Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Процесс, описываемый уравнением (11-22) реализуется так, как показано на рисунке 11.13. Преимущество экспоненциального усреднения в том, что оно требует всего одну ячейку памяти для хранения значения у(л-1) до получения следующего входного отсчета х(л).
Название этого устройства происходит от его импульсной характеристики. Предположим, что на вход устройства усреднения поступает длинная последовательность нулей и в момент времени 1-0 мы подаем на его вход один единичный отсчет. Затем входная последовательность снова представляет собой последовательность нулей. Выходная последовательность устройства усреднения при а - ОА показана на рисунке 11.14. В момент г = О входной отсчет умножается на а, следовательно, выходной отсчет равен 0.4. На следующем такте входной отсчет равен нулю, а старое значение ОА умножается на (1 — 0.4), или 0.6, давая значение выходного отсчета 0.24.
На следующем такте входной отсчет опять равен нулю, старое значение, равное 0.24, умножается на 0.6 и дает выходной отсчет, равный 0.144. Дальше выходная последовательность, или импульсная характеристика, устройства экспоненциально уменьшается вследствие последовательных умножений на 0.6. 431 11.5. Экспоненциальное с еднение у(л) 1-а Рис. 11.13. Устройство экспоненциального усреднения Выходной сигнал усредняющего фильтра 0.40 к 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0 и 4м 0 1 2 3 4 5 5 7 8 9 Время Рис. 11.14.
Импульсная характеристика устройства экспоненциального усредне- ния приа = 0.4 Полезной особенностью устройства экспоненциального усреднения является то, что оно позволяет изменять степень подавления шума путем изменения значения весового коэффициента. Если а=1, входные отсчеты не ослабляются, предыдущие отсчеты среднего не учитываются, и никакого усреднения не происходит. В этом случае изменения входной последовательности передаются непосредственно на выход. Когда а уменьшается по величине, входные отсчеты ослабляются, предыдущие выходные отсчеты начинают влиять на значение текущего выходного отсчета. Эти предыдущие отсчеты представляют собой сумму экспоненциально взвешенных входных отсчетов, и такое суммирование сглаживает зашумленный сигнал. Чем меньше а, тем сильнее подавляется шум.
С другой стороны, чем меныпе а, тем медленнее устройство реагирует на изменения входного сигнала. Мы можем увидеть это, посмотрев на переходные характеристики устройства экспоненциального усреднения при разных значениях а, приведенные на рисунке 11.15'. Итак, мы должны найти компромисс. Чем больше подавление шума, тем медленнее устройство усреднения будет реагировать на изменения входного сигнала.
Мы видим по рисунку 11.15, что при уменьшении а, позволяющем лучше 1 Переходная характеристика представляет собой выходную последовательность устройства усреднения, когда на его вход подается последовательность, состоящая из нулей, за которой следует последовательность, состоящая из единиц. 432 Глава 11. Ус еднение сигналов подавлять шум, для установления выходного сигнала требуется больше времени. Некоторые производители измерительных приборов используют хитроумный прием для достижения компромисса между подавлением шума и временем установления выходного сигнала.
В начале измерения они используют большое значение а, так что выходной сигнал сразу принимает ненулевое значение. Затем, с течением времени, значение а уменьшается для достижения требуемого подавления шума. гнал усредняющего Фильтра 1.0 0.9 0.8 2 и ° Г а 01 и' оа 0.8 0.5 0.4 0.З 0.2 оп и 0 г 4 В В 10 12 14 гв 1В Время Рис. 11.15.
Выходной сигнал устройства экспоненциального усреднения при подаче на его вход ступенчатого сигнала в момент времени ~0 как функция а Как было показано в [9, 10], уменьшение дисперсии шума на выходе устройства усреднения, как функции весового коэффициента а описывается выражением дисперсия выходного шума/дисперсия входного шума = = 5ЛгЯ „= а,/(2 — а) . (11-23) Следовательно, уменьшение мощности шума в децибелах определяется выражением 5%Я Ив 10108101а/(2 — а)] .
(11-24) На рисунке 11.18 приведен график выражения (11-24), который иллюстрирует соотношение между уменьшением шума и временем реакции устройства усреднения. Чтобы продемонстрировать способность устройства экспоненциального усреднения уменьшать мощность шума, на рисунке 11.17 показан выходной сигнал при подаче на вход устройства косинусоиды, смешанной с шумом. Весовой коэффициент а линейно уменьшается, начиная со значения 1.0, до значения 0.1 на 180-м отсчете входной последовательности. Обратите внимание на уменьшение шума при уменьшении а.
Однако, амплитуда косинусоиды также уменьшается при маленьких значениях а. 11.5. Экспоненциальное с еднение Снижение мощности шума в дБ 15 Более быстрая реакция Более медленная реакция .. я гя инт ~и 1г оя 0 5 т е 5 4 з 'г 1 а Рис. 11.16. Уменьшение мощности шума на выходе устройства экспоненциального усреднения как функция весового коэффициента а а = .45 а = .1 1 45 90 135 150 225 Отсчеты (время) Рис. 11.17. Уменьшение выходного шума устройства экспоненциального усреднения при уменьшении а Читатель может обнаружить, что реализация устройства экспоненциального усреднения на рисунке 11.13 представляет собой БИХ-фильтр с одним ответвлением (12]. Действительно, это так и есть, и мы можем определить его частотную характеристику.
Для этого вспомним общее выражение для частотной характеристики БИХ- фильтра (6-28), приведенное в главе 6, которое мы повторяем здесь: Нггя(то) = [ ~~к~ Ь(Ь)сое(Ьто) — у,~к Ь(Ь)яп(Ьто)1/ (11-25) /[1 — ~т а®соз(Ьто) +у~~> аЯ)яп(Ьш)) 5=1 5=1 По сравнению с рисунком 6-18 мы должны модифицировать (11-25), положив Ж = 0 н М = 1, так что 434 Глава 11. Ус еднение сигналов Н (в) — [Ь(О) ° сох(Ов) — 1ЦО) ° яп(Ов)]/ /[1 — а(1) ° соз(1в) + 1а(1) ° з)п(1в)] . (11-26) Теперь, при о(О) = а и а(1) = 1 — а, частотная характеристика устройства экспоненциального усреднения приобретает вид комплексного выражения Н (в) = а/[1 — (1 — а) ° сов(в) + 1(1 — а) ° з)п(в)] .
(11 26') В настоящий момент нас интересует только АЧХ этого фильтра, которую мы можем записать как ]Н (в)] = ]а/[1 — (1-а) ° соз(в)+1(1 — а) ° яп(в)]] = =а/ [1 — (1-а) ° соя(в)] + [(1 — а) 8[п(в)] = (11 27) = а/ [1 — 2 ° (1- а) ° соз(в) + (1- а)2 -Со (а) .15 -20 Г!2 ув ОТВ Ио -20 10) -Зо Мо -00 -20 Рис. 11.18. Частотная характеристика устройства экспоненциального усреднения в зависимости от а: (а) нормированная логарифмическая АЧХ в дБ; [Ь) ФЧХ в градусах Библиог а ия 435 Вычисляя (11-27) в диапазоне нормированных угловых частот О < ш < и (который соответствует диапазону частот О ~ / < / /2 Гц), мы получаем АЧХ нашего экспоненциально усредняющего фильтра для разных значений а, приведенные на рисунке 11.18 (а) с использованием нормированного логарифмического масштаба. Обратите внимание, что при уменьшении а устройство экспоненциального усреднения ведет себя как все более узкополосный фильтр нижних частот.
Мы можем попрактиковаться в работе с комплексными числами, выведя выражение для ФЧХ устройства экспоненциального усреднения. Мы знаем, что ФЧХ вычисляется как арктангенс отношения мнимой части Н, (ш) к действительной части Н, (ш), или Ф (ш)= (11-27') = Гап 1[внимая часть Н (ш)/действительная часть Н (ш)] . Чтобы найти мнимую и действительную части частотной характеристики мы, зная, что Н (ш) является отношением комплексных чисел, определяем, какие переменные в (11-26') соответствуют выражению (А-20) в приложении А.
В результате получаем: 21=а, 11 = О, Я2 = 1 — (1 — а) ° соз(ш) и 12 = (1 — а) ° яп(ш). Подстановка этих переменных в (А-20) дает Н (ш) = [а[1 — (1 — а) ° соз(ш)] — 1[а(1 — а) ° яп(ш)])/ /[[1 — (1 — а) соз(ш)]з+ [(1 — а) ° з!п(ш)]2) (11-28) Обозначив знаменатель этого сложного уравнения (11-28) как Реп, мы используем (11-27), чтобы представить фазовый угол Н (ш) в виде Ф, (ш)= = Гап 1([ — а(1 — а) ° яп(ш)/Реп] /[а[1 — (1 — а) ° соз(ш)]/Реп)) = = гап 1[ — (1 — а) ° яп(ш)/[1 — (1 — а) ° соз(ш)]) .
(11-29) Очень нелинейная характеристика ф (ш), описываемая выражением (11-29), вычислена в диапазоне нормированных угловых частот 0 < ш < и, соответствующем диапазону частот О < / < /; /2 Гц, и показана в виде графика на рисунке 11.18 (Ь). Библиография 1. МП1ег, 1., апд Ргеипг), ]. РгобаЫЫу апИ Ягагигсьв~огЕп8(пеегз, 2пд Ег!., Ргепг)- се-НаП, Епй!ежоог) СИгз, Ыев ]егзеу, 1977, р.' 118. 2.
ВеПег,.[., апд Р!езз, Ж. «А Мог)п!аг АП-Нап! Орг1са! Типе-Роша!и Кейессошегег 1ог СЬагасгег)г1п8 Р[Ьег 1.!п)гз», Нет!егт-расяап(]оигпа!, РеЪгпагу 1993. 3. Бр!ейе), М. К. 7пеогуапг1РгоЫетво1 5га6вг(ся, 5Ьзиш'з Оитйпе 8епез, МсСгач -Н!П Воо)г Со., Ыеш Уог)г, 1961, р. 142. 436 Глава 11. Ус еднение сигналов 4. РароиЪз, А. РтоЬаЬЕЕЕгу, Капт)от Уаг)аБЕез, апт15тос)тазтЕс ртосеззез, МсОгатт-Н)!1 Воо)т Со., Хетч Уог)г, 1984, р. 245. 6.
Рачепротт, ЧК. В.,)г., апд Коот, Ж. 1.. ИаптЕогл Я8пай аптЕНоие, Мсбгатт-Н111 Воо)г Со., Хеъ Уот)т, 1958, рр. 81-84 (есть русский перевод Давенпорт В., Рут В.: «Введение в теорию случайных сигналов и тпумов», М., ИИЛ, 1960). 6. »Че!сЬ, Р. Р. «ТЬе 1)зе оЕ Разт РоиПег ТгапзЕопп Еог тЬе Езтнпайоп оЕ Розг Брестга: А Ме)Ьод Вазед оп Типе Ачегай)п8 очег 5Ьотт, Мод)йед Рег)одойтатпз», 1ЕЕЕ Тгапзаспопз оп Аит))о аптЕЕЕес~гоасоий., Чо1. А11-15, Хо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
