Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004) (1095888), страница 127
Текст из файла (страница 127)
Теперь самое время привести несколыю статистических определений. Среднее значение временного ряда, состоящего из элементов данных х(п), п = О, 1,..., У вЂ” 1, равно его математическому ожиданию Е[х(п)]: 11.1. Введение где Š— оператор математического ожидания. Дисперсия того же ряда выражается как чвг[х(п)) = Е([х(п) — х(п))з). (11.2) Автоковариационная матрица х(п) записывается следующим образом: с„(т) = Е([х(п) — х(п))[х(п+ т) — х(п))), (11.3) где через т обозначено запаздывание элементов данных, а через х(п) записано Е[х(п)).
Предполагая конечную реализацию, спектральную плотность мощности можно записать как Рк(ы) = ~ с (т) ехр( — иот). (11.4) Отметим, что если в отличие от бесконечно длительных стохастических процессов рассматривать сигналы конечной длительности, более правильным будет использовать спектральную плотность энергии. Спектральная плотность мощности имеет размерность В Гц '.
Если оценивается статистический параметр а, смещение (отклонение) оценки определяется как разность истинного значения (взятого из генеральной совокупности) и оценки: смещение = а — Е[а). (115) Если смещение равно нулю, оценка совпадает с истинным значением; если смещение не равно нулю, оно представляет ошибку определения а и оцененное значение а называется смещенным.
Хорошие алгоритмы оценки смещения не допускают. Дисперсия а является мерой ширины максимума функции распределения плотности вероятности а. При небольшой дисперсии пики довольно узкие, а при дисперсии, стремящейся к нулю, оцененное значение стремится к значению из генеральной совокупности (истинному), если оценка не смещена. Если дисперсия стремится к нулю прн увеличении числа элементов данных И, оценку называют состоятельной.
Если она несостоятельна, оценки будут флуктуировать с увеличивающейся амплитудой от реализации к реализации с увеличением элементов данных. Следовательно, нужно, чтобы статистические оценки были несмещенными и состоятельными. Особенности оценки спектра методами периодограмм рассмотрены в разделах 11.3.3 и 11.3.4. Показано, что оценки спектра, выведенные как периодограммы, несостоятельны, т.е.
последовательные реализации дают флуктуирующие оценки, несмещенные только для большых наборов данных. Для получения устойчивых и более точных оценок вырезаются блоки данных, спектры которых затем усредняются. Данная идея реализована в методе модифицированных периодограмм Барлетта и Уэлша. В заключение рассмотрен непараметрическнй метод Блэкмена-Тычки. Метод заключается в следующем: вначале вычисляется взвешенная автокорреляционная функция данных, и по ее БПФ получается энергетический спектр. Оценка спектра по методу Блэкмена-Тычки характеризуется большей добротностью, чем другие методы с использованием периоде~рамы.
Кроме того, следует определить добротность оценок спектральной плотности мощности, что позволит сравнить различные оценки. В качестве выражения для доброт- Глава 11. Оценка и анализ спектра Гяо ности оценки было предложено (см. 144)) отношение квадрата среднего спектральной плотности мощности к ее дисперсии: (11.6) М.2. ПРИНЦИПЫ ОЦЕйКИ СПЕ((ТтРа В начале данного раздела рассматривается форма сигнала напряжения в зависимости от времени.
Данная форма сигнала может дать полезную информацию. Например, зто может быть синусоида, которую естественно характеризовать ее амплитудой, частотой и фазой. Точнее, такой сигнал можно считать состоящим из одной гармоники известной частоты с определенной амплитудой и фазой. В качестве альтернативы представления сигнала как функции напряжения от времени его можно представить двумя графиками: зависимости амплитуды от частоты и зависимости фазы от частоты.
Поскольку синусоида — зто единственный сигнал, который имеет одну амплитуду, одну фазу и одну частоту, на графиках амплитуды и фазы синусоиды будет расположена одна точка. С помощью анализа Фурье (см. главу 3) можно показать, что все сигналы можно математически представить как сумму синусоидальиых сигналов, каждый из которых имеет свою амплитуду и фазу на заданной частоте.
Следовательно, любой сигнал можно альтернативным образом представить зависимостью амплитуды от частоты и фазы от частоты. Данные графики называются амлллтудным и фазовым спектрами. Данные спектры важны, поскольку они предлагают дополняющий способ представления сигнала, из юторого яснее видна информация о частотном содержании сигнала. Наблюдаемые формы спектров и изменения в них весьма полезны при понимании и интерпретации сигналов. Амплитудный и фазовый спектры в свою очередь очень часто дают больше полезной информации, чем сигналы. Тема преобразования из временной области в частотную и обратно описана в главе 3.
Были изложены концепции преобразования периодических сигналов в частотную область с помощью ряда Фурье и комплексного ряда Фурье. Там же было показано, что частоты синусоидальных юмпонентов периодичесюго сигнала, известные как Фурье-компоненты, гармонически связаны друг с другом, т.е.
квлщый кратен первой гармонике 1, где т" = ЦТ~, где Т, — период повторения сигнала. Известно, что расстояние между любой парой соседних гармоник одинаюво и равно г" = 1/Т„, так что данная величина называется еще разрешением ло часлголге или частолгным разрешением. Амплитуда амплитудного спектра измеряется в вольтах. Пример периодичесюго сигнала импульсов напряжения представлен на рис. 3.
1, а, а на рис. 3. 1, б и в изображены соответственно амплитудный и фазовый спектры данного сигнала. О различных способах использования амплитудного и фазового спектров рассказывалось во вступлении к главе 3. Непериодические, но непрерывные сигналы можно преобразовать из временной в частотную область с использованием преобразования Фурье, описанного в разделе 3.1.2. 11.2. Принципы оценки спектра 741 Было показано, что "амплитуда" этого преобразования имеет размерность ВГц ' и, если изобразить ее в зависимости от частоты, получим амплитудный спектр. Следовательно, площадь под кривой между двумя частотами характеризует "среднее" напряжение сигнала для частотных компонентов, лежащих между указанными двумя частотами.
Возводя в квадрат "амплитуды" вычисленных Фурье-компонентов, получим спектральную плотность энергии сигнала в ДжГц '. Термином "спектр" часто называют графики зависимости спектральной плотности амплитуды и спектральной плотности энергии от частоты. Данные спектральные плотности для прямоугольного импульса приведены на рис. 3,2, а и б. В главе 3 также было показано, как спектры дискретных и непериодических импульсов напряжения можно получить с помощью дискретного преобразования Фурье (ДПФ). Было показано, что компоненты ДПФ гармонически связаны с первой гармонической циклической частотой П = 2я/(М вЂ” 1)Т, так что первая гармоника равна /, а / = 1/(Ат — 1) Т, (11.7, а) где Я вЂ” число элементов данных, а Т вЂ” интервал дискретизации.
Поскольку (Ат — 1)Т равно Тр (длительности дискретного сигнала), первая гармоника равна /= 1/Т„. (1 1.7, б) Как и выше, вследствие гармонической связи разрешение по частоте также равно 1/Т„. Следовательно, чем длительнее сигнал, тем большим будет разрешение спектра. Пример вычисления ДПФ последовательности данных 11, О, О, Ц представлен в разделе 3 2. Показано, что Фурьеобраз данной последовательности равен (2, 1+ 1, О, 1 — 1), С.-д °, гг рн-р, .Н;р,лотто-М.К довательность данных представляет дискретные уровни напряжения, амплитуда второй гармоники — ъ/2 В, а ее энергия — (~2 В), те.
2 Дж. Соответствующая фаза равна агстк(минимый компонент/действительный компонент) = агсгя1 = 45'. последовательность данных представлена на рис. 3.3, а, а ее амплитудный и фазовый спектры— на рис. 3.3, б и в соответственно. Амплитудный спектр имеет размерность "вольт". В разделе 3.2 показано, что ДПФ и преобразование Фурье связаны соотношением Г(ио) = ТХ(!с). В разделе 3.5 представлен алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ), позволяющий ускорить вычисление ДПФ, пример его использования (для той же последовательности (1, О, О, 1) ) рассмотрен в разделе 3.5.!. Если рассматриваемый сигнал длителен по сравнению с интервалом времени, в течение которого можно считать, что сигнал имеет постоянные статистические моменты, оценка спектра с большой вероятностью будет неточной. Сказанное также справедливо в том случае, когда сигнал сильно зашумлен.
В таких ситуациях необходимо сгладить оцененный спектр, чтобы получить улучшенную оценку, поскольку сглаживание спектра позволяет устранить элемент случайности. Отношение сигнал-шум в случайных сигналах можно улучшить путем усреднения сигналов; при усреднении К сигналов отношение сигнал-шум улучшается в ъ/К раз. Итак, один метод повышения точности оценки спектра уже есть: разделить данные на К частей равной длины, определить Глава 11. Оценка и анализ спектра спектр каждой части, а затем усредиить полученные спектры.
Таким образом получанпся средняя амплитуда и средняя фаза каждого гармонического частотного компонента К спектров, графическое представление которых является спектром средних амплитуды и фазы. Точность спектров можно выразить через их дисперсию. Например, чем меньше дисперсия спектральной плотности мощности, чем точнее оценка. Следовательно, важно знать, как влияет метод оценки спектра иа его дисперсию. Оценка спектра путем усреднения описана в подразделе 11.3.2.1, где объясняется, что оценка спектра как среднего спектров К частей данных имеет меньшую дисперсию, чем оценка, вычисленная непосредственно, причем дисперсия уменьшается пропорционально числу частей.
Даже если шумовая составляющая сигнала мала, т.е. имеем большое отношение сигиал-шум, результат, усредненный по К частям, по-прежиему значительно повышает точность этого метода модифицированных периодограмм. В то же время, разбиение данных иа части приводит к тому, что при вычислении БПФ используется меньше выборок, а следовательно, оценка спектра получается более грубой. Этого недостатка можно избежать, введя дополняющие нули (подраздел 11З.1.2). Итак, всегда нужно помнить, что требования к точности оценки и иеобходимой спектральной гладяости противоречивы, и добиваться наилучшего компромисса между ними.
Другой подход к сглаживанию графиков спектральных функций — это вычислить его по ДПФ взвешенной автокорреляциоииой функции данных. Этот принцип положен в основу метода Блэкмеиа-Тычки (см. раздел 11.3.5). Поскольку автокорреляциоииая функция данных состоит из среднего сумм произведений данных и запаздывающих копий самих себя (раздел 5.2), отношение сигиал-шум улучшается (раздел 5.2.2). Метод Блэкмеиа-Тычки дает спектр с большей добротностью, чем спектр„полученный методами модифицированных периодограмм. Взвешивающие функции также оказывают сглаживающий эффект иа спектр. В частности, функции с небольшими боковыми лепестками в частотной области отфильтровывают шум, который ие входит в основной лепесток, и предлагают улучшенное сглаживание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
