Микаэлян А.Л., Тер-Микаэлян М.Л., Турков Ю.Г. Оптические генераторы на твердом теле (1967) (1095904), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Каждому поперечному колебанию соответствует множество продольных типов, отличающихся друг от друга числом полуволн д, укладывающихся вдоль оси резонатора. Поперечные колебания можно рассматривать как результат сложения плоских волн, распространяющихся под определенными углами к оси резонатора (рвс.
!Ч.З). Эти углы в отличие от предыдущего случая бесконечных зеркал могут приннмать только дискретные значения. В качестве иллюстрации рассмотрим образование поперечных типов колебаний прн сложении плоских воли, распространяющихся в плоскости хг.
Это соответствует случаю п =-- 0 (колебания Е „и Н„„„). Если исходная плоская волна падает под углом 9 к омсй резонатора, то из граничных условий получается соотношение /пп Л >с 5!и О = — — яли з!и О:=. ш— 1> 1и '" 21> 2и где й =- — ' — волновое число. Л Следовательно, первый тип (например, Н„о) образуется плоскимн волнами, распространяющимися под углом О, ж — к оси резонатора. Для следующего, второго попе- !18 Например, прн Л вЂ” 10 ' см, О 0,5 см будем иметь стΠ— 20 угловых секунд. Для более общего случая (и:~=0) величина углового расстояния между поперечпымп типами колебаний имеет тот >ке порядок.
Из изложенного следует, что типы колебаний прн д,'," и>, д у. и можно представить как сумму волн, распространяющихся под малыми углами к осп резонатора., Эти колебания при постоянных >и н и близки к продольным типам, рассмотренным выше, и отличаются от них распределением поля на зеркалах, которое теперь не является однородным, а носит периодический характер, спадая до нуля на краях зеркала.
Частотное расстояние между этими типами колебаний, соответствующими различным значениям д, определяемое из (%.5), совпадает с выражением (1Ч,2). Структура поля этих колебаний такова, что при небольших целых значениях пт, и энергия поля сосредоточена в основном в средней области зеркал и быстро спадает до нуля при приближении к краям зеркал. Поэтому удаление боковых проводящих плоскостей мало исказит картину поля, и можно считать, что указанные колебания волнового резонатора близки к тем„ которые существуют в реальном резонаторе Фабри — Перо. Типы колеба>шй с большими т, и образуются в результате сложения плоских волн, распространяющихся под большими углами к оси резонатора.
Поле их вблизи краев зеркал достаточно велико, поэтому устранение проводящих боковых плоскостей приведет к настолько большим дифракционным потерям для этих типов, что они вряд ли смогут существовать, Добротность резонатора. Как правило, зеркала резонатора (во всяком случае, одно из них) всегда делаются частично пропускающими для вывода энергии нз оптического генератора.
Если коэффициент отражения зеркал обозначить через г (зеркала будем считать одинаковыми), то уменьшение энергии в резонаторе за время с[1 будет равно Л/=. — Ц(1 — г) с г[1, ([Ъ(.6) где и — показатель преломления среды в резонаторе. ' '12()йц(ФЬЮ ВЯТУХЗМИВ4М6РЩМ.Ц Р(оЮИЯ2)(РЕ ОЩМДМИ6ЖЯ Черй: доебротипать- 4 ф6рмулой ,:У-Ф$е': ~.-,. (!ЪС7) то ([Ъ(.8) Сравнивая ([Ъг.б) н (1Ъ'.8), получим (1 Ъ'.9) Например, для г = 0,5, Х =- ! лкм, Х.
=- 10 см получим (~ ж 10", т. е. очень высокое значение добротности. В действительности существует целый ряд принципиальных и технических причин, уменьшающих добротность резонатора. К ним относится дифракционные явления, обусловленные конечными размерами отражателей, непараллельность зеркал, их шероховатость и др.
Оценим прежде всего влияние дифракцин П27!. Квант, выходящий иэ резонатора, поперечные размеры которого равны Р, будет дифрагпровать, причем угол дифракции ф )./Р. Вероятность выхода кванта из резонатора, т. е. отношение отклонения (перпендикулярного к направлению движения) к размеру отражателя равна по величине ! Х(. —, — —. Эту величину следует сравнивать с коэффициентом 200 пропускання зеркала 1 — г. С учетом днфракционных потерь выражение для добротности примет вид — ([Ъг,[0) с(1--г+ — ) ).~! — г+ — ) При Х = — 1 мкм, Р = 1 см, Ь = 1О см дифракцнонные потери вносят в добротность ничтожный вклад, так как Х(.
1 2Ьо 2 — — „- — — — -10 '. Оценим теперь влияние на добротность непараллельности отражателей 1!271. Пусть правое зеркало повернуто на угол [) (рис. [Ъг.2). При отражении от непараллельных зеркал квант отклонится на угол, равный 2р. При каждом отражении угол отклонения увеличивается на 2!). Число отражений за время 1 есть сР[.а. Г1оэтому время 1„за которое квант переместится на расстояние Р, т. е. уйдет нз резонатора, определится из условия и будет равно 20Ело [)с' о Следовательно о)а / 2(.0 с г (1Ъ".! 1) откуда 20 (1 — г)о [! <" ([Ъг.[2) Рассмотрим еще случай, когда фотоны двигаются под неболыпим углом 0 по отношению к оси резонатора. Отрезок, на который они отклоняются при прохождении длины 1., есть!.О, и вероятность выхода пз резонатора определяется величиной ЕО)Р.
Добротность таких колебаний будет равна попс с ~1 — г+Π— ) Л ([Ъг.[3) При цебольшпх О добротность резонатора может быть достаточно высокой, Например, для О, (1 — г) 0 Р (! Ъг.[4) величина Я падает вдвое по сравнению со случаем осевых колебаний, 131 Сравнивая с (!Ъ'.9), можно получить условие, определяющее точность, с которой необходимо выдерживать параллельность зеркал Аггго ого гг И,0 с(1 — г) с гг Число возбуждаемых колебаний. Число колебаний в резонаторе, заключенных внутри телесного угла 2пО'-, равно 2ива аимелмк 4и (йи)аса (1'ы' 15) где К вЂ” обьем резонатора; Лот =- 2лЛы — ширина спектральной линии активной сре- ды, заполняющей резонатор.
Гели ограничиться типами колебаний, соответствующими углам 0<0', то получим 1.0аеттдьт (! ы'.16) При В=10 см, 0==-1 см, 2=1 мкм, 1г==-10т и для случая Лы = 3,3 10" гц (ширина спектральной линии Рис. !'ы',4. Спектральная линия лкикипесценции и спектр собстиеннык типов колебаний резо. кагора. рубина при комнатной температуре) получим значение р — 10". Эта оценка приведена только для того, чтобы подчеркнуть специфику оптических квантовых генераторов, связанную с одновременной генерацией многих типов колебаний.
В действительности число одновременно возбуждаемых колебаний может быть заметно меньше указанной величины, особенно при небольшом превышении порога генерации. На рис. !Ч.4 показана спектральная линия люминесценции, ширина которой для случая рубина составляет Лы = 3,3 10м гц (11 см '), Если 7.:= 10 см, то из (Гы'.2) следует, что расстояние между осевыми типамн колебаний будет равно 1,5 10' гц.
Такйи образом, в пределах спектральной линии будет около 200 осевых типов колебаний. Между ними будут располагаться многочисленные типы колебаний, соответствующие небольшим значениям угла О. При мощности накачки, близкой к пороговому 122 значению, возникает генерация группы колебаний, частоты которых расположены вблизи центра линии люминесценции. При повышении мощности накачки условия генерации будут соблюдаться для больше~о числа типов колебаний, и спектр излучения лазера будет расширяться.
Описанный пример показывает, что проблема выделения колебаний является чрезвычайно сложной, особенно в случае оптических генераторов на твердых средах, которые характеризуются достаточно болыпой шириной спектральной линии. Тем пе менее существучот определенные методы подавления нежелательных типов колебаний, связанные с устройством резонаторов.
2. ВОЛНОВАЯ ТЕОРИЯ ОТКРЫТЫХ РЕЗОНАТОРОВ Выше упоминалось о том, что в резонаторе Фабри — Перо с плоскопараллельными зеркалами конечных размеров собственные колебания не могут быть образованы суммой двух плоских волн; движущихся навстречу друг другу. Это связано с тем, что однородное распределение поля на зеркалах несовместимо с уравнениями Максвелла при наличии дифракцпонных явлений на краях зеркал. Определение собственных типов колебаний в рассматриваемой системе сводится к отысканию стационарных решений соответствующей краевой задачи. Каждое такое решение по аналогии с теорией полноводных резонаторов можно рассматривать как определенный тип колебаний, характеризуюгцнйся своей структурой поля (т. е.
распределением поля на зеркалах) и собственной частотой, которая вследствие дифракцнонпых потерь будет комплексной. Метод нахождения стационарных решений, использованный Фоксом и Лп П201, сводится к тому, что задается произвольное распределение поля иа первом зеркале н с помощью принципа Гюйгенса вычисляется поле на втором зеркале. Затем аналогичным образом вгячисляется структура поля на первом зеркале, создаваемая полем второго зеркала. Если зги вычисления повторить (р + 1) раз, то распределение поля на втором зеркале будет равно е 1Ь сй ге е- кн и„.„(ха, у,) =.— „-- г! г! ии(хо у,) — (1+ сок О) с!х, г)уо (! тГ.17) 123 где ио (х,, у,) — распределение поля в плоскости первого зеркала; й = †)l е — постоянная распространения в среде; с )с — расстояние от первого зеркала до точки наблюдения; 0 — угол между )с и нормалью к поверхности первого зеркала (рис.
ГЧ.5). Иптегрированне проводится по площади первого зеркала, которое может быть и не плоским. Для вычисления поля здесь использована скалярная форма принципа Гюйгенса, что вполне допустимо, поскольку размеры зеркал много больше длины волны и электромагнитное поле близко к поперечному. Уг Рис. 1Ч.о. Резонатор с примоугольиыми плоскими зеркалами. Собственные типы колебаний резонатора будут соответствовать стационарным решениям интеграла (1Ч.17). Если такие решения имеются, то распределение поля на зеркалах можно записать в виде и (х, у)=( — ) о(х, у), (1Ч.18) где у — комплексная постоянная; и — функция распределения, которая не меняется от отражения к отражению. Подставляя выражение (1Ч.18) в (1Ч.17), получим интегральное уравнение ЬЕ о о -ын = у — '„~ ~ о (1+ соз 0) — ' с(х г(у.
(1Ч. 19) Собственные функции о „(х, у), являющиеся решением этого уравнения при определенных значениях у „(собственные значения), ха-, ТЕ ТЕМ тЕмг ТЕМП ТЕМо, электрического поли простейших поперечных типов колебаний для ~н. „- ТЕМгг ТЕМ гг Емог ТЕМаг тЕМ,о ТЕГЛлг 111(41 ТЕМм «1» г)т т1; 1(г 1 Фц ТЕМП ® ТЕМгг ТЕмог темтг темза 1и угла = ~тн-'Г +г (сс„и+ лг'.), (1Ч.20) причем для каждого нормального типа колебаний резонатора величина р, определяет затухание волны за один проход, а величина а „ — фазовый сдвиг за один проход, добавляемый к геометрическому фазовому сдвигу. рактеризуют структуру поля на поверхности зеркал различных типов колебаний резонатора, которые называют поперечными и обозначают как колебания типа ТЕМ„„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
