Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004) (1095888), страница 131
Текст из файла (страница 131)
Сравнивая эту процедуру с методом периодограмм, видим, что сглаживание достигается не за счет усреднения нескольких периодограмм, а за счет усредняющего эффекта процесса автокорреляции. Взвешивание автокорреляционной функции необходимо дая сглаживания ее экстремумов, поскольку при больших значениях параметра запаздывания в вычислении участвует немного точек данных, так что получающиеся оценки менее точны.
Спад весовой функции по конусу приводит к тому, что данные оценки учитываются с меньшими весовыми коэффициентами. Оценка Блэкмена-Тычки Рать( 1') равна Рать(~) = ~~ г ю(т) ехр( — 2ягг т), (11.34) где г, (т) — автокорреляционная функция данных, а гс(п) — весовая функций длины 2М вЂ” 1, равная нулю при [т[ > ЛХ. 11.3.
Традиционные методы 761 Чтобы получить реальные оценки, ю(п) должно быть симметричным относительно т = О, а чтобы оценки были положительными, образ ю(п) должен быть больше нуля. Не все весовые функции удовлетворяют данным критериям. Например, им не удовлетворяют функции Хеннинга и Хэмминга. Можно показать, что математическое ожидание оценки Блэкмена-Тычки равно м-е РвтеУ) = ~ с„,юв(т) ехр( — 2л1ут), (11.35) где юл(т) — треугольная весовая функция Барлетта. Для получения дополнительного сглаживания спектра должно выполняться условие М ( Ж. Если Ж » т, оценка будет асимптотически несмещенной.
Кроме того, если И'(/с) (ДПФ-образ весовой функции, ю(п)) уже Р(у), истинный спектр плотности мощности равен и-г — ю (т) )ц =-1м-П таг[РВте(з )) 1 (з ) (11.36) и при Ж/М вЂ” со наг[Рать(7)] — О, так что при данных условиях оценка ВлэкменаТьюки является состоятельной. ". 11;3,6~"; Метод быстрой корреляции :,:, 11,,'З.У"':..") Сравнение методов оценки спектральной плотности МОЩНОСТИ Выражение для добротности оценок спектральной плотности мощности приводилось в уравнении (11.6). Можно показать (см.
[44)), что добротность четырех рассмотренных непараметрических методов спектрального анализа имеет значения, указанные в табл. 11.1, где г" — ширина главного лепестка соответствующих весовых функций по уровню 3 дБ. Видно, что метод Влэкмена-Тычки является наилучшим с точки зрения качества„и что все методы, исключая метод периодограмм, позволяют поддерживать качество при увеличении разрешения по частоте (уменьшения 7") за счет увеличения Ж.
В разделе 5.3.7 было отмечено, что если данные превышают 128 элементов и требуется найти их корреляцию, то вычисления будут выполняться быстрее, если использовать теорему о юрреляции (уравнение (5.63)) и реализовать вычисления с использованием БПФ. Например, при У = 1024 зто позволяет десятикратно увеличить скорость. Кроме того, если нужно обработать большие наборы входных данных, например, превышающие объем памяти системы, то можно применить методы наложения-сложения или наложения-хранения (разделы 5.3.8-5.3.10). При вычислении автоюрреляции в методе Влэкмена-Тычки описанным выше способом с использованием ВПФ подход называется методам оценки слектра с намои1ью быстрой корреляции.
762 Глава 11. Оценка н анализ спектра Чтобы добиться удовлепюрительных результатов, требуется большая аккуратность и несколько вспомогательных вычислений. С точки зрения баланса наилучшим кажется метод Блэкмена-Тычки, хотя могут существовать соображения, повышающие привлекательность других методов. Таблица 11.1. Добротность Я оценок спекграаьной плотности мощности Мешоа оценки Усяояия О Каммеишиеии 1 Кесостаятельнмг оценка, не зависит от йг 1, 11эт'У Качество повышается с размером сегмента данных 1, 39Ху Качество повышается с размером сегмента данных 2, 34%1' Качество повышается с размером сегмента данных Пернодограмма Барлетта 1У,М ч со, наеоженне 504 Уэлша Блзкмена-Тычки 1У, М оо, треугольная весовая функция Для непараметрических методов, описанных в преды10гщих разделах данной главы и использующих пернодограммы и БПФ, характерны упомянутые выше ограничения: низкое спектральное разрешение при коротких сегментах данных, необходимость взвешивания для предотвршцения просачивания спектральных составляющих.
Этих сложностей можно избежать, используя параметрические методы [9-11, 20, 22, 31, 38, 41, 491. Ценой улучшения является необходимость всестороннего исследования подходящей модели каждого процесса, определения необходимого порядка выбранной модели для адекватного представления данных [1-5, 7, 14„ 24, 45, 48, 511 и вычисления параметров модели [15, 19, 36, 37, 43, 44, 521. В число получаемых преимуществ входят повышенное спектральное разрешение, возможность применения к кратким сегментам данных, отсутствие просачивания спектральных составляюших, гребешкового искажения, размывания спектра и смещения весовой функции. Поскольку параметрические методы очень важны, ниже представлен самый распространенный из них — метод авторегрессионного моделирования.
Тем не менее, кроме преимушеств, параметрические методы имеют и недостатки, которые можно устранить с помощью альтернативных современных подходов, например, последовательного или адаптивного [20, 301 и метода максимального правдоподобия [13, 341. Параметрический подход требует параметрического моделирования данных, процесса, хорошо изученного в сфере анализа с помошью временных рядов [7, 24, 431, плюс интерполяции данных„которые рассматриваются как выход линейной системы, возбужденной белым шумом. Данная система представляется полиномиальной передаточной функцией, выраженной через параметры модели. Далее по этой передаточной функции вычисляется спектр данных.
11.5. Ааторесресснонная оценка спектра , 191".о.1':„; Авторегрессионная модель и авторегрессионный фильтр В АР-модели временного ряда текущее значение ряда х(п) представляется линейной функцией предыдуших значений плюс ошибка е(п): х(п) = — а(1)х(п — 1) — а(2)х(п — 2) —... — а(!с)х(п — !с) —...— (11.37) — а(р)х(п — р) + е(п). Это уравнение содержит р предыдущих членов и представляет модель порядка р. Его можно записать в более юмпактной форме: х(п) = — "1 а(!с)х(п — Й) + е(п) = — ~~~ а(к)х х(п) + е(п), (! 1,38) где х " — оператор запаздывания, которым обозначена задержка на к интервалов вы- борки. Далее перепишем уравнение (11.38): / к х(п) + ~ а(/с)з "х(п) = ~ 1 + ~ а(/с)х ~ х(п) = е(п).
(1!.39) ь=1 ь=1 Ото ища х(п) = е(п) 1+ 2,'а(к)х " (11.40) В данном методе оцифрованный сигнал моделируется как авторегрессионный (АР) временной ряд плюс слагаемое белого шума. После этого спектр находится из параметров АР-модели и дисперсии слагаемого шума. Параметры модели — это решение системы линейных уравнений, полученных минимизацией среднеквадратической ошибки (мощности белого шума) по всем данным. Несюлько способов решения данной системы уравнений описано ниже.
Важным моментом является выбор числа членов в АР-модели — порядка модели. При слишком маленьком порядке оценка плотности мощности будет чрезмерно сглаженной, так что неюторые максимумы могут скрадываться. Если порядок слишком велик, могут вводиться ложные максимумы. Следовательно, для каждого набора данных нужно определить подходящий порядок модели, и ниже эта тема обсуждается подробно. Описанный метод применим к сигналам, спектр плотности мощности которых содержит острые максимумы.
Если сигналы не удовлетворяют этому критерию, можно использовать другие модели, такие как модель скользящего среднего или авторегрессионного движения. Поскольку авторегрессионный подход дает решаемые уравнения, его стоит использовать, когда только возможно. Более подробное освещение данной темы можно найти в работах (12, 16, 32, 39, 42, 44).
Глава 11. Оценка и анализ спектра ь(и) тьиьяьь ьньььньь Рис 11.15. АР-фильтр Выражая отношение х(л)/е(л), получаем х(л) 1 = Н(г). 1+ Я а()с)з " (11.41) Здесь Н(г) интерпретируется как г-преобразование цифрового БИХ-фильтра с одними полюсами, который имеет коэффициенты а(Й). Подобный фильтр называется авпьорегрессионным. Из уравнения (11.41) х(и) можно рассматривать как выходы данного фильтра, порожденные случайными входами е(и). Величина е(л) представляет ошибку между значением, предсказанным моделью, х(л) и истинным значением выборки х(п). Как правило, предполагается, что е(п) имеет свойства белого шума, т.е.
гауссово распределение плотности вероятностей и равномерный спектр плотности мощности. Следовательно, можно считать, что х(л) генерируется Ар-фильтром, на входе юторого — источник белого шума. Частотная характеристика фильтра НЦ) получается подстановкой г = е т в уравнение (11.39) (см. раздел 4.4), где ы — угловая частота, а Т вЂ” период дискретизации. Следовательно, НЦ) = 1 а()с)е-ьь~т (11.42) :;::,' 11.5.2,. Спектральная плотность мощности авторегрессионного ряда Требуется найти спектральную плотность мощности Р„Ц) АР-ряда х(л).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
