Первачев С.В. Радиоавтоматика (1982) (1095886), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Прн (хТ=1 эта величина равна 1,07. Прн дальнейшем увеличении произведения )еТ величина к неограниченно возрастает. Для того чтобы препятствовать увеличенню спектральной плотности 5ез(0) шума ~~х (() и вызываемому нм росту дисперсии ошибки слежения, необходнмо выбирать достаточно высокую частоту временной дискретизации илн ограничивать ширину спектра процесса $~(1). Именно с этой целью в состав цнфровой системы (рнс. 1!.!) н включается фильтр Ф, полоса пропускання которого выбирается примерно равной частоте Р временной дискретизации. Аналогичным образом с помощью фильтров ФНЧ может ограни- 1Π— 18 285 Рис.
11.43 чиваться ширина спектра процессов, подвергающихся аналого-цифровому преобразованию в цифровых дискриминаторах, например в цифровых фазовых детекторах, показанных на рис. !1.15, 11.16. Сокращение числа дискретных элементов. Во многих случаях цифровые следящие системы содержат дискретные и импульсные элементы с различными периодами коммутации. Примером таких систем может .служить цифровая система ФАП, изображенная на рис.
11.33. Наличие в составе цифровой системы элементов с разными периодами временной дискретизации усложняет ее анализ. Поэтому при аналитическом исследовании такой системы стремятся упростить ее н представить в ваде дискретной системы, содержащей импульсные и дискретные элементы с одним (наибольшим) периодом дискретизации. Покажем возможность такого преобразования на примере системы, изображенной иа рис. 11.33. Полоя<им для простоты, что в цифровом фильтре рассматриваемой системы используется только реверсивный счетчик с периодиче- ским. сбросом.
В схеме на к<г !(<) рис. 1!.33 между точками а и р) б сохраняется ара этом вклю- % "и 1 ! с чеиной только одна (верхняя) г с и ветвь. Одной из операций, вы- У полняемых импульсным злемепг том, является дискретизация 1-е яг» ,41 гг входного процесса по времени. Т» Поэтому при последовательном включении дискретного и импульсного элементов дискретный элемент из схемы <г ~п~ у можно исключить. Введем в — п(лг) рассмотрение, кроме того, разности фаз <р<=ф» — <ра», фз= гчп 1.
-Т--г- <- гг =ф< — ф»» и заменим нелинейл с <г иый эквивалент цифрового ди- Т» скриминатора линейным, изоб- раженным на рнс. 11.40. В реРис. 11.44 зультате описанных преобразо- ваний структурная схема рассматриваемой цифровой системы принимает вид, поназанный на рис. 1!.43. Периоды коммутации входящих в эту схему дискретного и импульсного элементов равны соответственно Т и Т . Для того чтобы исключить нз схемы, прииеденной на рис. 11.43, дискретный элемент, проделаем следующее. Используя правила структурных преобразований, представим часть этой схемы, заключенную между точками а и б, в виде, показанном на рис.
11.44. Заменим разомкнутую дискретную систему, соответствующую нижней ветви полученной схемы, эквивалентной непрерывной системой. Прн высокой частоте дискретизации К=1!Т эквивалентное воздействие <р (г) на входе этой системы совпадает с ф(г), а коэффициент передачи К,(!та) эквивалентного непрерывного фильтра, заменяющего дискретный, с учетом (11.43) определяется выражением К,()ы) =г/11+/<эТ(г — 1)1. Если к тому же ширина спектра процесса ф(г) много меньше полосы пропускания эквивалентного фильтра, то по отношению к ф(г) фильтр мои<но считать безынерционным звеном с коэффициентом передачи К,=г.
Определим теперь статистические характеристики процесса о(йТ) в схеме на рис. 11.44. Корреляционная функция К,(<Т) процесса иа выходе дискретной системы в установившемся режиме выражается (481 через норреляционную функцию 1<»(<Т) входного воздействия соотношением 26б Ри(г7) = ~яд(17) ~яд(1зТ) Ри07 — 1з7+ РТ), 1,-О г,=о (11 5!у Рис. 1!.45 где йа(17) — импульсная переходная функция дискретной системы, связаннан з-преобразованием с диснретиой передаточной функцией К(г) и являющаяся реанцией системы на воздействие и(1) = 1 при 1 — 0 и и(1) =0 при 1ФО.
Дисперсия о' выходного процесса определяется выражением (!!.51) при 1=0! Для фильтра с операторным коэффициентом передачи К(с) =(1 — с")/(1 — с)", ноторыи соотнетствует накопителю с временем наноплевия Т,=тТ, импульсная переходная функция равна а,(17) = (!прн 1=0,1,...,г — 1, (11.52) !О при 1>г. Воздействие и(1) на входе рассматриваемой системы равно й,эй(1). Используя для описания корреляционной функции процесса С(1) выражение Рг(т) =пзйехр( — р!т!), подставляя (11.52) в (11.51) н полагая 1 О, находим, что при выполняющемся обычно условии гиТ»! дисперсия процесса о(йТ) равна озэ = lгззз озйг (1+ е — ит)/(1 — е — иг). (11.53) Из (11.55) следует, что при низкой частоте дискретизации, когда иу-~со, дисперсия оза=йзпотгг, а при цТ= 1 оиа равна оз,=2йэыгозй. Найденная по формуле (11.5!) норреляциовная функция Р,(17) при гцТ» 1 удовлетворяет соотношению Р,(1Т) = 0 при 1 > г.
(11.54) Как видно из рис. 11.44, процесс о(йТ) проходит через импульсный элемент с периодом коммутации Тч=гТ Поэтому при упрощении схемы его можно заменить дискретным процессом о(йТ ), Процесс о(йТ ), кан вытекает из (11.54)„ является дискретным белым шумом с дисперсией, определяемой (!1.53). С учетом проведенных преобразований исходная схема (рис. ! 1.43), содержащая элементы временной дискретизации с различными периодамн коммутации, сводится к дискретной системе (рис.
11.45) с одним импульсным элементом, замыкающимся с периодом Тп. Дальнейший анализ этой схемы может быть выполнен методами, описанными в гл. 10. В частности, для определения установившегося значения динамической составляющей ошибки /Згэ! ' слежения х„„„при задающем воздействии гр,(1) =а~1 а (тигг г 1 н дисперсии о' флюктуаци- тг анной составляющей ошибки можно воспользоваться ре- ° ™ ~ зультатами, полученными в примерах 10.4 н 10.6. Производя в (10.69), (10.91) вытекающие пз сопоставления схем, показанных на рис. 10.15 и 11.45, замены Т на Т„, Яд на (/с/г,зг, й„ на 2яЛ/, о', на о', и учитывая. что при малом отношении сигнал-шум /г!з=2/)/2ц ой, получаем хдтст(йТн) =а /2)Г2ягЛ/(/с/оз, 1 — )г2и Тн г Ь/ (/с/ог 1 — е 257 Величины хдугг и ог в РассмотРенной цифРовой следЯщей системе зависят, как видно из (11.55), от соотношения сигнал-шум, периода временной дискретизации Т„, шага квантования по частоте ?з1 и величины г.
11.7. Синтез оптимальных фильтров цифровых следящих систем Синтез оптимальных цифровых фильтров, обеспечивающих в линеаризованной цифровой следящей системе наибольшую точность слежения прц действии флюктуационных помех, можно провести методами теории оптимальной линейной фильтрации дискретных процессов. В этой теории, как и в теории оптимальной линейной фильтрации непрерывных процессов, сушествуют различные подходы. Приведем здесь основные соотношения, используе~мне при синтезе оптимальных линейных дискретных фильтров методом пространства состояний.
Последовательность дискретных по времени значений задагошего воздействия 1(й) =Х(йТ), где Т вЂ” период дискретизации, й=О, 1, 2,..., отображается в пространстве состояний векторной последовательностью х(/г), связано с Х(й) матрицей сг. 1(й) =скх(й). (11.56) Изменение вектора х(й) во времени описывается векторным разностным уравнением х(й)= Фх(й — 1)+Г,,(й — 1), (11.57) где кл(й) — вектор дискретных белых шумов с нулевыми средними значениями и ковариационной матрицей (матрицей дисперсий), равной 0~, .Ф, à — матрицы. Для того чтобы воздействие Х(1), являющееся непрерывным случайным процессом, представить в виде (11.56), (11.5?), его можно описать сначала по методике, изложенной в гл.
8, векторным дифференциальным уравнением (8.68) и равенством Х(1) = =скх(1). Полученное дифференциальное уравнение преобразуется затем каким-либо методом, например методом Зйлера 128), в разностное уравнение (11,57). Наблюдаемый векторный процесс г(й) =г(йТ) на входе системы фильтрации записывается в виде г(й) =-Сх(й)+ч(й), (11.58) ,где ч(й) — вектор дискретных белых шумов наблюдения с ковариационной матрицей К,; С вЂ” матрица. Оптимальный дискретный фильтр описывается при этом [45) следующим и ур а вне пнями: х,(й)=Фх,(й — 1)+К,(й)(г(й) — СФхо(й — 1)), (11.59) Ко(й)=М(й)Ст (СМ(й)Ст +٠— г (1160) М (й) = Ф Р (й — 1) ФУ + Г (з ГУ (11.61) Р (й) = (1 — К (й) С) М (й). (11.62) 268 Здесь хо(й) — вектор оптимальных оценок; Р()т) — матрица дисперснй ошибок фильтрации; М(й) — матрица дисперсий ошибок экстраполяции значений вектора х на й-м шаге по результатам (г — 1 наблюдений; К,(й) — матрица переменных коэффициентов; 1 — единичная матрица.
При уменьшении шага Т временной дискретизации уравнения (11.59) — (11.62) переходят в (8.72), (8.73), (8.75) оптимальной фильтрации непрерывных процессов. При этом связь между входящими в них матрицами определяется следующими соотношениями: Г=Нгп(Ф вЂ” 1)/Т, Н=1(тГ(Т, Я=с),Т, К=К,Т. т-а т-о Отметим, что уравнения оптимальной дискретной фильтрации для более общего случая, когда матрицы Ф, Г зависят от времени, а шумы т(й) являются коррелированными, приведены в 1451. Процедура синтеза оптимальных дискретных фильтров в контуре цифровой следящей системы с использованием описанных обзппх уравнений оптимальной дяскретпой фильтрации зависит от структуры цифровой системы и, в частности, от наличия или отсутствия в ней непрерывной части.
Как и в непрерывном случае, дискриминатор и его характеристики при синтезе фильтра считаются заданными. Пример 11.2. Проиллюстрируем методику синтеза оптималыюго фильтра па примере цифровой системы слежения за временным потожением импульсного сигнала, структурная схема которой показана на рис. 1!.37. Положим, что изменение временной задержки тч(Г) описывается дифференциальным уравнением г(таус(1 =- тс)ТФ + х (П/ТФ, (11.63) где Та — постоянная времени, определяющая ширину спектра процесса т,(1); х(1) — формирующий белый шум со спектральной плотностью Я (О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
