Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Если длина слова беззнакового числа равна Ь бит, количество разных значений может быть выражено как 2Ь. Например, восьмибитовое число может представлять 2З = 256 различных целых значений. Поскольку ноль включается в число значений, которые необходимо представить, Ь-битовое беззнаковое двоичное слово может представить целые числа от 0 до 2Ь-1.
Наибольшее значение, представляемое беззнаковым восьмибитовым словом, равно 2З вЂ” 1 = 2551о - 11111111з. В двоичном формате «знак плюс модуль» Ь-битовое слово может представлять только числа в диапазоне +2Ь 1 — 1, так что наибольшее положительное и наименьшее отрицательное числа, которые мы можем представить восьмибитовым словом, содержащим модуль и знак, равны +2Ь-1 1 = т127 12.1.5. Двоичный дополнительный формат Другая распространенная система представления двоичных чисел, известная как двоичный дополнительный формат, также использует крайний левый бит как знаковый. Двоичный дополнительный формат является наиболее удобным с точки зрения аппаратурной реализации и используется на протяжении десятилетий.
что и есть 1 — 2 6 - 1 — 1/64 в десятичной системе. Наименьшее ненулевое число равно О000001з, что соответствует десятичному числу 1/64 = 0.0156251О. 442 Глава 12. и овые о матыданных них ольв об аботке сигналов Он делает возможным выполнение в компьютерах как сложения, так и вычитания на одной и той же аппаратуре. Чтобы получить отрицательный эквивалент положительного двоичного дополнительного числа, мы просто дополняем каждый бит (меняем единицу на ноль и ноль на единицу) и прибавляем к дополненному слову единицу. Например, если 00112 представляет десятичное число 3 в двоичном дополнительном формате, мы получаем отрицательное десятичное число 3 следующим образом: +3 в двоичном дополнительном формате - 0011 дополнение +3 - 1100 прибавление единицы +0001 -3 в двоичном дополнительном формате - 1101 В двоичном дополнительном формате Ь-битовое слово может представлять положительные числа до 2Ь 1 — 1 и отрицательные числа до — 2Ь 1.
В таблице 12.2 приведены примеры четырехбитовых слов в формате модуля со знаком и двоичном дополнительном формате. При использовании двоичных дополнительных чисел необходимо быть внимательными при сложении двух чисел разной длины. Рассмотрим случай сложения четырехбитового числа с восьмибитовым: +15 в двоичном дополнительном формате 00001111 плюс+3 в двоичном дополнительном формате - +0011 +18 в двоичном дополнительном формате - 00010010 Пока никаких проблем. Проблема возникает, когда наше четырехбитовое число меньше нуля. Давайте попробуем вместо прибавления +3 к+15 прибавить — 3 к+15: +15 в двоичном дополнительном формате - 00001111 плюс — 3 в двоичном дополнительном формате - +1101 +28 в двоичном дополнительном формате - 00011100 Ошибка! Полученной выше ошибки можно избежать, если над четырехбитовым числом выполнить операцию расширения знака.
Эта операция, выполняемая в аппаратуре'автоматически, распространяет знак четырехбитовго отрицательного числа влево, превращая это число в восьмибитовое. Если мы расширим знак числа — 3, а затем выполним сложение, мы получим правильный ответ: 12.1. воичные о маты с иксу ованной запятой 443 +15 в двоичном дополнительном формате 00001111 плюс -3 в двоичном дополнительном формате с расширенным знаком +11111101 +15 в двоичиом дополнительном формате - 100001100 - Это уже лучше бит переполнения игнорируется Таблица12.2. Форматы двоичных чисел Двоичный Двоичный дополнительный со смещением формат Модуль со знаком Десятичный эквивалент 0111 1111 0111 0110 0110 1110 0101 0101 1101 0100 0100 1100 0011 0011 1011 0010 0010 1010 0001 0001 1001 +О 1000 0000 ОООО -0 1000 1001 1111 0111 1010 1110 0110 1011 1101 0101 0100 1100 1100 1101 1011 0011 1110 1010 0010 1001 0001 1111 1000 0000 12.1.6.
Двоичный формат со смещением Еще одна популярная схема представления двоичных чисел известна как двоичный со смещением формат. Хотя этот формат встречается не так часто, как двоичный дополнительный, он все еще используется в некоторых приборах. В таблице 12.2 приведены примеры двоичного со смещением формата для четырехбитовых слов. В этом формате отрицательные числа представляются разностью беззнакового числа и 2 1. Например, во второй строке таблицы 12.2 444 Глава 12. и овые о матыданнык и их ель а об аботке сигналов двоичное число со смещением равно 11102. Когда это число интерпретируется как беззнаковое двоичное число, оно эквивалентно 1410.
Для четырехбитовых слов Ь = 4 и 2Ь ~ = 8, так что 1410 — 810 = 610, что является десятичным эквивалентом 11102 в двоичном формате со смещением. Разность между эквивалентом двоичного беззнакового числа и десятичным эквивалентом двоичного числа со смещением в таблице 12.2 всегда равна 8. (Читателю интересно будет узнать, что мы можем преобразовывать числа из двоичного дополнительного формата в формат со смещением и обратно простым инвертированием старшего бита.) История, правила'выполнения арифметических операций и использование многих известных форматов чисел представляют собой обширное поле для исследования.
Подробное и доступное обсуждение этого предмета приводится в книге Кнута [2]. 12.2. Точность и динамический диапазон двоичных чисел динамический диапазон~в = 20 ' 1о810(наибольшее возможное значение слова/ /наименьшее возможное значение слова)- (12-6) = 20 ° 1о810~(2ь 1)/1) = 20 ° !о810(2ь 1) Когда 2Ь намного больше 1, мы можем игнорировать — 1 в (12-6) и записать динамический диапазонзв = 20 ° 1о810(2Ь) = = 20 ° 1оя10(2) ° Ь = 6.02 ° Ь дБ.
(12-6') Значение (12-6'), выраженное в децибелах, говорит нам, что динамический диапазон данного формата чисел прямо пропорционален длине слова. Следовательно, восьмибитовое двоичное дополнительное слово, имеющее семь бит для представления модуля, имеет динамический диапазон 6.02 ° 7 = 42.14 дБ. Большинство 1 В некоторых компьютерах используются 64-битовые слова. 2вл равно примерно 1.8 ' 10'Э вЂ” это довольно большое число. Настолько большое, что, если бы мы начали прибавлять 1 к 64-битовому числу один рэз в секунду в момент рождения нашей Вселенной (= 20 миллиардов лет тому назад), сегодня четыре старших разряда этого счетчика все еше оставались бы нулевыми.
Как мы предполагали раньше, для любого двоичного формата чисел ключевым моментом является количество битов в слове. Чем их больше, тем выше разрешающая способность для дробных чисел и больше максимальное представимое значение для целых чисел'. Предполагая, что двоичное слово представляет амплитуду сигнала, специалисты по цифровой обработке сигналов находят полезным характеризовать количественно разные форматы двоичных чисел с помощью динамического диапазона. Для целого двоичного слова со знаком длиной Ь+1 битов (один знаковый бит и Ь битов модуля), динамический диапазон в децибелах определяется как 445 12.3. Э екты конечнойдлины слова...
людей упрощают (12-6'), используя приблизительное правило, согласно которо- му динамический диапазон равен «шесть дБ на бит». 12.3. Эффекты конечной длины слова двоичных чисел с фиксированной запятой Эффекты конечной длины двоичного слова затрагивают все аспекты цифровой обработки сигналов. Использование слов конечной длины не позволяет нам представлять'значения с неограниченной точностью, повышает шум при спектральном оценивании, вызывает отклонение характеристик цифровых фильтров от рассчитанных, вносит шум в результаты АЦП и может (если мы не будем начеку) привести к очень неточным результатам арифметических операций. Чем меньше длина слова, тем существеннее эти проблемы. К счастью, эффекты конечной разрядности достаточно хорошо изучены.
Мы можем предсказать их последствия и предпринять определенные шаги для их минимизации. Первый эффект конечной разрядности, который мы рассмотрим — зто ошибки, возникающие в процессе аналого-цифрового преобразования. 12.3.1. Ошибки квантования в аналого-цифровом преобразователе Реальные АЦП выдают на выход слова конечной длины. Коммерческие АЦП классифицируются по длине выходного слова, которая обычно лежит в пределах от 8 до 16 бит'. Диапазон входного аналогового напряжения обычно составляет от — 1 до +1 Вольта. Если мы используем такой АЦП, выдающий восьмибитовые слова, младший бит соответствует значение МЗР - (диапазон входного напряжения)/2 евине ' "'" = = 2 вольта/2В = 7.81милливольт. (12-7) Это значит, что мы можем без погрешности представлять только те значения входного напряжения, которые делятся нацело на 7.81 — для любых других входных напряжений АЦП выдаст некоторое приближенное цифровое значение.
Погрешность данного процесса называют ошибкой квантования, потому что значение младшего разряда АЦП является неделимым квантом. Мы иллюстрируем эту ситуаг)ию на рисунке 12.1 (а), где показан процесс оцифровки непрерывного сигнала восьмибитовым АЦП, выходные слова которого представлены в формате модуля со знаком. В начале процесса дискретизации в момент времени Г = О напряжение непрерывного сигнала имеет значение 31.25 милливольт (мВ), и значение выходного слова АЦП для отсчетах(0) будет абсолютно точным. В момент времени Т, когда мы берем второй отсчет х(1), непрерьвное напряжение находится 1 В настоящее время в повседневную практику вошли АЦП с длиной слова до 24 бит— (прим.
перев.). 446 Глава 12. и овые матыданныхи их ель в об вботке сигналов Выкояное кнв ание АЦП Амплитуда сигнала в милливольтах 31.25 к кгсг ООООО1ОО оооооон ОООООО1О ООООООО1 оооооооо 23.4З 15.62 7.81 (а) о -7.81 1ОООООО1 10000010 -15.62 -23.43 -31.25 10000011 1ОООО1ОО 0 Т 2Т ЗТ 4Т 57 6Т Время -4й Диапазон ошибки квантования АЦП т,81 к в милливольтах ООООВОО1 н к Днвовкон оанакн «евнтоввнкв 1ОООООО1 (Ь) 0 Т 2Т ЗТ 4Т 5Т ОТ Время 4Ы Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
