трудно разглядеть исходный импульс.
Допустим, мы накопили 32 набора по 128 отчетов смеси сигнала с шумом вида Набор отсчетов1 = х~(1), хт(2), х1(3), ..., хт( 128), Набор отсчетов 2 = хг(1), хг(2), хг(3), ..., хг( 128), Набор отсчетов 3 = ху(1), ху(2), ху(3), ..., ху(128), (11-4) Набор отсчетов 32 - хзг(1), хзг(2), хуг(3), ..., юг( 128). Здесь на сцену выходит вопрос когерентности: моменты времени взятия отсчетов должны быть каким-то образом синхронизированы с началом импульса, взаимное положение импульса и первого отсчета во всех последовательностях должно быть одинаковым.
Когерентное усреднение 32 наборов отсчетов путем сложения (11-4) по столбцам выглядит следующим образом зг хесе (Й) = ( 1/32) ~х„(Й) - [хт(Й) + хг(Й) + хз(Й) + ... + юг(/г)1/32 п 1 или хдсе ( 1) [х~( 1) < хг( 1) + хг( 1) -~- ... + хуг( 1)[/32 х„(2) - [х1(2) + хг(2) + ху(2) + ... + юг(2)1/32 хесе (3) = [хт(3) + хг(3) + ху(3) + ... + юг(3) 1/32 (11-5) х (128) = [хт(128) + хг(128) + ху(128) + ... +юг(128)1/32. Если мы усредним 32 последовательности, как показано в (11-5), мы получим 128-точечную последовательность х,„,(1), график которой показан на рисунке 11.1 (Ь). Здесь мы уменьшили шумовые флуктуации, и форма импульса становится более явной.
Когерентное усреднение 256 последовательностей дает график, показанный на рисунке 11.1 (с), где форма импульса видна уже достаточно хорошо. Мы уменьшили шумовые флуктуации, сохранив в то же время отсчеты импульса. (Здесь важно уяснить, что и суммирование, и усреднение уменьшают дисперсию шума. Суммирование просто реализует (11-5) без деления на Н = 32. Ели мы выполняем суммирование и не делим на М, мы просто изменяем вертикальный масштаб графиков на рисунках 11.1 (Ь) и (с). Однако относительный уровень шумовых флуктуаций по отношению к амплитуде импульса остается неизменным.) 414 Глава 11.
Ус дненне сигналов (е) 2 0 1 20 40 60 80 100 120 Время (ь) 20 40 60 80 100 120 Время (е) 2 20 40 60 80 ' 100 120 Время Рис. 11.1. Смесь импульса с шумом: (а) один из наборов отсчетов; (Ь) результат усреднения 32 наборов отсчетов; (с) результат усреднения 256 наборов отсчетов Математическая основа процесса усреднения (11-5) имеет большое значение и в то же время не представляет сложности. Нам необходимо получить меру улучшения отношения сигнал/шум в процессе когерентного усреднения как функцию Л(, количества усредняемых наборов отсчетов. Допустим, мы хотим измерить уровень некоторого постоянного сигнала А, и каждый раз, когда выполняется измерение, мы получаем разные значения А.
Мы понимаем, что наши измерения искажаются шумом, так что результат п-го измерения г(п) равен г(п) = А 4 по(зе(п) (11-6) где по(зе(п) представляет вклад шума. Наша цель состоит в том, чтобы определить А в условиях, когда мы не имеет никаких других данных, кроме зашумленной последовательности я(п). Для более точной оценки А мы усредняем )т'отсчетов г(п) и вычисляем среднее значение г„ 11.1. Коте ентное с пение 415 Чтобы оценить точность результата тала, мы вычислим последовательность средних т (я) и посмотрим, как они флуктуируют.
т, (1) - [т(1) + т(2) + т(3) + - + тР) 1/)~1, 1-е среднее по Уточкам т (2) = [т(И+1) + т(И+2) + т(1ч'+3) + ... + т(2ИЯ/л1, 2-есреднеепо Иточкам т (3) = [т(2%+1) + т(2й1+2) + т(2Ж+3) + ... + т(ЗЩИ,3-е среднее по слюнкам т (() =[т([й — 1[ %+1)+т([й — 1[ И+2)+тф — 1~ й7+3)+...+т(й Ж)[/У, (11-7) или в более компактной форме т.„(й) - (1/Ж) ~ (Р-1[ У+и) . п-1 (11-8) Чтобы увидеть, как усреднение уменьшает неопределенность измерений, нам необходимо сравнить стандартное отклонение последовательности средних гаса(я) со стандартным отклонением исходной последовательности т(п).
Если стандартное отклонение исходной последовательности измерений т(п) равно оы, то, как показано в [1 - 5[, стандартное отклонение последовательности средних по Мотсчетам таза(я), еа, определяется выражением е - етафУ. (11-9) 5МЯ1л - А/о;„. (11-10) Соответственно, отношение сигнал/шум после усреднения, ЯХЯааа, будет равно ~~аае тасе /~~аае А/стасе (11-11) Далее, коэффиЦиент УлУчшенил отношениЯ сигнал/шУм, ЯУЯ 1а котоРый мы получили благодаря когерентному усреднению, равен отношению ЯМА„, к 5МВ;я, или 1 Формула (11-9) основана на предположении, что среднее шума равно нулю и что ни А, ни ам не меняются в процессе выполнения наших измерений и усреднения. Формула (11-9) имеет важное значение, поскольку она говорит нам, что последовательность средних т (/г) будет флуктуировать относительно А не так сильно, как исходные результаты™измерений ~(п); т.
е. последовательность т (я) будет содержать меньше шума, чем последовательность т(п) и, чем сильнее мы усредняем, повышая У, тем ближе отдельные оценки т са(Й) к истинному значению А'. С другой стороны, мы можем количественно оценить уменьшение шума вследствие усреднения. Если величина А представляет уровень сигнала, а оы — стандартное отклонение шума, искажающего сигнал, мы можем утверждать, что отношение сигнал/шум равно 416 Глава 11. Ус еднение сигналов Коэффициент улучшения ЯМА, ), = = 5й~яаге /5~%а = (А/оаое )/(А/ога) ога /па о (11-12) Подставляя еа из (11-9) в (11-12), получаем коэффициент улучшения отношения сигнал/шум Коэффициент улучшения 5ХВоав - оги/(а)а/ГМ) = )/гч' (11 13) Итак, с помощью усреднения мы можем достичь улучшения отношения сигнал/шум, пропорционального квадратному корню из количества усредняемых отсчетов.
При измерении отношения сигнал/шум в децибелах мы имеем коэффициент улучшения когерентного усреднения, или интегрирования, равный Коэффициент улучшения ЯИЯ Л(ЙВ) = 20 ' 1ов)о(5й~йоая) = 20 ° 1ой)оФУ) = 10 1ойго()ч) . (11-14) Формулы (11-13) и (11-14) также справедливы, если А характеризует уровень сигнала, а ога представляет стандартное отклонение исходного шума. Другой способ, с помощью которого можно определить коэффициент интегрирования, достигаемый при когерентном усреднении, состоит в рассмотрении стандартного отклонения входного шума а;а и вероятности получения того или иного конкретного значения амплитуды импульса, показанного на рисунке 11.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
