Микаэлян А.Л., Тер-Микаэлян М.Л., Турков Ю.Г. Оптические генераторы на твердом теле (1967) (1095904), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Следовательно, вместо (1ьг.44), получим з и. (5) = — г- — ! Г (гн+1) Распределение поля иа оси у будет, естественно, таким же. Используя значения полнпомов Эрмита Ое(х) — 1, Е!,(х) - 2х, !!з(х)- 2(хз — !), (1Ч.55) легко построить распределение амплитуды поля на зеркале (напомним, что распределение фазы однородно). Это сде- лацо на рис, 1!/.!3 для основного колебания (т =- О) и двух более высоких типов колебаний (ш =-. 1 и ьч = 2).
Там жс пунктирными ливнями показаны точные кривые распределения, описываемые сфероидальиьа1зн функцнямн (для случая 2лдг == 5), Как видно, с увеличением числа Френеля поле сп,тьнее концентрируется около осн резонатора, что приводит, как уже указывалось, к уменьшению дифракционных потерь, На рис. 1Ч.14 приведена фотография структуры поля для нескольких типов колебаний !16! 1. Интересно отметить, что в показатель экспоненты, определяющей распределение поля на зеркале, входит величина ЛгР =-- хз/Ы, не зависящая от размеров зеркал.
Поэтому при изменении площади зеркал величина освещенного пятна не будет меняться. Для основной волны ТЕЛ(чч радиус освещенного пятна, соответствующий уменьшению поля в В раз, будет равен гг, = ~!ггг: . (1~г.66) Выше указывалось, что потери в конфокальном резонаторе определяются числом Френеля Л'. Вместе с тем, очевидно, что прн заданном распределении поли иа зеркалах на величину дифракцнопных потерь может оказывать влияниее лишь отношение размеров зеркала и оснещенного пятна. Поэтому число Френеля должно однозначно определяться соотношением величин г1,, и а. Р(з (П(,56) видно, что это действительно имеет место, т.
е. аз 1 ае Лг == — — =- — —.,— . (!'т'.57) г, 1 ге Диаметр освещенного пятна на зеркале, в пределах которого мощность падает вдвое, равен (1Н.60) (1Ъ'.6 ! ) а гка гы,(0) == )«." —,— ' (1Ъ'.61) 139 Если зеркало частично прозрачно, то энергия излучается в виде пучка с максимумом вдоль осн резонатора. Диаграмму направленности легко рассчитать, пользуясь известным распределением поля на поверхности зеркала Ркс. !Н.14, Структура поля некоторых типов колебаний, 1см.
(1Н.54)!. Такой расчет приводит к следующему значению ширины диаграммы по уровню половинной мощности 11321: (1Н.58') Пользуясь формулой (1Ъ'.54), можно рассчитать также диаграммы излучения других типов колебаний. Рассмотрим теперь поле внутри резонатора. Оно представляет собой суперпозицию двух волновых пучков, распространяющихся навстречу друг другу. Поле волны, бегущей вдоль оси х, для случая 2пФ > 1 можно по ана. логии с (1Н.54) записать в виде о „(х,р,з)=-с„,„у — О ~)«2лУ вЂ” у —,)х "'" !' 11-Р '! Р' 1+Р а .:я+в« хо„1!«2п,Н=1~ —.— ! е ' ' — 'сте-и:™, (1Н.59) а ~ 1+Ка/ 7 цг а1,, в к(«т Рра) «рта — (1 + в) г ' 1. 1+на тп 1 — К« (!4 ьт ', п)! —" — агс11 —,) .
-1-к~) . Из (1Н.60) следует, что поверхность постоянной фазы, которая пересекает ось з в точке г„определяется уравнением (л «'+ра 1+Я ' 1. Это уравнение сферической поверхности (в пределах при- нятых приближений) с радиусом кривизны При ьа =- ~! эта поверхность совпадает с поверхностью зеркал. Фокальнпя плоскость ь, —: 0 также является синфаз ной. Распределение поля в резонаторе определяется модулем выражения (1Ъ'.59).
В любой плоскости ь =- с, радиус пятна, соответствующий уменыпенню поля в е раз (для волны ТЕМ„), равен ° И 1+И Г1 а(ЬЕ):=- 1Г (! Н.63) Наименьший достикнмый размер пятна получается в фокальной плоскости (,",, = — 0) и равен В соответствии с этим кривая распределения полн в фокальной плоскости имеет минимальную ширину н постепенно расширяется по мере приближения к зеркалам резонатора. Локальные направления распространения (т.
е. лучи) перпендикулярны сннфазным сферическим поверхностям и образуют гиперболы, как показано на рис. 1Ч.15. Очевидно, что любые из указанных синфазных сферических ьь ~ =ъ- ,% '~ ьс ке ~тт, с ,.р 4' 4,,', Рис, !ьС.!5. Оннфазные поверхности хонфоиальиых резонаторов поверхностей являются возможным местом расположения отражателей. Это позволяет использовать изложенные результаты для анализа неконфокальных резонаторов со сферическими зеркалами.
б, НЕКОНФОКАЛЬНЫЕ РЕЗОНАТОРЫ Резонаторы с одинаковыми сферическими зеркалами. Пусть два одинаковых сферических зеркала с радиусом кривизны Й расположены на произвольном расстоянии Е друг от друга. Свойства такого резонатора легко определить, если найдена соответствующая конфокальная система, в которой две какие-либо сннфазные поверхности совпадут с указанными зеркалами. В этом случае радиус кривизны зеркал Й будет связан с длиной эквивалентного конфокального резонатора формулой (1Ч.62), в которой надо положить (см.
рис. 1Ч.15) хе Ев Е„ (1Ч 65) 2 Тогда получим Е„:=-")с Е (2)7 — Е). (1 Ч.66) Очевидно, что структура поля колебаний в рассматриваемом резонаторе будет такая же, как и в соответствующей 140 конфокальной системе длиной Ее (см. (1Ч.59)), а собственные частоты можно определить из формульь (1Ч.60), подставляя туда значение Е„из (!Ч.65). Тогда по аналогии с (1Ч.49) получим а 11331 —.=-.2ь7+(!+т+и) (! — — агс!д — ', — ) (!Ч.67) Ла,„,' + + Еа+ !. или 2 сс Е- ~ +( —,')' (1Ч.70) Таким образом, для нахождения ььотерь неконфокального резонатора можно использовать результаты расчетов для конфокального резонатора, принимая в качестве числа Френеля величину ах а'а сто с ЕТ ! а'а =ел е! 'гс й( Е!) * Зтн формулы неприменимы в предельном случае плоских зеркал, т.
е, прн ь! - сс. 14! 2Е. ! — =-ь)+ — (! +т+и)агссоз (! — — ' ) . (!Ч.67') !. ь Л,сыч 1 г) Как видно, вырождение частично снимается (по сравнению с коифокальным случаем); оно остается лишь для колебаний, у которых т+ и = сопз!. Выше указывалось, что при заданном распределении поля на зеркалах, дифракционные потери определяются отношением размеров зеркала и освещенного пятна (см. (1Ч.57)1.
Следовательно, потери в резонаторе со сферическими зеркалами будут равны потерям в эквивалентной конфокальной системе при условии (1Ч.68) где величины, отмеченные штрихами, относятся к некоифокальному резонатору, Поскольку гьс,== ф~ — ", гьс,=- ус — '" (1+ — „, ) (1Ч.69) — I Е„Л, сс ЕеЛ Ех (см. (1Ч.63) и (!Ч.65)1, то учитывая (1Ч.66), ььайдем нз (1Ч.68) определяемую конфигурацией неконфокальных сферических зеркал (а', (с, Ц и длиной волны л. Если зафиксировать расстояние Е между зеркалами и менять нх радиус кривизны )с, то число Френеля )т' будет иметь максимум при 7с =- 7., т, е.
в конфокальном случае (рис. 1У.!6). Таким образом, при заданном расстоянии между зеркалами миннматьные дифракционпые потери Из (1Ч.71) следует, что при )с Ат2 величина Ж становится мнимой, что соответствует большим потерям на излучение. Такие конфигурации резонаторов имеют низкую добротность. Этот вывод подтверждается также геометрическим рассмотрением хода лучей, которые быстро покидают систему при небольшом числе отражений от зеркал. В заключение надо отметить, что приведенные рассуждения справедливы до тех пор, пока размеры отражателей превыцшют размеры пятен на зеркалах. Поэтому для конфигураций зеркал, близких к концентрической системе, это обстоятельство следует учитывать, так как размер пятна 1см.
(17.69)1 1 У 1г' — (2 — ) (! Ч.72) лалоалзгьлме зевка з ланзсип иатеоае зеялз ю 3 ч 143 Да Дч , .ЦЗ ОЗ !П 1г Я ~-~--5' ,(-;='~, '-Г=;--Ф- М, +-):~ =-+Ф- ис, 1УЛ6. Зависимость числа Френеля Гт' от радиуса кривизны зеркал прн фиксированной длине резонатора. (а также минимальный размер пятна на зеркалах) соответствуют конфокальной конфигурации. Если зеркала заданной кривизны постепенно раздвигать, т. е. увеличивать |., то )т' будет монотонно уменьшаться. Как следует из рис.
1Ч.!6, число Френеля стремится к нулю при тс — ~- Т./2. В этой области (точнее при Я, несколько большем т'./2), соответствующей почти концентрическим зеркалам, потери существенно возрастают. Однако при этом различие потерь основного колебания и высших типов существенно усиливается (см. рис. 17.12).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
