Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004) (1095888), страница 128

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 128)

Фактически для реализации этой разновидности спектрального сглаживания нужно свернуть спектр данных со спектром выбранной взвешивающей функции. Параметрические методы оценки спектра и другие современные методы описаны в разделе 11.4. Данные методы ие настолько требуют присутствия человека, как непараметрические методы, и их можно автоматизировать.

Ниже описано, как с помощью параметров модели сформировать модель данных, иа основе которой по функциям частатных характеристик линейных систем можно получить спектр данных. Описаны также более современные методы спектрального анализа. В разделе 11.3.1 уточняются различные подводные камни спектрального анализа и объясняется, как их можно избежать. Метод взвешивания и свойства весовых фуиюшй описаны в разделе ! 1.3.2.

Некоторые свойства спектров и спектрального сглаживания рассмотрены в разделе 11.3.3. 11.3. Традиционные методы 743 Я Я ДД 7 Частота Рнс. 11.1. Спеатрвльнав плотность ампвнтунм сигнала с равномерной спеатрвльной плотностью ';;"уф~~~~~~2$ Подводные камни 11.3.1.1. Частота дискретизации и наложение Выполнению спектрального анализа должна предшествовать передача аналоговых сигналов через фильтр защиты от наложения спектров, задача которого — предотвратить наложение дискретного сигнала после последующего этапа аналого-цифрового преобразования. Наложением называется искажение спектра сигнала при вводе паразитных (побочных) низкочастотных компонентов вследствие обьединения недостаточного фильтра защиты от наложения спектров и слишком низкой частоты дискретизации. Данная тема всесторонне рассмотрена в разделе 2.2. 11.3.1.2.

"Гребешковое искажение", или "аффект частокола" Как обьяснялось в разделе 3.2, дискретное преобразование Фурье (ДПФ) выдает гармонические амплитудные и фазовые компоненты, равномерно размещенные по шкале частот. Густота размещения спектральных линий уменьшается с увеличением длины дискретизованного сигнала. Следовательно, если компонент сигнала расположен между двумя соседними частотными гармониками спектра, представить его надлежащим образом нельзя. Энергия такого компонента будет распределена между соседними гармониками, что приведет к искажению близлежащих спектральных "амплитуд". Спектральная плотность амплитуды равномерно распределенного сигнала показана на рис. 11,1, Отметим конечную ширину основных лепестков, цеитрированных на гармонических частотах, и то, что компонент сигнала на такой негармонической частоте, как 7'„ь нельзя представить надлежащим образом.

Для решения этой проблемы гармонические компоненты должны размещаться более тесно и совмещаться с частотами сигнала, Этого можно достичь, введя в реальные данные дополнительные нули. Эти нули называются долсинятон1ими и нужны для увеличения точности — приближения оцененного спектра к истинному спектру без использования дополнительной информации. Итак, к Л данным требуется добавить такое количество нулей М', чтобы удовлетворялось условие Глава 11.

Оценка и анализ спектра в алгоритме двоичного быстрого преобразования Фурье (БПФ), где нз — целое. Кроме того, гармоники частоты 1/(М+ Х' — 1)Т, где Т представляет интервал дискретизации, должны совпадать с частотами сигнала. Чтобы представить максимальное снижение выигрыша от обработки, юторое возникает на частотах, расположенных посредине между гармонически связанными частотами, определяется гребешковое искажение (яса!1ор(пй 1оьа) (ГИ) (23]: зо(пТ) ехр( — Ып/М) ГИ ~и'( */2У)~ (11.9) где Иг представляет ДПФ-образ весовой функции (подраздел 11.3.2), о~ = 2п/, — циклическая частота дискретизации, / — частота дискретизации, 1У вЂ” число элементов данных, п — номер элемента данных, зо(пТ) — весовая функция, дискретизованная во временной области.

Как уже отмечалось, конечная длина данных ограничивает возможное разрешение по частоте до 1/(М вЂ” 1) Т (Гц). В результате получается грубый спектр, который можно сгладить и сделать непрерывным, используя дополнительные нули. Данный процесс является просто интерполяцией спектральной кривой между соседними гармониками. Действительного улучшения разрешения можно добиться только за счет более длительной реализации. После дополнения Ж' нулями интервал частот между ливиями спектра становится равным 1/(М + М' — 1)Т (Гц). 11.3.1.3.

Исключение тренда Перед вычислением спектра нужно удалить все тренды в данных, поскольку вектор ошибок, из-за которого к данным добавляются тренды, будет интегрироваться и может породить большие ошибки в оцененном спектре. 11.3.1.4. Просачивание спектральных составляющих и размывание спектра БПФ, которое применяется к набору дискретных данных, — зто не совсем истинное БПФ процесса, из которого получены данные. Зто обьясняется тем, что процесс непрерывен, тогда как данные имеют начало и конец, которые определяются выбранной реализацией. Для эффективного получения данных, которые представляют сигнал длительностью Т,(в), все дискретные значения в интервале Т, умножаются на единицу, а все данные вне этого интервала умножаются на нуль.

Зто эквивалентно умножению (или взвешиванию) сигнала на прямоугольный импульс (взвешиваюшую, или весовую, функцию) ширины Т, и высоты 1. В этом случае выборки данных и(п) равны произведению элементов данных в(н) и значений весовой функции ю(Х): н(п) = ю(п)в(п). (! 1.10) 11.3. Традиционные методы тая Произведение во временной области эквивалентно свертке в частотной (см. разделы 3.3 и 5.3). Следовательно, БПФ-образ и-й гармоники равен И(ш„) = ~ Иг(ы„— ыь)Я(ыь), (11.11) Т,(~„Т,/2), /м„Т,'! Ял(ц~„) = = в!пс ~ — /! . ш„Т./2 (, 2 ) ' (!1.!2) Здесь в!пс(ы„Т„/2) — функция выборки с частотой и„/2 (см.

подразделы 3.!.1 и 3.1.2), проиллюстрированная на рис. 3.2, а. Она состоит их основного лепестка и бесконечного числа боювых лепестков с максимумами на О Гц и (и + О, 5)/Т, Гц соответственно. Теперь амплитудный спектр отдельного синусоидального юмпонента сигнала на частоте /„ включает в себя два импульса на частотах ~/„. Свертка с дискретизирующей функцией дает спектр, изображенный на рис. 11,2.

Два импульса преобразовались в две перекрывающиеся выборочные функции. Влияние прямоугольной весовой функции проявилось во введении в вычисленный спектр побочных максимумов (из-за влияния боковых лепестюв). Такой эффект будет иметь место для каждого частотного компонента сигнала, так что амплитудный спектр сигнала будет искажен из-за перекрестного сложения и вычитания большого числа боковых и главных лепестюв весовых функций.

Вследствие этого могут появиться ложные или скрыться истинные максимумы спектра. Данный эффект называется просачиванием спектральных составляюи!их. Для того чтобы избежать его, данные следует модифицировать — умножить на весовую функцию, форма которой предназначена для снижения влияния боковых лепестюв. Подходящая функция равна 1 в центральной точке и сходит на нуль в точках и = О и и = А! — 1.

На настоящий момент разработано по крайней мере 23 такие функции, их относительная пригодность рассмотрена в работе [23). Чтобы минимизировать просачивание спектральных составляющих, форма весовой функции выбирается с минимальными уровнями боковых лепестков. К сожалению, это приводит к увеличению ширины основного лепестка, так что он расширяется на соседние боковые лепестки (происходит наложение).

Данный эффект имеет место для всех гармоник, а общий результат — наложение спектра сигнала, или размывание. Таким образом, весовые функции и их параметры надлежит выбирать тщательно, чтобы добиться оптимального баланса между разрешением по частоте и статистической точностью оценки спектра. где ш„— циклическая частота и-й гармоники, к'(ы„) — комплексный ДПФ-компонент на частоте м„, И'(ш„) — ДПФ-образ функции на частоте ш„, Я(мь) — действительный ДПФ-юмпонент сигнала на частоте шь.

Из уравнения (11.11) следует, что рассчитанный спектр состоит из истинного спектра данных, свернутого со спектром весовой функции. Амплитудный спектр прямоугольного импульса Ян(и~„) записывается следующим образом (данное выражение называется также ядром Дирихле): Глава 11. Оценка и анализ спектра 746 Рнс. 11Д. Спекгральнак плотность амплитуды синусоидапьного сигнала, саериутого с дискре- титуюиий функцией .-."-',''Й.'.Э;Й -" Взвешивание В данном разделе описаны различные свойства весовых функций, причем в основном рассуждения ведутся во временной области.

В то же время, не лишним будет напомнить, что взвешивание можно проводить как во временной (взвешиванне данных), так и в частотной области (взвешивание частот), поскольку умножение во временной области эквивалентно свертке в частотной (подраздел 11.3.1.4). Взвешивание в частотной области, следовательно, можно заменить свертдой в частотной области весовой функции со спектром сигнала. Для реализации этой процедуры можно использовать уравнение (5. ! 04).

11.3.2.1. Свойства весовых функций Ширина полосы шумового (прямоугольного) эквивалента В подразделе 11.3.1.4 было показано, что из-за явления просачивания спектральных составляющих импульсные характеристики, которые теоретически представляют спектральные плотности амплитуд, становятся выборочными функциями. Таким образом бесконечно узкие спектральные компоненты замещаются дискрегизующнми функциями с более широкими полосами. Боковые лепестки этих функций, смещающие компоненты сигнала, можно рассматривать как источники нежелательного шума, а весовую частотную фунюзию можно считать характеристикой широкополосного фильтра. Следовательно, с такой точки зрения желательно разработать весовую функцию с малой шумовой полосой, уменьшив амплитуды боковых лепестков.

Шумовая паласа вводится с целью сравнения различных весовых функций по ширине полосы шумового эквивалента. Данная величина определяется как ширина полосы идеального прямоугольного фильтра, который пропускает тот же объем белого шума, что и рассматриваемый спектральный фильтр (см. рис. ! 1.3) (поэтому данную величину называют еще шириной полосы прямоугольного эквивалента).

Данное определение позволяет оценивать характеристики боковых лепестков различных функций путем сравнения их шумовых эквивалентов. Ширина полосы шумового эквивалента — очень важный параметр функции, чем он меньше, чем лучше весовая функция. 11.3. Традиционныв методы 747 Частота Ширина пслссм шумового эквнвалснта Плошааь пол кривой иасальной варактсристики плошаль птн кривой рсальной карактсрнстнки Рнс. 11.З. Ширина полосы шумового эквивапсита Ширина полосы шумового эквивалента выражается следующим образом: =М-г й(пТ) п=й (11.13) иг(пТ) Корреляция перекрыеаюиГилсл сегментов При взвешивании данных начало и конец последовательности данных выходят на нуль, и этот эффект представляет потерю информации.

Характеристики

Список файлов книги