Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004) (1095888), страница 130
Текст из файла (страница 130)
11.11, а и б показаны соответствующие спектры. На рнс. 11.12, а и б изображена функция Хэмминга (о = О, 54) и получающийся спектр соответственно. На рис. 11.13, а-в показаны функции Кайзера— Бесселя с ц = 2,0 3,0 и 4,0, а на рис. 11.14 иллюстрируются соответствующие спектры. Наиболее близкий к истине результат дает функция Кайзера-Бесселя с а = 4, О. Впрочем, следует отметить, что если увеличивать о для уменьшения боковых лепестков, одновременно увеличивается ширина основного лепестка, поэтому нужно искать компромиссное значение ц.
Разумеется, в реальной ситуации все гармоники будут подвергаться воздействию, так что если нужно избежать ложных результатов, очень важно выбрать весовую функцию с точки зрения суммарной эффективности для всех частот. Весовая функция Дольфа — Чебышева наиболее предпочтительна с точки зрения малых боковых лепестков, хотя она дает наибольшие потери при обработке; впрочем, возможность ее использования для многотонового детектирования маловероятна из-за когерентного сложения боковых лепестков.
Кроме того, структура боковых лепестков этой функции весьма чувствительна к ошибкам коэффициентов. Таким образом, более предпочтительна функция Блэкмена-Харриса или Кайзера-Бесселя. Отметим, что коэффициенты функции Кайзера — Бесселя генерировать проще, а, меняя параметр а, легче найти компромисс между уровнем боковых лепестков и шириной основного лепестка.
Данная функция выражается следующим образом (согласно [33]): м2 / и~(пкв) = зо кц 1,0 — — зо(яа), 0 ( ~пкв~ ~ Д/2, (11.22) 1, У/2/ Глава 11. Оценка и анализ спектра )о,оо о,ао -)о,оо а -Зала < -за,ао -50,00 ' ааа З,П )О)4 Н,Зб Юда Нсм За)1 ЗЗМ скоб МОВ П,Ю Частота а) )о,оо Озш -)о,ао -зо,аа < -зо,ао -50,00 ооо 5,)з )014 п,зб юла ззбо зоп ззм аом абба п,ю Частета б) Рнс. 11.0. Амплнтудньж спектр двух синусоид, отничаюшикса по амплитуде на 40 дб: е) длина окна кратна обоим периодам; б) длина окна не кратна одному ит периодов 1большему) где и — номер выборки весовой функции, бт — числовой параметр, регулируя который выбирается наилучший юмпромисс меяоту уровнем боковых лепестюв и шириной основного лепестка, )тт — число выборок весовой функции. (11.23) это модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка, а К теоретически равно бесконечности, но, посюльку амплитуда функции Бесселя быстро спадает с )с, обычно достаточно положить К = 32.
11.3. Традиционные методы 7,2О о,во О,ЕО ф о,оо -о,во -7ЛО 0,00 7,00 2,00 З,ОО 6,00 5,00 6,00 7,00 В,ОО 5,00 $0,00 а) Време ьм о,во -о,во -Ь20 0,00 ЬОО 2,00 3,00 Я,ОО 5,00 6,00 7,00 В,ОО 7,00 30,00 б) Ввеме вне. 11.10. Вееовев фуннцнв Тмонн: е) н = О, 1; 6) а = О, б Формула (11.22) определяет весовую функцию между точками -М/2 н 177/2 — 1. Обычно с помощью ДПФ можно распространить зту функцию на промежуток от олпе = О до олпе —— 1)( — 1, где идпе — номер элемента данных ДПФ. Следовательно, чтобы ДПФ можно было использовать совместно с весовой функцией Кайзера-Бесселя, зту функцию нужно сместить вправо на Ж/2, в результате чего получится пдпе = ввкв + )тг/2 нлн пкв — — твдпе — 757/2.
(11.24) Окончательно уравнение (11.22) записывается следующим образом: , в 2721 /Пдцео — 1)7/2 В ~ 1 / 07(ПДПФ) = ео 7ГЕВ 1, О— Лг/2 / ~ р /о(лев), О ( ~пдпе| ( Ж вЂ” 1. (11,2б) Глава 11. Оценка и анализ спектра 756 )О,а -)о,оо -23,00 4 -30,00 -5О,ОО 000 5,12 10,24 )5,36 2048 25,60 30,72 35,84 40,56 4608 5),20 а) Часпла Ю,ОО О,ОО -ю,оо -Ю,ОО < -30,00 -%,00 0,00 5.)2 10,24 15,36 20,48 25,60 30,72 35,84 40,86 46,08 5).20 б) Частота Рис. 11Л1.
Амплитудныа спектр двух синусоид, умнакенных на весовую функнию — конический косинус '. 1'1.3.3.:.5 Метод и свойства периодограмм Е(Р(7")] = ~ шв(т) С, ехр( — 2я83'т), (1! .2б) где с, (т) — автоковариационная матрица х(п), вычисленная с запаздыванием т, 7— частота, а шв — тРеУгольнаЯ весоваЯ фУнкЦиа (БаРлегта), котоРаЯ опРеДелметсЯ слеДУ- ющим образом: ,( )=1 И ~!<М 1 )17 (11.27) Для сравнения отметим, что истинная спектрадьная плотность мощности Р(Я функции х(х) равна РЯ = ~ ~с-, ехр( — 2я87'пт).
(11.28) квадрат модуля Фурье-образа )Р(80))12 представляет собой оценку спектральной плотности мощности Е[Р(3")) и называется периодограыдбой. Можно показать (18, 44), что Е(Р(7')) равно 11.3. традиционные методы 767 1,20 0,80 0,40 -О,ВО -1,20 О,ОО 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8.00 9,00 10,00 а) Время о,оо -)О,ОО й -20ДО 4 -3О,ОО -50,00 0,00 5Л2 10,24 15,36 Д),48 25,60 30,72 35,84 40,96 46,08 51,Д) б) Чамота Рис.
11.12. Весома функция Хэмминта (панель а); соответствующий амплитуднмй спектр двух синусоид (панель 6) Следовательно, спектральная плотность мощности, представленная периодограммой, колеблется, а максимальная амплитуда колебаний отклонения определяется следуюшим образом; Р[1) — Е[Р[3Я)) = ~ [1 — шв[т)[с ехр[ — 2хтуги) = (11.29) Для 1)(» [т[ смещение становится малым и Е[Р[у)[ — РЯ, те. периодограмма асимптотически несмещенная.
Кроме того, для больших )37 дисперсия периодограммы становится равной [РУ) ) — РР' Я, (11.30) где Г зависит от используемой весовой функции, т.е. дисперсия зависит от квадрата спектральной плотности мощности и не сходится к нулю с ростом Х. Это означает, что оценки спектральной плотности мощности, полученные из периодограммы, несостоятельны и дают колеблюшиеся оценки РЦ) в последовательных реализациях. Глава 11. Оценка и анализ слактра 76$ 1,20 )ДО 0,40 -6,80 -1.26 О,ОО 2,00 4,00 6,00 В,ОО 10,00 1,00 3,00 5,00 7,06 9,00 в) 88 «в 1,20 0,40 -1,20 О,ОО 2,01 4,06 6,00 В,СО 16,00 1,00 З,СО 5,0) ),тй 9,00 в) ар«в« Рмс.
11.13. Весовые функции Кайзера-Бесселя; а) а = 2,0; б) а = 3,0; в) а = 4, О 10,00 10,00 0,06 О,СО -50,00 -50,00 0,00 10.24 20,48 Ю,12 40,96 51,20 О,ОО 10,24 20.48 20,72 40,96 51,20 5,12 !5,М 25,40 35,64 46,08 5,$2 !536 25,60 35,84 46,08 ) Ч и в б) Чв те* Ю,СО О,СЕ 10,24 20,48 30,72 40,96 51,20 5,12 !5,34 25,66 35,84 46,08 «) Чвттвт Рнс. 11.14. Амплитудный спектр двух сннусонд, вмчнсленный с вспользованнем соответствую)цнх функцнй Кайзера-Бесселя, представленных на рнс. 11.13: а) о = 2 О; б) а = 3 О; в) о = 4.
0 -юяо 39 -20.0О -30,00 О,ОО -0,40 - 10,00 -20,00 -ЭО,ОО оде х' о,оо ава -1,20 0,00 2,00 4,00 6,06 6,00 Ю,ОО 1,00 3,00 5,СО 7,00 О,СО 6) вы«в -!еле й -20,00 -ЗО.ОО 11.3. Традиционныо методы тад -'=-.',=".,~Ъ';35$1~'. Методы модифицированных периодограмм В работе (50) предлагается для устранения несостоятельности метода периодограмм использовать усреднение нескольких модифицированных периодограмм. Каждая из таких пернодограмм состоит из сегмента данных.
Данные сегменты могут идти последовательно (метод Барлетта) или перекрываться (метод Уэлша). Данные методы также уменьшиот дисперсию оценок спектральной плотности мощности. Метод Барлетта иллюстрируется в примере ! 1.3. 11.3.4.1. Метод Уэлша Преимущество метода Уэлша по сравнению с методом Барлетта заключается я дальнейшем уменьшении спектральной плотности мощности.
В то же время, это улучшение происходит за счет добавочного уменьшения спектрального разрешения. В методе Уэлша Ь сегментов данных длины М перекрываются и периодограммы вычисляются по Ь взвешенным сегментам. Далее периодограммы нормируются на величину (7, чтобы компенсировать потери энергии сигнала вследствие процедуры взвешивания. Фактически (7 приравнивается к!/!с'~', где йз — 1юэффициент, полученный в подразделе 11.3.2.1 и описывающий эффект смещения весовых функций. Следовательно, М-1 ы' = — ~~~ то~(п).
=о (11.31) Таким образом, оценка Уэлша спектральной плотности мощности Риа(/) записывается следующим образом: ь-1 Р (/) =-',ЯР1(/). (1!.32) 1 о Математическое ожидание оценки Уэлша: ь-1 Е(йоа(/)) = — ~~~, Е(Р1(/)) = Е(Р1(/)1, з=о (11.33) т.е. оно равно математическому ожиданию модифицированной периодограммы.
Можно показать [44), что при Ж вЂ” со и М вЂ” ~ оо значения сходятся к истинной спектральной плотности мощности Р(/). Итак, для больших Ж и М оценка Уэлша спектральной Отметим, что аятоковариационная матрица обычно определяется усреднением по )У членам, хотя ее можно определять и усреднением по )У вЂ” ~т~ членам. Обе оценки состоятельны и яалшотся асимптотически несмешенными, но в первом случае получается меньшая дисперсия, поэтому такой способ предпочтительнее. Более того, при применении для получения спектра ДПФ соотяетстауюшая периодограмма определяется как (1/!У) ~Х(й)~з и имеет размерность нормированной энергии, хотя некоторые авторы называют функцию (1/Ж)!Х((о)(з спектральной нлотностпью мои!ностни.
Глава 11. Оценка и анализ спектра 760 плотности мощности несмещенная. При определенных условиях дисперсия оценок Уэлша сходится к нулю, т.е. оценки состоятельны. Уэлш также показал, что прн отсутствии наложения сегментов (Е = К) таг[~%еУ)[ (3~К)~ (1)~ что равно дисперсии оценки Барлетта при тех же условиях. Прн 80%-нем наложении (Ь = 2К) г[Р (У)[ = (Н8Б)РФ, что составляет 9/16=0,56 дисперсии оценки Барлетта. .'=-",:. 21':,34с'='-'-: Метод Блзкмена-Тычки В главе 3 было показано, что спектр плотности мощности определяется ДПФ авто- корреляционной функцией данных.
Зная, что периодограммы можно вычислить прямо по данным как квадрат ДПФ-образа данных, рассмотрим вопрос о полезности данного подхода. В связи с этим, во-первых, заслуживает внимания тот факт, что метод Блэкмена-Тычки был разработан в 1958 году (см. (6)), тогда как алгоритм БПФ для быстрого вычисления ДПФ не публиковался до 1965 года [17).
Во-вторых, метод Блэкмена-Тычки имеет некоторые преимущества по сравнению с методом периодограмм. Например, в следующем разделе показано, что метод Блэкмена-Тычки характеризуется большой добротностью. Кроме того, автокорреляционные фуншгии теперь можно вычислить с помощью ДПФ посредством метода быстрой корреляции (раздел 11.3.6). В результате получаем следующую процедуру Блэкмена-Тычки для определения спектра плотности мощности: 1) вычислить автокорреляционную функцию данных; 2) воздействовать на данные подходящей весовой функцией; 3) вычислить БПФ получающихся данных и получить спектр плотности мощности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
