Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004) (1095888), страница 123
Текст из файла (страница 123)
Число предыдущих выборок, вносящих значительный вклад в И' в каждый момент выборки, называется асимптотической длиной выборки (азутпргойс зашр1е!епйГ(т — АЯ.) и выражается следуюшей формулой: ь 1 ь=о 1— 'у (10.33) Данное выражение эффективно определяет память фильтра, реализованного с исполь- зованием рекурсивной схемы наименьших квадратов. При т = 1 фильтр обладает бес- конечной памятью.
10.5. Рекурсивный алюригм наименьших квадратов 719 ;;::10,5.2;':, Ограничения рекурсивного алгоритма наименьших квадратов Число арифметических операций с выборками в рекурсивной схеме наименьших квадратов равно размерности И'ь и Рь в уравнении (10.32). Впрочем, существует две основные проблемы, которые могут встретиться при непосредственной реализации рекурсивного алгоритма наименьших квадратов. Первая, именуемая "раздуванием" ("Ь1ои -пр"), возникает, если сигнал я ь(() равен нулю на протяжении значительного времени, вследствие чего матрица Рь будет расти экспоненциально в результате деления на у (т < 1) в каждый момент получения выборки: 11ш Рь = 1ии ~=~ /Рь, '1 (10.34) -'10,5.3,-; Алгоритмы Факторизации 10.5.3.1.
Алгоритм квадратного корня В методе квадратного корня матрица Рь факторизуегся следующим образом 18]: в вт (10.35) гле Яь, верхняя треугольная матрица, и Яь, транспонированная матрица Яы равны квадратному корню из Ры Следовательно, если в ходе итераций обновлять не Ры а Яы Вторая проблема рекурсивного алгоритма наименьших квадратов — это его чувствительность к ошибкам компьютерного округления, из-за чего матрица Р становится отрицательно определенной, а впоследствии — неустойчивой. Для успешной оценки Иг требуется, чтобы матрица Р была неотрицательно определенной, что в методе наименьших квадратов эквивалентно требованию обратимости матрицы Х Х.
Однако вследствие того, что в уравнении (1032, б) фигурирует разность величин, положительную определенность Р гарантировать нельзя. Данная проблема может еще больше испортить жизнь в многопараметрических моделях, особенно если переменные линейно зависимы и алгоритм реализован в небольшой системе с конечной длиной слова. После того как в алгоритме будет проделано много итераций, два члена в скобках в уравнении (10.32, б) могут стать почти равными. Вычитание таких членов в системе с конечной длиной слова может привести к ошибкам и тому, что матрица Рь станет отрицательно определенной. Для решения проблемы численной неустойчивости можно соответствующим образом факторизовать матрицу Р, чтобы избежать вычитания в уравнении (10.32, б).
Подобные алгоритмы факторизации лучше сходятся, а их точность сравнима с точностью рекурсивного алгоритма наименьших квадратов с двойной точностью. Два таких алгоритма — это алгоритм квадратного корня и алгоритм ()П-факторизации. С точки зрения памяти и вычислительной сложности (Л)-алгоритм эффективнее, а следовательно, предпочтительнее. Фактически Ш)-алгоритм — это формулировка алгоритма квадратного корня без использования квадратного корня, следовательно, свойства обоих алгоритмов одинаковы. Глава 10.
Адаптивные цифровые фильтры 720 положительная определенность Р» гарантирована, поскольку произведение двух квад- ратных корней всегда положительно. Величина Я» обновляется следующим образом: (10.3б) где Н» — верхняя треугольная матрица. 10.5.3.2. Алгоритм 1)0-факторизации При 1)О-факторизации Р» факторизуется следующим образом 11]: р — гг 11»тт»т где Е7» — единичная верхняя треугольная матрица, У» — транспонированная матрица т ».У», а х)» — диагональная матрица. Следовательно, вместо обновления Р», как в рекурсивном алгоритме наименьших квадратов, обновляются ее факторы У и О. Реализацию ШЭ-алгоритма в форме программы на языке С можно найти на компакт-диске, прилагаемом к книге [Неаслог, 200!] (подробности см, в предисловии). 10.6.
Сфера приложения 1 — адаптивная Фильтрация::- окулярных артефактов на ЭЗГ человека 10.6.1. Физиологическая задача Элекгроэнцефалограмма 1ЭЭГ) человека — это фиксация электрической активности мозга, которая содержит полезную диагностическую информацию по различным неврологическим расстройствам. Стандартные сигналы ЭЭГ поступают с электродов, помещенных на коже черепа, и часто имеют очень маленькую амплитуду порядка 20 мкВ. Сигнал ЭЭГ, подобно всем биомедицинским сигналам, очень уязвим к различным загрязнениям сигнала или артефактам, которые снижают его клиническую полезность.
Например, моргание или движение глаз приводит к появлению вокруг глаз значительного электрического потенциала, именуемого алек»лроокулограммой (е1еспоосц1ойгап»вЂ” ЕОО, ЭОГ). Компонент ЭОГ, зашумляющий сигнал ЭЭГ, называется окулярлым ар»лефакаом 1ОА). Примеры измеренной ЭОГ и соответствующей зашумленной ЭЭГ приведены на рис. 10.16.
Окулярные артефакты являются главным источником сложностей, когда нужно отличить нормальную активность мозга от патологической. В некоторых случаях, например у младенцев с повреждениями головного мозга и пациентов с опухолями в лобных долях мозга, связанные патологические медленные волны в ЭЭГ и ОА отличить трудно. Сходство ОА с сигналами, представляющими клинический интерес, также затрудняет автоматизацию компьютерного анализа ЭЭГ. Вообще, неврологические расстройства часто проявляют себя в ЭЭГ как медленные волны, которые, к сожалению, не только У21 10.6. Сфера приложения 1 — адаптивная фильтрация окулярных аргефангов ..
б) зоо в~ л 1секунла Рис. 1йлй. Проблема окулярнык аргефакгов в злектрозн|зефалографин: а) измеренная ЭОГ: б) соог- везсгвующий зашумленный сигнал ЭЭГ; в) сигнал ЭЭ!; скоррскгированный с учетом аюсфакга выглядят подобно ОА, но и занимают ту же полосу частот, что и ОА. Следовательно, проблема заключается в удалении ОА при сохранении сигналов, представляющих клинический интерес.
.'::": Й.6;2г 11 Аг)горитм обработки артефактов Для обработки ОА было предложено несколько методов. В то же время, такие факторы, как требования клинических лабораторий, ограничения приложений реального времени, стоимость, случайная природа ОА и спектральное перекрытие ОА с некоторых сигналами, исходящими от церебральиых источников, требуют, чтобы обработка окуляриых артефактов бьша адаптивной и в реальном времени. Схема адаптивной фильтрации окулярных артефактов представлена на рис. !0.17. В этом методе для получения оценок окулярных артефактов соответствующим образом масштабируются результаты ЭОГ.
После этого оценки артефактов вычитаются из зашумленного сигнала ЭЭГ, и получается чистый (точнее, не содержащий окулярных артефактов) сигнал ЭЭГ. Для иллюстрации сказанного рассмотрим простую задачу ввода в одном канале ЭЭГ поправки на окулярные артефакты с использованием четырех сигналов ЭОГ (рис. 10.17, б). На основе информации, содержащейся в зашумленнолз сигнале ЭЭГ, ув, и сигналах ЭОГ, с тв(0) по ка(3), вычисляется оценка окулярного артефакта ~ „. гов(а)ха(а). Затем оценка окулярного артефакта вычитается из зашумленного сигнала ЭЭГ и получается сигнал ЭЭГ без артефактов, ш. Глава 10. Адаптивные цифровые фильтры 4 )5 Измерение ЭОГ Измерение ЭЭГ исправленная ЭЭГ) «с(о) кз(л Сигналы ЭОГ кс(2) зс()) 6) Рис. 10.17.
Метод адаптивного устранения окулярных артефактов: а) возможные положения злеатродов при снятии ьеекгроокулограммы и заектрознпефалограммы; б) адаптивныд фильтр окулярных артефактов — ) еь = уь — ~ н)л(з)хл(а), з=о (10.37) где ц)л(т), л = 0,1,...,и — 1 — юэффициенты адаптивного фильтра, которые представляют элементы сигналов ЭОГ, входящие в ЭЭГ как артефакты. Величина ел также используется для регулировки весовых юэффициентов адаптивного фильтра с помощью подходящего рекурсивного алгоритма наименьших квадратов, что позволяет получить оптимальные оценки окулярных артефактов. Чтобы учесть изменения окулярных артефактов, вызванные, например, изменением движения глаза, нужна непрерывная настройка коэффициентов шл(т).
Алгоритм адаптивной фильтрации, используемый для устранения окулярных артефактов, — это, по сути, описанный выше 1Л)-алгоритм. Данная численно устойчивая формулировка рекурсивного алгоритма наименьших квадратов предпочтительнее алгоритма наименьших квадратов, поскольку имеет меньшее время сходимости. Это позволяет лучше обрабатывать различные окулярные артефакты, для устранения каждого из юторых требуется свой оптимальный набор весовых коэффициентов. Пример сигнала ЭЭГ, адаптивно исправленного с учетом артефактов, приведен на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
