Микаэлян А.Л., Тер-Микаэлян М.Л., Турков Ю.Г. Оптические генераторы на твердом теле (1967) (1095904), страница 20
Текст из файла (страница 20)
В качестве иллюстрации на рис. 1Ч.6 показана конфигурация дое поперечное колебание приходится ряд типов продольных колебаний, имеющих одинаковую структуру поля и различающихся числом полуволн, которые укладываются на длине резонатора. Это число д является третьим индексом в обозначении каждого типа колебаний ТЕМ „. Логарифм собственных значений у „ имеет вещественную и мнимую составляющие, т. е. Рис, 1Ч.б.
Структура электринеского полн простейгаих типов колеоаный дли квадратных и круглых зеркал, Поскольку условие резонанса для колебания типа ТЕМ „е имеет вид — + ~4т» --- лу, (1Н.2!) »»1» е легко выразить собственную частоту нормальных типов колебаний резонатора через а,„, (! Н.22) Следовательно, 1 — 21~ел 2яб ~и~я ~ю 2[1»» Х Х (1Н.25) или с достаточной точностью (1Н.26) Как видно, добротность для продольных типов колебаний практически одинакова.
Ширина резонансной линни на уровне половины мощности определяется известной формулой ( — ') = ( — ) =- — = 2!1„„— . (1Н.27) 126 Чтобы выразить добротность собственных типов колебаний через величину [1„„, воспользуемся формулой для объемного волноводного резонатора [!28! 1'1: » ' ', — ' —, ([Н.23) [П»ее ~"~ ! 2л1. !»»е 1 — [гге зю!»» где [з — постоянная затухания волновода; 2я Х =- — ' — длина волны в среде. » Для случая оптического резонатора дифракционные потери [) „можно учесть, вводя такую величину [1, что [)1.
= р „, и полагая коэффициенты отражения (по полю) от зеркал равными единице, Мы поступим несколько иначе. Положим [! = О, а днфракционные потери припишем потерям при отражении от зеркала. Поскольку дифракционные потери по мощности при однократном взаимодействии волны с зеркалом равны 2[! „, то считая [ г, ! = [ ге [ =- г, получим г =- ['1 — 2р„,„. (1Н. 24) 3. РЕЗОНАТОРЫ С ПЛОСКИМИ ЗЕРКАЛАМИ Для прямоугольных плоских зеркал (см. рис. !Н.б) можно записать )Х= 1' ~- +(хе хе) +(У~ — Уе) 1 = ~ Р— „, 1(х — е)'+(у — уе) !. Следовательно, ([Н.29) (" у,)=-у— ,)»Т. к ехр ) !» [(хе — х ) + (у — у )е) (1Н.ЗО) Е'лн пр'дп""ки'ь чт' (' у) =- ( ) п,(у), „„„„„,.
провести разделение переменных и вместо (1Н.ЗО) получить два идентичных интегральных уравнения, каждое из которых описывает резонатор с зеркалами в виде бесконечных полос. Общее решение будет иметь внд о,»» (х, у) = п„(х) е„(у). !27 Таким образом, решение интегрального уравнения (!Н.19) для определенной конфигурации оптического резонатора характеризует структуру поля собственных колебаний, нх резонансные частоты и днфракционные потери. Прп рассмотрении конкретных резонаторов обычнр используется условие малости размеров зеркал по сравнению с расстоянием между ними. Это позволяет считать соз О ж 1 и отеп1чие Й от Т. учитывать только в фазовом множителе. Тогда вместо (1Н.19) получим . -шь о(х,, уе)==у ' „ь ~ ~ о(хо у,)е-сцн-с1дх,г1уо (1Н.28). Следует отметить, что это уравнение, а также формулы для расчета собственных частот н добротности приведены в общей форме, не связанной с конкретной конфигурацией зеркал.
Поэтому они пригодны не только для плоских отражателей, но и для отражателей других форм (в частности, сферических). Для круглых плоских зеркал радиусом а уравнение (1в'.28) следует записать в полярной системе координат (г, ф) и учесть значение те =:)т 1.-+г',+и,' — 2Г,Гясоз(ф,— фх)— 1 ж Ь+ — (г, '+ г, '— 2г,г, соз (ф, — фв) !. (!Ч.31) Тогда получим интегральное уравнение в виде а зл п(гв, фв)=-уедлль ~ ~ — х о 6 х ехр ~ — й (гт+гвв — г,гвсоз(фт — фв)) — ~ м я 1 х и (г„ф,) г, т!фт дг,. (1Ч.32) Полагая и (г, ф) = )г„(г) е 'вв и интегрируя по фт, получим а )С„(Гя) )т Г, = Тлс-1ЛЬ ~ — '„У (й+В-) )т Гттз Х о твт+т! х е вт.
Р„(г,) ргг, й'„ (1Ч.33) где 7и — функция Весселя и-го порядка. Интегральные уравнения для плоских зеркал решались на электронной машине методом последовательных приближений. В качестве исходного задавалось однородное распределение амплитуды и фазы волны на одном нз зеркал. В этом случае решения описынали четно-симметричные типы собственных колебаний. Для получения колебаний с нечетной симметрией начальное распределение поля задавалось в виде нечетной функции, т. е. амплитуда поля на одной половине зеркала (от О до + а) была противоположна по знаку амплитуде паля на другой половине зеркала (от О до — а).
В результате указанных расчетов была выяснена структура поля собственных типов колебаний, определены их резонансные частоты и добротности. 1 На рис. 1У.7 представлены стационарные распределения амплитуды и фазы поля для низшего типа колебаний ТБ1'1«в и первого нечетно-симметричного типа колебаний ТЕМ„.
128 Характер распределения фазы для этих колебаний примерно одинаков и представлен на том же рисунке. Результаты эти относятся к случа1о зеркал в виде бесконечно длинных полос; аналогичные зависимости получаются от и для круглых зеркал, Следует отметить, что прн - — < хТ /1.тя — размеры зеркал и расстояние между ниын играют 1ау ра мм де р« ш р ь-м „-гр в -тр -«Р р дг д« дл йз л,'л Рис.
!К7. Распределение отпосительиой вл~плптуды и фсзы поля длв двух пивших тивов ТЕМ„и Т!тм„в резоивторе с зеркалами в виде длиииых полос. ~ф~: существенную роль только в определеннон комбинации, и единственно важным параметром является число ФреНЕЛЯ Гт' == пейте, КатОрОС ПрнбЛИЗнтЕЛЬИО раВНО ЧИСЛУ ЗОН Френеля, видимых в одном зеркале из центра другого зеркала. Иа рис. 1Ъ', 8 показана зависимость фазового сдвига за один проход от величины Л' для двух низших типов колебаний.
Зная и „, можно определить резонансные где для коифокальных параболоидой гББ йч — И. ' ~2='2й ' (1Ч.35) а для конфокальных сферических зеркал Л, --- й — )ГР— г'„Л,:=- У вЂ” ')Г(.2 — гл,. (1Ч.36) Для Е 2 а можно пользоваться выражением (1Ч.35) также и для сферических зеркал. Следовательно, применяя Следовательно, (1Ч.28) примет вид а а 1 ° -Бль Ж(ХББ Б Е )О 2 2)— о(х2' У2) Ч хй ~ ~ е к Бк о(хо у,)((х)с(()1.
(1Ч.40) Полагая о „(х, у) =- о (х) оа (у) и у „== у„,уа, можно провести разделение переменных. Тогда получим .х Л). а х1хл о„(х,) ==-е 'е - "—,'" — ~ е ь о„, (х,) (хо (Д),41) (б 1л(й а 12елил оа(у,) =хе "е ' — Ч"= 1 е '" о,(у,)((У1. (1ЧА2) '1~~~ ~, Каждое из этих уравнений простой заменой переменных (!ЧЛ3) Рис. )Ч.)О.
Конфоинльный резонатор, (1Ч.28), получим а 2'1 . , Г1Б2 НБ — БОБ (Π— 22) О(Г„(р2) =а ус-12' ~ ~ — „Е 2" ' ' О(Г„)р,) Г, (((р) Ь). (1Ч,37) Если, как и в предыдущем случае, положить о (г, (р) =- = 8„(г) е (а'2, то можно показать, что 5„(гн) )"гн =- уае-(л' ~ ' Х„(й — '""" ) )г ),га Х 'й )(Я,(г,) )г г, ((г). (ЕЧ 38) Для конфокальных зеркал квадратного сечения (сферических и параболических) И='1' (ь — Л) — -"~2) т (х1 — х2) +(У! — УБ) 1 хохл-1 Ы/2 (1Ч.39) !32 сводится к однородному уравнению Фредгольма второго рода, решение которого имеет вид (!301 оаБЯ) = 8еа (2пЖ, й), г 4Ж )((1) (2пЧ )) Гдс О,)аа И )ЛБЕ" — УГЛОВЫЕ И раднаЛЬНЫЕ фуНКцИИ В ВЫтянутой сфероидальной системе координат; Л) — число Френеля.
Для каждого значения Л) имеется бесконечное число собственных функций и соответствующих собственных значений. Таким образом, общее решенпе интегрального уравнения для конфокальных зеркал имеет внд о (2 т)) =' Яе (2п)Ч еь) Яоа (2пй) ))) (!ЧА5) Структура поля колебаний типа ТЕМ,„„на поверхности зеркал описывается сферондальными функцнямп, н, поскольку собственные функции действительны, отражающие поверхности являются поверхностями постоянной фазы. Собственные значения есть 11301 4'Ч )(е~а (2нЛ' )) Иеа (2яу, )) Согласно (17.20), получим из (!У.46) !пт(!пу„„) =(И.+а „)= — (т+и+ 1) ~ +И., ([Ч.47) т.
е. фазовый сдвиг за один проход, добавляемый к геометрическому фазовому сдвигу, равен а „=- — (!и+а+1) —, ([У.48) и не зависит от числа Френеля. Учитывая (17.21), найдем резонансные длины волн собственных колебаний — =- 27[+ (1+ тп + л) 4О амаа и собственные частоты Омад == ~ (27[+ 1 + ш гт и). (!У.50) ([Ч.49) Как видно, спектр собственных частот сильно вырожден. Минимальный интервал частот между соседними типами колебаний соответствует изменению т (или и) на единицу и равен с Лт = Чаюа Ъп-7 ад (!'Т1.51) Расстояние по частоте между соседними продольными типами колебаний в два раза больше.
Для конфокальной системы с круглыми зеркалами формула для собственных частот имеет вид и„,, = —,, — (277+1+ 2т+ л), (%.52) где тп — радиальный индекс. Здесь также имеет место сильное вырождение. Если, например, зеркала установлены на резонанс определенного нормального типа колебаний, то половина общего количества типов колебаний будет также резонансной. Естественно, что на поверхности зеркал вырожденные типы колебаний ортогональны, так как они удовлетворяют исходному уравнению. Большой интерес представляет вычисление добротностей колебаний конфокального резонатора, что позволит определить возможяости подавления высших типов колебаний.
Потери мощности за один проход для копфокального резонатора с квадратными зеркалами согласно ([У.20) (!У,46) равны 2([ „-: — Ке(2 !и у а) = ! — ( — [Та*'[са„'~). ([У.53) Результаты расчета по формуле (!Ч.53) представлены на р!Тс. !У.[!. Для случая конфокальных круглых зеркал аналогичные кривые показаны на рис. [Ч.!2 (пунктирные кривые.,относятся к плоским зеркалам н приведены для сравнения).
Как видно, потери в конфокальном резонаторе г 1 5.Ш ' г 10 ' 70 ' 5 Ш-' г 10 ' 5 10-' г10з 70 ' 570" Р77с. !У. ! !. зависимость иота!7ь з7ОНТ77ости зд Один и[7окод от числа Фреиела Л дли коифокальиото резонатора с квадратимми зеркалами, г 70 " 70 135 существенно ниже потерь в случае плоских зеркал. Это объясняется тем, что поле в копфокальном резонаторе сильно сконцентрировано у оси резонатора и поэтому 'быстрее спадает к краям зеркал. Более важным является то обстоятельство, что в области малых значений 7Т7 потеря различных типов колебаний могут сильно различаться между собой. Поэтому в конфокальном резонаторе в отли'чие от случая плоских зеркал имеется принципиальная возможность подавления выси!нх типов колебаний. Как уже указывалось, структура поля нормальных :,.
типов колебаний на зеркалах определяется сфероидальными -." функциями. При больших числах Френеля (2пй7 уа !) эти йВ В,г В к о 30 ВВ Рнс. !!г.!2. Потеря мощностн за оден проход от числа Френеля У для конфокального резонатора с круглыми зеркаламн, сг 0В йа йл йа йа да гп л ь(,,, -= 2 ~/-'",,-'- У' — '.=- .-- 1,!8 $/ — '. (!Ч.58) Рнс. !Ч,!3. Распределение амнлнтудм полн на зеркалах конфакального резонатора, йд В ВВ Ва ВВ ВВ х,гл 137 136 функции могут быть заменены произведением функций Гаусса на полиномы Эрмита.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
