Микаэлян А.Л., Тер-Микаэлян М.Л., Турков Ю.Г. Оптические генераторы на твердом теле (1967) (1095904), страница 23
Текст из файла (страница 23)
При этом, очевидно, надо учитывать и дифракцпонныс явления на зеркалах, которые будут приводить к изменению структуры поверхностных волн при каждом отражении. Таким образом, в строгой постановке задача выглядит весьма сложно. Фактически она сводится к нахождению спектра собственных колебаний диэлектрического образца при наличии близко расположенных проводящих зеркал конечных размеров. Для простейших форм образцов в виде сферы или сфероида такую задачу, по-видимому, решить можно. В связи с этим представляет интерес рассмотрение теории заполненных резонаторов для случая зеркал бесконечных размеров.
Надо сказать, что для большинства оптических генераторов на твердых средах этот случай достаточно хорошо отображает реальное положение. Действителыю, поперечные размеры используемых цилиндрических образцов обычно очень велики по сравнению с длиной волны. Поэтому поле поверхностной волны в основном сосредоточено внутри образца, а амплитуда поля вне образца, спадающая в радиальном направлении по экспоненцнальному закону, очень мала даже при неболыпом удалении от образца. Если размер зеркала больше поперечных размеров образца, то поле поверхностной волны на краях зеркала Ф'.87) где ео о1 й== — )г ер; ро-= —; с с будет очень малым, и дифракционные явления при отражении будут выражены весьма слабо.
С ростом диэлектрической проницаемости образца поле сильнее концентрируется внутри образца, поэтому роль дифракциояных явлений на краях зеркал уменьшается и следовательно, можно считать зеркала заполненного резонатора бесконечно протяженнымн. Все это справедливо для не очень высоких типов поверхностных волн. Исследование заполненного резонатора с плоскими зеркалами !!34, 135) бесконечных размеров (рис, %.20) ие чп л . - оС )и (Хг) ~ з!ппячзщ ' 2 ььон lо (хг) . Е... он «г Х оп й, р,, Е,у„(хг) . )н х х 'хг — '1- /' (Хг) — )С вЂ”" и — --- соз агре! и -г — г.
!оно. 1Ъ'.20. Заполненный резонатор с плоскнмн зеркаламн бес- конечных размеров. представляет больших трудностей. Каждое колебание обра- зуется в результате сложения поверхностных волн, распро- страняющихся вдоль диэлектрического цилиндра навстре- чу друг другу. Поле внутри образца с параметрамн ь, р выражается функциями Бесселя и носит колебательный характер.
Поле вне образца описывается функциями Гак- келя от мнимого аргумента и быстро уменыпается по ампли- туде по мере удаления от образца. Это уменьшение происхо- дит медленнее для тех колебаний, собственные частоты которых расположены ближе к критической частоте. Для области внутри стержня гг а поле имеет вид: Н, =:= /„(Хг) соыир з! п — '"- г, Г он Н, -= ~ — уг, (уг! — С вЂ” '- и - — з( сов лф сон-: — 2, 7., „аое У,(Хг),, дн Х " Х Хг з Х Н --: — ~ — — ' — — '+С вЂ”,/'„(Хг) ) з!ппгрсоз — 'г, Он н уофг) лое .
Ч . дн ь х х . х '" .) Ь Е, == (С!о (Хг) з(п пцсоз — ' г, оп 150 г) — целое число; Š— длина резонатора; с — скорость света: С вЂ” постоянная. Составляющие поля вне стержня г.-,=а имеют внд Н„- ВНо (!Хог)соз п~рз! и -: — ' г, (1> ..
оп ун и> гм . ао ууо (х )1! он Нг -" В ~ Но (!Хоl ) — С вЂ”. "- л — — "- — — ~ со5 гнрсоз -' — - г, ~хо )Хо ~Хог оч — 0„'," (~х") Н,= — — и — "',— БС-.-"-Н. (!Хо) гс гХо гуог ' (Хо чл >: з!ппгрсоз — г, Ег =.-: 1СВН(~'(гхог) з!и пфсоз ф- а, чл Н~,1 ~ (! "у,г) г 'у,о чн х з!п поз!и — ' — г, Е чн пг .. Г В'„"Рхог)1 Хо (Хо Яог он !ч созп~з!и--:-х, Хо=: — 1у (г — '-) — йоо (17'.88 Ун (Хо) у)й" (гуо ) а — радиус цилиндрического образца. !., ан — l (Хг)соз — — з, х $ ----,)' ! Хг) 5! и — е. ))та)с, . ав у о (11!.
90) !.'о 152 Постощпшя С определяется из условпя непрерывности состнвлнк>и(н, Е, и Не на гран>ще раздела г = а. Из этого же условия получается трансцендентное уравнение, определя интас собственные частоты рассматриваемой системы, Ксокдос колеба!ще, обозначаемое индексом ЕНо,„, характеризуется опредег>пипой структурой ноля и собственной чнс>отой со„„,, Первый индекс ш определяет номер корня указанного вйше трансцендентного уравнения.
При пвл>шпп потерь в резонаторе собственные частоты будут комплексными, т. е, о>„,„а =- о>,'„ва — (о>,"„„а. Если ввели потери за счет конечной проводкмости одного нз м ркал, которые эквивалентны потерям на излучение, то можно легко определ>гп мнимые составляющие комплекс!.ых чж тот, связанные с добротностью собс>венных колебаний. 11рн рассматриваемых условиях (образец без потерь, размеры зеркал бескопешые) результат получается одинаковый для различных типов колебаний и выражается формулой со" ..
— ",=" — —, с1:,-=,— '„;== - -" — ' — -, (15 .89) :.!'! — ф о>' 2л!. ! в '!> 2!. '>а>" (! — р) Х где р — коэффициент отражения от зеркала. Для обычных условий в оптических генераторах со" - 10": — 10о сек ', т. е. (,) !От: — !О'. Например, при р = 0,5, Е =- 10 см, $' е =- 1,76 имеем о>" ==- 4 !Оа сек-'. Полученные выше формулы определяют полную систему собственных колеба>шй в заполненном резонаторе. Простейшая группа колебаний из этой системы соответствует случаю л. =-- О. При этом все колебания ЕН,аоа распадаются на поперечно электрические и поперечпо мапппные, обозначаемые как Е„оаа (или ТМ) и Н,„„а (или ТЕ) соответственно.
9)ти колебания >!меют по три составляющих поля, пе зависящих от координаты <р, н дают пулевое излучение вдоль оси образца. В качестве нллк>страции приведем формулы для волн Н„„, . Полагая и == О, получим для области внутри стержня: Не .)о (уг)ьбп — ' — г, ал !.
Составляющие поля вне стержня будут иметь вид; Нт= ВНа (!Хос) 5>П с)н Н -'.  — На (!Хат) соз- — г, (1Ч.91) Еа = Н Х Но (!Хог) 5)п до ь(! >' . ап Хо Используя условие непрерывности Е„на границе раздела, получим уравнение для собственных частот О(!) р о ао (Х") гхо о ('т-оп) (1 >!. 92) !О (Хо) Х ~ )т! ((Х ) Ха'-= ~l ~ ! ) — о>во> —,е— (1Ъ'.93) Внутренние типы колебаний. Колебания заполненного резонатора можно рассматривать хак результат сложения парциальных волн, испытыва>ощих много- Рве. )9,2!. Распространение внутреннвх типов колебаний в запол- ненном резонаторе. кратные отражения от боковых поверхностей диэлектрического образца н от зеркал.
Каждому типу кочебаннй соответствует определенный угол О, который парциальная волна образует с боковой поверхностью цнлпндра (рис. ГЧ.2!). Если зеркало, примыкающее к правому торцу образца, частично прозрачно, то волна будет излучаться (для наглядности рассуждений зеркала на рисунке несколько отодвинуты от образца). Чем выше тнп колебаний, тем больше значение угла О, и, очевидно, наступит такое положение, когда волны станут спредельпьжти», т. е.
не смогут распространять- 153 ся вдоль диэлектрического волновода, Это произойдет при 0 мь Оззах =' агссоэ (1 >>.94) а где а — показатель преломления образца. В этом случае парциальные волны не будут испытывать полного отраженна от боковой поверхности и б>ыстро затухнут вследствие радиального излучения. Таким образом, незатухающие катебания в рассматриваемом резонаторе будут образовываться лишь теми парциальными волнами, для которых угол 0 ..О,„„.. Среди этих колебашш будет группа так называемых внутренних типов, которые не излучаются нз резонатора даже при полупрозрачном зеркале, а циркулируют внутри образца. Это происходит в результате того, что для некоторой области углов 0 парциальные волны испытывают полное отражение от торцов образца.
Значения углов, соответствующих внутренним колебаниям, определяются из рис. !Ч.2! и лежат в следующих пределах: яп О„ин -' яп 0 ~ яп О„ох (1~ч,90) !/ яп 0 ох о 3/! --.—- из ! яп О„пн =- —; и !54 Легко убедиться, что О„ин + О„,х =- — . тах Приведенные формулы, строго говоря, относятся к случаю плоского резонатора с колебаниями Н,нз„которые образуются в результате сложения плоских парцнальных волн, распространяющихся в плоскости хг. Для резонатора с цилиндрическим образцом такой расчет выглядит значителяк> сложнее. Однако он также может быть доведен до конечных формул, во всяком случае для группы колебаний с симметрией врашепия (Е,„,, и Н„„а).
Грсьмоздкость расчета связана с тем, что здесь уже пар. цпальные волны будут не плоскнмн, а плоскоцнлиндрическими, которь>е определяются множителями вида е>т"Н'„о (уст) и е"-"Н„"' (усг), содержащими функции Гаикеля от ве>цествеиного аргумента. Хотя указанный расчет для цилиндрического образца не проводился, вряд лн можно здесь омсидать какнх-либо результап>в, принципиально отличных от случая плоского резонатора. По-видимому, для цилиндрического образца произойдут лишь небольшие изменения в количественных соотношениях по сравнению с приведенными формулами. Для обычных оптических генераторов, излучающих через поверхность одного из зеркал, налачие внутренних колебаний весьма нежелателяю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
