Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 89
Текст из файла (страница 89)
12.1. Ошибки квантования: (а) оцифрованные значения непрерывного сигналахх(л); (Ь) ошибка квантования как разность между реальными значениями аналогового сигнала и оцифрованными отсчетами Рисунок 12.1 (Ь) показывает шум квантования во временной области, но мы можем также показать этот шум в частотной области. На рисунке 12.2 (а) пунктирной линией показан один период непрерывной синусоиды, совпадающий с интервалом наблюдения, а черными точками показана квантованная версия отсчетов этого сигнала. Заметьте, что квантованные отсчеты сигнала могут принимать только целые значения, что приводит к ступенчатиому эффекту отклонения вверх и вниз от истинной неквантованной кривой. Длина слова здесь равна 4 битам, один бит для знака и три бита для модуля. При этом границы представимых между 0 и — 7.81 мВ.
В этом случае АЦП выдает слово 10000001, представляющее значение — 7.81 мВ, хотя входное напряжение не достигает — 7.81 мВ. Выходное слово АЦП 10000001 содержит некоторую ошибку квантования. Каждый последующий отсчет содержит ошибку квантования, потому что значения выходных слов АЦП должны лежать на горизонтальных пунктирных линиях, показанных на рисунке 12.1 (а). Разность между действительным напряжением непрерывного сигнала и его цифровым представлением показана на рисунке 12.1 (Ь) как ошибка квантования. Для идеального АЦП ошибка квантования, или шум округления, не может быть больше +1/2 МЗР, или +3.905 мВ.
12.3. екты конечной длины слова... 447 значений равны +7. На рисунке 12.2 (Ь) показан результат ДПФ дискретной версии этой синусоиды, отсчеты которой не округлялись до целых значений и точность которых очень высока. Обратите внимание на то, что в этом случае ДПФ имеет ненулевой отсчет только при т = 1. С другой стороны, на рисунке 12.2 (с) показан спектр округленных до 4 бит отсчетов, показанных на рисунке 12.2 (а), где квантование привело к появлению шумовых компонентов на всех частотах.
Если графики шума на рисунках 12.1 (Ь) и 12.2 (с) выглядят случайными, то это потому, что они такие и есть. Но, несмотря на то, что шум квантования АЦП представляет собой случайный процесс, мы все же можем количественно оценить его влияние. дыллиуудв сииусоиды мадамам 6 ° а) ~ ', аде~ 4 ам ., Ь., а аа' . . П ' зз зв зо 42 46 св и 84 ВУ во вз Ои у 0 3 6 9 121518 21 242730 и -2 (8) аам " » аам аа»ави ДПФ ив««аилывиисв сииусоиды (д6) -2О (ь) ыо .80 а и- -1-а-т-а-ви-1-и-1-и-1-а-1-а-(-и-1-и-у(-а а-а-а-м-1-м-1-а-ы 0 2 4 6 В 1О 12 14 16 18 20 28 24 26 28 30 дПФ «вал«ода«иод сииусоиды ИЫ О -зу (с) -4О а а а а и и и а у а -во и а .Вод — а а м а а ' и ° а а — а-«-и-а-а — а а — » ыа- 0 2 4 6 8 10 12 14 16 1В 20 22 24 26 28 ЗО Рис.
12.2. Влияние шума квантования: (а) входная синусоида, подаваемая на 64-точечное ДПФ; (Ь) теоретический модуль ДПФ для высокоточных отсчетов; (с) модуль ДПФ синусоиды, округленной до 4 битов Для оценки качества некоторого процесса или прибора в области телекоммуникаций часто используется понятие отношения сигнал/шум, которое равно отношению мощности сигнала к мощности шума. Мы можем поступить так же и получить выражение 5АУЯл гу для отношения сигнал/шум идеального АЦП, учи- 448 Глава 12. н оные о маты данных н нх ль в об аботке сигналов тывающее эффекты конечной разрядности. Поскольку шум квантования представляет собой случайный процесс, мы не можем непосредственно представить его мощность, но мы можем использовать ее статистический эквивалент, дисперсию, чтобы определить 5АГЯА/Р в децибелах следующим образом ~~~А/Р = 10 ° 1о810(дисперсия входного сигнала/дисперсия шума квантования АЦЦ) = о(0( яр~о(/ А/Р поие ) (12-8) Далее, мы определим дисперсию шума квантования АЦП по отношению к максимальному входному напряжению АЦП У„.
Если полный размах (от — У до + У Вольт) непрерывного входного сигнала Ь-битового АЦП равен 2У, то шаг р' квантования д равен этому диапазону, деленному на количество возможных значений выходного слова АЦП, или () = 2У /2Ь. (На рисунке 12.1, например, шаг квантования г7 равен цене МЗР в 7.81 мВ ) На рисунке 12.3 показан график функции, которая характеризует вероятность получения того или иного заданного значения ошибки квантования и называется функцией плотности вероятности ошибки квантования р(е). роя тности АЦП р(е) -д/2 0 г)/2 е (Значение ошибки) Рис.
12.3. Функция плотности вероятности ошибки (шума) округления аналого- цифрового преобразования Простая прямоугольная функция может рассказать нам о многом. Она показывает, что вероятности появления любых значений ошибки в диапазоне от — г)/2 до +г7/2 одинаковы. По определению, т.к. площадь под графиком функции плотности вероятности равна единице (т. е. вероятность того, что ошибка окажется где-то в пределах от — д/2 до -~д/2, равна 1), максимальное значение р(в) должно быть равно площади, деленной на ширину прямоугольника, или р(е) = 1/г7.
Согласно рисунку Р.4 и (0.12) в приложении П, дисперсия равномерной функции р(в) равна в/г в/г а2А/Рпо„о = )в~р(в)ав - (1/г7) ° ) вгйе = дг/12. (12 9) -в/2 -в/2 Теперь мы можем выразить дисперсию ошибки квантования через параметры АЦП,заменив 4 в(12-9) над-2У /2Ьи получив р а~А/Р ноно = (2УР) /112 ° (2Ь) 1= ( ур)~/(1 ° 22Ь) (12 10) Итак, мы на полпути к цели — формула (12-10) дает нам знаменатель (12-8), нам остается получить числитель. Чтобы получить общий результат, выразим уровень входного сигнала через его среднеквадратичное значение (СКЗ), максимальное входное напряжение АЦП и коэффициент использования г'.Г, определяемый как 12.3. кты конечнойдлины слова... 449 АГ = СКЗ входного сигнала/'бтр = а я(/ у' .' (12-11) Мы возводим (12-11) в квадрат и выполняем его преобразования, чтобы представить дисперсию сигнала а 2„.
е) в виде (12-12) Подставляя (12-10) и (12-12) в (12-8), получаем 5Ь7Ц/р =10 ° 10810((ЕГ)2172/1)/2/(3 ° 226)1) = 10 ° 10810НХГ)2'(3 226)1 = = 6.02'Ь+ 4. 77 + 20 ° 1оя(0(1Х) . (12-13) Формула (12-13) выражает 5!!~Я А 70 идеального Ь-битового АЦП через коэффициент использования и количество битов Ь. На рисунке 12А приведены графики (12-13) для разных длин слова АЦП как функции коэффициента использования. Обратите внимание на то, что коэффициент использования на рисунке 12.4 никогда не превышает — 3 дБ, потому что пиковое значение входного напряжения АЦП не может превышать 17р Вольт.
Таким образом, СКЗ синусоидального входного сигнала не может быть болыпе, чем Зур /т(2 Вольт (на 3 дБ ниже Р ). (идеальный) 6О ы-б 70 Быстрее ухудшение отношения сигнвл!шун за ограничения 12-би 10-би 40 6-бит зо 6-би го 1О -16 -12 -9 .6 -3 Коэффициент использования (дБ) -21 -16 Рис. 12.4. ЯИ)!гд р идеального АЦП как функция коэффициента использования в дБ Когда амплитуда входной синусоиды равна максимальному входному напряжению АЦП бгр, коэффициент использования Буравец ББяслной шхабы (1 р //2)/17р 1/)~2 .
(12-14) При этом максимальное отношение сигнал/шум, согласно (12-13), равно 5ХКл/р = 6,02 Ь + 4. 77 + 20 10810( 1/'~2) = = 602 Ь + 477+301 = 602рЬ + 176 дБ. (12-15) В приведенных выше рассуждениях об отношении сигнал/шум АЦП можно выделить три важных для нас момента: 1. Идеальный АЦП имеет отношение сигнал/шум 5ФЯ4/)), определяемое выражением (12-13), следовательно, никакой непрерывный сигнал, который мы пытаемся оцифровать с помощью Ь-битового АЦП, никогда ~бр р бр Г у б ! Раздел Р.2 приложения Р напоминает нам, что, если дисперсия оз связана с мощностью сигнала, то стандартное отклонение связано с СКЗ сигнала. 460 Глава 12. и овые о матыданныхи их ель в об аботке сигналов чем определяется выражением (12-13).
Допустим, к примеру, что мы хотим оцифровать непрерывный сигнал, имеющий отношение сигнал/шум 55 дБ. При использовании идеального восьмибитового АЦП, для которого отношение сигнал/шум для полной шкалы равно 6.02 ° 8 + 1.76 = 49.9 дБ согласно (12-15), шум квантования исказит цифровые отсчеты, и результирующее отношение сигнал/шум для цифрового сигнала не может быть больше 49.9 дБ. В результате аналого-цифрового преобразования мы потеряем отношение сигнал/шум.
(Для оцифровки непрерывного сигнала, имеющего отношение сигнал/шум 55 дБ, мы могли бы использовать десятибитовый АЦП с его 5ЖЯА/1э = 62 дБ, при этом ухудшение отношения сигнал/шум из-за шума квантования было бы незначительным.) Формулы (12-13) и (12-15) применимы к идеальным АЦП и не учитывают дополнительные источники шума, такие как ошибка апертурного джичтера, ошибки, связанные с пропуском кодов и другие нелинейности. Таким образом, реальные АЦП имеют отношение сигнал/шум ниже идеального, предсказываемого выражением (12-13). На практике благоразумно предполагать, что 5УЯА/~> ', на 3 — 6 дБ ниже того, что дает (12-15). Выражение (12-15) часто приводится в литературе, но оно иногда может приводить к ошибкам, т.
к. нельзя подавать на вход АПЦ сигнал с размахом, равным полной шкале АЦП. Разумно подавать на АЦП сигнал, уровень которого несколько ниже, т. к. неизбежные флуктуации сигнала могут привести к ограничению сигнала и внесению, таким образом, искажений в него. Следовательно, оценка (12-15) очень оптимистична, и на практике отношение сигнал/шум АЦП будет меньше, чем показывает (12-15). Для более точной оценки отношения сигнал/шум АЦП следует брать такое СКЗ сигнала, которое никогда не будет (или редко будет) приводить к выходу за пределы допустимых входных напряжений АЦП, подставлять это значение в (12-11) для вычисления значения коэффициента использования, которое затем использовать в (12-13)'. Здесь тоже увеличение длины слова облегчит эту проблему, увеличив доступное отношение сигнал/шум.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
