Короленкo П.В. Оптика когерентного излучения (1095919), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Это означает, что распределение поля падающей на линзуволны   (, ) будет связано с распределением поля световых колебаний залинзой  ' ( , ) соотношением(3.2.1),где так называемая модуляционная характеристика линзы Т( ,  ) равнаРис. 3.2.1. Однолинзовая система.(3.2.2)где(3.2.3)Рассчитаем теперь переходную функцию однолинзовой системы. Для простоты будемсчитать, что апертура линзы существенно превосходит апертуру падающего на негосветового пучка. Возьмем за основу формулу (1.2.40) гл. 1, исключив из нее легкоучитываемый постоянный фазовый множитель -iexp(ikz). В соответствии с этойформулой входной сигнал (х,у) после прохождения расстояния d0 преобразуется всигнал(3.2.4).Согласно (3.2.1 - 3.2.3), сразу за линзой сигнал принимает вид(3.2.5).Еще раз воспользовавшись формулой (1.2.40), получаем выражение для сигнала ввыходной плоскости (после прохождения на расстоянии d1)(3.2.6).Используя выражения (3.2.4-3.2.6), запишем теперь в явном виде связь междувходным  (х,у) и выходным  (х',у') сигналами(3.2.7).Отсюда видно, что переходная функция однолинзовой системы равна(3.2.8)Положим d0=d1=F.

В этом случае (3.2.8) принимает вид(3.2.9)Используя далее соотношение(3.2.10)и, полагаяпростое выражение, получаем для переходной функции(3.2.11)Если теперь ввести обозначения(3.2.12)то интеграл суперпозиции (3.2.7) можно привести к виду(3.2.13)Отсюда видно, что при выполнении условия d0=d1=F линза выполняет Фурьепреобразование сигнала: ее задняя фокальная плоскость является спектральнойплоскостью входного сигнала. Таким образом, линза может предельно простовыполнять математическую операцию, представляющую трудность даже для сложныхэлектронных устройств.Заметим, что спектр с точностью до легко учитываемого фазового множителя будетформироваться в фокальной плоскости даже в том случае, когда d0>F. При этомусловии выражение (3.2.7) приводится к виду (промежуточные выкладки мы опускаем)(3.2.14)Фазовый множитель, (3.2.15)не зависящий от вида входного сигнала, легко учитывается при последующейобработке.3.2.2.

Формирование изображения [1]Конечно, наиболее известным свойством линз является их способность формироватьизображение. Если предмет пемещен перед линзой и освещен, то при определенныхусловиях в другой плоскости возникает распределение интенсивности, которое оченьнапоминает предмет. Это распределение называется изображением предмета.Изображение может быть действительным в том смысле, что в плоскости за линзойвозникает действительное распределение, и мнимым в том смысле, что свет за линзойкажется исходящим из новой плоскости, расположенной перед линзой.Предположим, что плоский предмет, находящийся на расстоянии d0 передположительной линзой, освещен монохроматическим светом.

Обозначим комплексноеполе непосредственно за предметом через  (x,y) Распределение поля, котороевозникает на расстоянии d1 за линзой, обозначим через  '(x',y'). Наша задача определить условия, при которых распределение поля  ' можно с уверенностьюназвать "изображением" распределения поля в плоскости предмета  .Ввиду линейности явления распространения волн поле  ' можно представить в видеинтеграла суперпозиции (3.1.5). Тем самым свойства системы, создающейизображение, будут полностью описаны с помощью импульсного отклика h (см.(3.2.8)).Чтобы оптическая система давала высококачественное изображение, поле  ' должнокак можно меньше отличаться от  .

Это означает, что импульсный отклик долженприближенно походить на  -функцию, т.е.(3.2.16)где K - комплексная постоянная, М - увеличение системы, а знак плюс или минусучитывает возможность как прямого, так и обратного изображения. Поэтому"плоскостью изображения" мы будем называть ту плоскость, где (3.2.16) выполняетсялучше всего.Преобразуем (3.2.8) к виду(3.2.17)Соотношения (3.2.17) играет важную роль при определении зависимости между  и  '.Однако без дальнейших упрощений трудно определить условия, при которыхраспределение ' можно с уверенностью назвать изображением распределения  .Самые неприятные члены в приведенном выше выражении для импульсного отклика это члены, содержащие квадратичные фазовые множители. Заметим, что два из них:(3.2.18)не зависят от координат линзы ( ,  ). Эти члены определяют фазовое искривление вплоскостях (x',y') и (x,y).

Если бы мы решили рассматривать формированиеизображения между двумя сферическими поверхностями, а не между двумяплоскостями, эти члены можно было бы исключить. Однако можно показать, что и вслучае формирования изображения между двумя плоскостями оба эти членанесущественны.Опуская множитель, заметим, что в подавляющем большинствепредставляющих интерес случаев конечной целью задачи формирования изображенияявляется получение некоторого распределения света, которое будет воспринятодетектором, реагирующим только на интенсивность (например, фотопленкой). Так какрассматриваемый член изменяет только распределение фазы, он никак не будет влиятьна результаты измерения интенсивности и, следовательно, может быть опущен.К сожалению, от фазового множителяне удается освободиться стольже просто, поскольку он зависит от переменных интегрирования (x,y) интеграласуперпозиции.

Однако в большинстве случаев, представляющих интерес, от него тожеможно избавиться. Если система, создающая изображение, ведет себя приблизительнотак же, как идеальная система, для которой справедливо соотношение (3.2.16), тоамплитуда волны в точке с координатами (x',y') будет определяться вкладом толькоочень малой области в пространстве предмета с центром в точке, соответствующейидеальному геометрическому изображению (рис. 3.2.2).Рис. 3.2.2.

Область R, в которой функция h для точки с координатами (x',y') имеет значительнуювеличину.Если внутри этой малой области аргументдолю радиана, то можно использовать приближениеизменяется не более чем на(3.2.19)Теперь экспоненциальный член можно опустить, так как он не зависит от (x, y) иследовательно, не влияет на результат измерения интенсивности в плоскости (x',y').Воспользовавшись приведенными соображениями, перепишем выражение дляимпульсного отклика в виде(3.2.20)Чтобы получить совсем простой результат, рассмотрим случай, когда плоскостьнаблюдения расположена на таком расстоянии d1 от линзы, что удовлетворяетсясоотношением. (3.2.21)Это соотношение известно из геометрической оптики, где оно называется формулойлинзы.

Соотношение (3.2.21) определяет расположенную за линзой точку, в которойпересекаются лучи, исходящие из одной точки предмета (точка изображения). Вприближении геометрической оптики выполнение формулы линзы означает, чтоимпульсный отклик системы достаточно близок к идеальному. Предположение овыполнении формулы линзы позволяет свести импульсный отклик к виду(3.2.22)Определяя увеличение системы как(3.2.23)находим последний упрощенный вид импульсного отклика(3.2.24)Таким образом, если формула линзы справедлива, то импульсный отклик соответствуеткартине дифракции Фраунгофера на апертуре линзы, причем центр картины находитсяв точке изображения.Перейдем теперь к анализу соотношения между предметом и изображением.Рассмотрим сначала свойства изображения, предсказываемые геометрической оптикой.Чтобы найти это идеальное изображение, допустим, что длина волны стремится кнулю.

В этом случае дифракционные эффекты становятся несущественными.Производя замену переменных(3.2.25)выражение для импульсного отклика (3.2.24) можно переписать в виде(3.2.26)Так какстремится к нулю, область значений ( ), где функция зрачка Р равнаединице, будет безгранично увеличиваться, что дает возможностьзаменить Р единицей, оставив те же пределы интегрирования. Таким образом,(3.2.27)Представляя этот результат в интеграл суперпозиции (3.2.16), получаем соотношение,связывающее распределения амплитуды в точках предмета и в точках изображения(3.2.28)Отсюда следует, что изображение, получаемое в приближении геометрической оптики,представляет собой точную копию изображения.Выводы геометрической оптики, конечно, приближенны.

Более точное представление осоотношении между предметом и изображением можно получить только при учетедифракционных эффектов. Чтобы найти такое соотношение, вернемся квыражению (3.2.26) для импульсного отклика и произведем следующуюдополнительную замену переменных:(3.2.29)Импульсный отклик в этом случае будет равен(3.2.30)Заметим, что h теперь пространственно-инвариантная величина, зависящая только отразности координат.

С введением еще одного определения(3.2.31)распределение поля в плоскости изображения принимает вид(3.2.32)В этом выражении мы узнаем свертку импульсного откликаизображения. Для удобства определим новую функцию(3.2.33)Свертку (3.2.32) тогда можно переписать в упрощенном виде:и идеального(3.2.34)где(3.2.35)Соотношения (3.2.34) и (3.2.35) представляют собой конечный результат настоящегоанализа.

Они показывают, что при учете дифракционных эффектов изображение нельзябольше считать точной копией предмета. Полученное изображение дает несколькосглаженный облик предмета, что является следствием неравенства нулю шириныимпульсного отклика . Это сглаживание может привести к значительномуослаблению мелких деталей предмета и соответственно к потере точностивоспроизведения изображения. Точно такое же явление можно наблюдать в случае,когда электрический сигнал проходит через линейную электрическую схему. Еслидлительность импульсного отклика схемы велика по сравнению с "временемпульсаций" входного сигнала, то схема будет сглаживать входной сигнал. Такимобразом, быстрые изменения входного сигнала не будут воспроизводиться на выходе.3.3.

Характеристики

Список файлов лекций