Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004) (1095888), страница 129
Текст из файла (страница 129)
В частности, можно пропустить краткие события, происходящие в области спада характеристики. Для того чтобы решить данную проблему, следует разбить последовательность данных на перекрывающиеся сегменты, взвесить и преобразовать каждый сегмент отдельно. Если перекрытие составляет порядка 50-75%, то в сегментах будет отражено большинство особенностей данных. Затем получающиеся спектры усредняются и дают оценку истинного спектра.
Разбиение данных иллюстрируется на рис. 11.4. Данная процедура называется обработкой с избыточностью, или перекрытием. Обычно обработка с перекрытием 50 — 75% позволяет на 90% использовать потенциал большинства весовых функций, связанный с улучшением производительности (18). Кроме того, при усреднении спектров сегментов снижается дисперсия спектра. Для К статистически идентичных, но независимых измерений дисперсия среднего составляет 1/К дисперсии отдельных спектров. В то же время, сказанное не относится к случаю, когда усредняются спектры перекрывающихся сегментов, поскольку между сегментами существует корреляция.
В работе (23) приводится отношение дисперсии усредненного спектра к дисперсии отдельных спектров для 50- и 75-процентного перекрьпия. На основе зтих данных можно показать, что, например, усреднение четырех спектров снижает дисперсию до уровня 25% от величины исходного спектра. Итак, описанный подход позволяет значительно улучшить оценку спектра. Выигрыш от обработки Выигрыш от обработки определяется делением отношения сигнал-шум на выходе процесса взвешивания на отношение сигнал-шум на входе: (я/йг) (В/)ьг)ы (11.14) Глава 11.
Оценка и анализ спектра 74В Исхслнал послелосатиыккть данных 1 Гл Вырезанные последоппельностн с 50%-ныи оерекрыханиси 1 1 1 ! г ! 1 Величина перскрыханна = пч 1 О !1- !Н и- ! 1 сн-! и-! Рис. 114, Разбиение данных осрсд обработкой с избыточностью Выигрыш от обработки зависит от формы весовой функции, поскольку она определяет ширину полосы ее шумового эквивалента (см, предыдущий раздел). Спад вырезающей функции до нуля уменьшает мощность сигнала, приводя к потерям при обработке, тогда как за счет боковых лепестков улучшается ширина полосы шумового эквивалента. Потери при обработке в наихудшем случае Потери при обработке в наихудшем случае определяются как сумма (в децибелах) максимального гребешкового искажения весовой функции и потерь при ее обработке.
Эта величина представляет уменьшение выходного отношения сигнал-шум, вызванное взвешиванием и наихудшим (наиболее неудачным) расположением частот. Она всегда составляет от 3,0 до 4,3 дБ. Функций, для которых этот параметр составляет более 3,8 дБ, следует избегать. Это относится к прямоугольной функции, функции Пуассона (ст = 4), функции Хэмминга — Пуассона (ст = 2,0), функции Коши и минимальной чегырехточечной функции Блэкмена-Харриса.
Ширина полосы минимального разрешения Обычно при перекрытии двух идентичных спектральных максимумов их можно разрешить, если точки по уровню 3 дБ не перекрываются (рис. 1!.5, а). В то же время, при рассмотрении ДПФ-компонента соседние спектральные составляющие множатся на весовую функцию, а затем когерентно суммируются, т.е, боковые лепестки включаются в сумму. В этом случае усиление каждого компонента в области перекрытия не должно превышать 0,5. Это означает, что спектральное разрешение определяется шириной полосы по уровню б дБ, а не шириной полосы по уровню 3 дБ (рис.
11.5, б). 11.3. Традиционные методы 749 к Частота ые а в) Рис. 11.а Ширина полосы минимального разрешения: а] разрепзеине спектральных максимумов определяется пгиринами полос по уровню 3 дБ; б) спектральное разрепюние максимумов ДПФ определяется ширинами полос по уровню 6 дБ Слгезцаюгций эффеквг весовых функций Умножение данных на весовую функцию, выходящую по краям на нуль, уменьшает амплитуду выборок в местах спада, а следовательно, общую мощность сигнала. Можно показать, что все частотные составляющие в равной степени подвержены влиянию весовой функции, и что коэффициент изменения данных пропорционален корню квадратному из коэффициента югерентного усиления мо)цности, юторый представляет нормированную мощность данных прн рассмотрении как сигнала напряжения.
Следовательно, снижение мощности сигната можно компенсировать без искажения спектра плотности мощности. Весовая функция также выравнивает средний уровень данных, увеличивая таким образом полную энергию низкочастотных компонентов спектра. Данный эффект нужно каким-то образом компенсировать, но прямое вычитание среднего взвешенных данных приводит к более явному проявлению высоючастотных боювых лепестюв.
На рис. 11.6 показан спектр плотности энергии 64 точек данных, из которых вначале был вычтен средний уровень данных, после чего данные умножались на соответствующие значения функции Кайзера — Бесселя. Очевидно, что спектр содержит низючастотные компоненты, введенные в процессе взвешивания. На рис.
11.7 изображен спектр после первого этапа — вычитания среднего из данных. Кажется, что низкочастотные компоненты удалены, но появился набор существенных боювых лепестков на высоких частотах. Ниже приводится пример, демонстрирующий, как можно устранить отрицательное влияние взвешивания. Глава 11. Оценка и анализ спектра тай йч -40 й Л -ао -100 0 64 12В !92 256 520 ЗВ4 44В 5!2 Тачки як и иык Рнс. 11.6. Энергетический спектр при выборке с интерваноы ! с, весовая функпиа Кайтера-весовая, 64 инфорыаииоиные точки, !024- точечное БПФ Приз«ар '11Л Покажите, что влияния взвешивания, проявляющегося в снижении энергии сигнала и введении низкочастотных компонентов в спектр, можно избежать путем взвешивания линейной функции данных, а не самих данных (27].
Решение Предположим, что исходные данных з(п) имеют нулевое среднее. Пусть средний уровень, введенный в данные при взвешивании, удален путем вычитания из з(п) константы 101. Теперь новые взвешенные данные з' записываются как з'(91) = пг(п)[з(п) — Йз[, (11.15) где ю(п) — значения весовой функции, или весовые жзэффициенты. Снижение мощности сигнала, вызванное взвешиванием, можно теперь компенсировать, умножив каждое значение з'(и) на тщательно выбранную константу )ся.
Итак, точки теперь преобразуются к виду $(п) — гсятп(п)[8(п) гс1[ (11.1б) Требуемое значение 101 мол!но найти из условия равенства нулю среднего значения Я(п). Следовательно, Я(п) = О. а«0 Значит, ВГ-1 02-1 й2 ~ ~та(п)з(п) — ~ пг(п)гсз — — О. «=0 «=О 761 11.3. Традиционнып мвтоды -ао -!00 о 64 220 202 256 320 ЗВ4 440 522 течкн лаппьп Рнс.
2!.7. Энергетический спектр при выборке с интервалом ! с, весоаая функция Каймра-Бесселя, 64 информационные точки, !024- точечное БПФ. Средний уровень вхвенмнных данных удален путем вычитания среднето ит данных Таким образом, (11.17) 0 Нормированная мощность переменного тока данных до взвешивания равна Е[(в( ) — (с )'] = ',20, (11.18) где через Е обозначено математическое ожидание, а о220 — дисперсия з(п) со средним значением уст, Нормированная мощность переменного тока взвешенных данных равна Е(услшл(п) [з(п) — )с ]2) где п2(п) и з(п) взаимно независимы. Далее получаем Е(фвл(п)[з(п) — ~,]2) = Е[22слпхо(п)]Е([в(п) — йх]л) = (11.19) = 140Е[ Р(п)]о~~. Значение Ц, требуемое для выравнивания мощности взвешенных и невзвешенных дан- ных, можно получить, приравняв уравнения (11.18) и (11.19): о,ут = "лЕ[пт (п)]о,м, откуда асов 1 1 У ч=О ыв -40 62 Я пт(п)в(м) =о 1 52-1 Е () ?52 Глава 11.
Оценка и анализ спектра -2О -8О -100 64 128 !92 256 320 384 448 5!2 точки данина Рис. ! !.й. Энергетический спектр при выборке с интервалом ! с, весовая функция Кайзера-Бесселя, 64 информационные точки, !024-точечное Бпбь Данные прошли предварительнуш обработку с цельш удаления среднего уровня взвешенных данных и сохранения средней мощности Следовательно, 1/2 (11.20) Подставляя уравнения (11.17) и (11.20) в уравнение (11.16), окончательно получаем 11'2 Я(П) = Ю(П) (11.21) На рис, 11.8 показан энергетический спектр данных, получающихся после удаления среднего взвешенных данных и восстановления энергии сигната согласно уравне- нию (11.21). Постоянная составляющая, возникшая при взвешивании, и влияние бо- ковых лепестков устранены.
Из приведенного примера видно, что данные я(п) рекомендуется модифицировать согласно уравнению (11.21), а лишь затем применять ДПФ. Данная процедура эквивалентна вычитанию !01 из данных с последующим умножением разности на !82 перед взвешиванием. 11.3.2.2. Выбор весовой функции В работе (23) подробно рассмотрено влияние различных характеристик весовых функций на эффективность метода взвешивания и сделан вывод, что на качество функции влияет в первую очередь наивысший уровень боковых лепестков и наибольший $ -10 о й -60 Ф Ж Дг-1 2,' пгз(11) Ю(П)З(П) =о ~, 'ш(п) дг — 1 ~', шя(п) ч=о 11.3.
Традиционные методы 763 проигрыш от обработки. В качестве предпочтительных называются весовые функции Блэкмена-Харриса, Дольфа-Чебышева и Кайзера-Бесселя. Менее эффективны функции Тычки (спад по косинусу), Пуассона, Хеннинга и Хэмминга. Спад многих весовых функций и их форму во многих случаях можно регулировать, выбирая значение параметра функции т. Это позволяет варьировать ширину основного лепестка и уровень боковых лепестков. Частью искусства взвешивания является выбор методом проб и ошибок значения а, оптимизирующего результаты в конкретной ситуации. Прийер'31,2' Влияние различных весовых функций на амплитудный спектр. На рис. 11.9, а показаны ДПФ-компоненты двух синусоид, отличающихся по амплитуде на 40 дБ и имеющих частоты 1001" и 1201" (где г" — первая гармоника, соответствующая записи длительностью Т,(в)), которые были получены без взвешивания, те.
с прямоугольной весовой функцией. В этом случае сигнал кажется периодическим и бесконечным (из-за гармонической связи сигнала с длиной окна) и точно воспроизводится даже при прямоугольной весовой функции. Чтобы разрушить указанную гармоническую связь, частоту большего сигнала положили равной 102, 51 (не гармоника), результат представлен на рнс. 11.9, б. В результате уровень боковых лепестков значительно повышается и в ннх почти теряется меньший сигнал. Данный эффект можно в значительной степени подавить, использовав подходящую весовую функцию. На рис. 11.10, а и б показаны функции Тычки (спадающий косинус) с о = О, 1 н а = 0,5, а на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
