Первачев С.В. Радиоавтоматика (1982) (1095886), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Типичной для цифровых следящих систем является нелинейность Я (и), связанная с квантовапием процессов по уровню, проводимым в АЦП пли цифровых дискриминаторах. Форма этой характеристики показана на рис. 11.2. При большом числе уровней квантования характеристику Я(и) можно приближенно заменить линейкой и запцсать в виде 1з (и) = /г, и, (11.36) где й~=1/Л(/; Л(/ — шаг кваитовапия.
Отличие истинной характеристики Я(и) от линейиой (11.36) мо>кио оцепить величиной е, равной разности преобразуемого напряжения и и значения ближайшего квантованиого уровня и„,=пЛ(/, т. е. величиной а=и †„, которая зависит от преобразуемого напряжения и и шага квантования. При изменении преобразуемого напряжения и во времени величина е также изменяется. Последовательность значений е(яТ),определенных в моменты выполнеши аналого-цифрового преобразования, образует дискретный по времени процесс, который называют шумом квантования. При большом числе уровней квантования и переменном напрягкенпи и шум е(йТ) приближенно считают дискретным белым шумом. Одномерный закон распределения процесса е(/гТ) прп указанных условиях равномерный в пределах от — Л(//2 до ЛУ/2.
Поэтому дисперсия этого процесса равна Л(/'/12. При введении шума квантования нелинейный эквивалент АЦП заменяется линейным, показанным на рис. 11.38. Аналогичным образом прп большом числе уровией квантования линеаризуются характеристики, описывающие аналого-цифровое преобразоваиие, происходящее в цифровых дискриминаторах. Лииеаризация характеристики Я(и) квантования при малом числе уровней квантования. При малом числе уровней квантования замена нелинейной характеристики квантования 1/(и) линейной с введением дополнительного шума квантования становится слишком грубой.
Если в этом случае преобразуемый процесс и(/) является случайным, то для липеаризации характеристики Я(и) можно применить метод статистической линеаризации. Рассмотрим в качестве примера лниеаризацию статистического эквивалента (рис. 11.19) цифрового фазового детектора с релейной характеристикой Я(и), описываемой выражением (11.18). При малых величинах ошибки слежения можно положить з1пср=ф.
Поменяв, кроме того, местами дискретный элемент и нелинейный безынерционный элемент с характеристикой Я(и), представим рассматриваемый эквивалент в виде, изображенном на рис. 11.39. Использовав метод статистической лииеаризации, заменим нелинейный элемент с характеристикой Я(и) линейным эквивалептом с коэффициентами передачи йа и йм для математического ожидания процесса и(/) и его центрированиой случайной составляющей 260 соответственно. Как следует из (7.56), (7.57), величины /гс и Ам равны: 2Ф (ти/аи) 2 / тии ~ /со = /г„= ехр( — —," 1. ти ' ~/2п аи ~ 2аии ) Из ~ис. 11.39 видно, что дисперсия а' процесса и(/) равна а-'„= =а с+(l'са'и=ась(!+асс(/'с/ас1), где а'ы а'и — дисперсии процессов 6(/) и <р(/), а отношение гп„/а =,Усгп„/а„. При малых отношениях снгпал-шум на входе фазового детектора выполняется неравенство Ус/ас «1. При этом а' =а~а, гп„/а„<<1 и й,=Ам= =2/ Р' 2п ас. Линейный статистический эквивалент рассматриваемого цифрового фазового детектора приобретает в этом случае вид, изображенный на рис.
! 1.4О. т/ Рис. П.40 Рис. П.З2 Описанный подход может быть применен для линеаризации нелинейных характеристик ЛЦП, входящих в состав и других цифровых систем и их элементов, например в состав цифрового фазового детектора с преобразованием квадратурных компонент входного сигнала (рис.
11.16). Анализ линсаризованных цифровых следящих систем. В результате линеаризации цифровые системы преобразуются в линейные дискретные системы. На рис. 11.41 в качестве примера показана структурная схема цифровой следящей системы, полученная путем сдп Рис, Пб4Г замены в схеме на рис. 11.5 нелинейного эквивалента АЦП линейным, изображенным на рис. 11.38. Задачей фильтра Ф, включенного в системе (рис. 11.1) между дискриминатором и ЛЦП и имеющего коэффициент передачи Кф(р), является сглаживание флюктуацнонного напряжения 6(/), действующего на выходе дискриминатора. Часто инерционность этого фильтра мала, и процесс х(/) проходит через него без искажений. Поэтому в процессе преобразования схемы, изображенной на рис.
!1.5, к виду, показанному на рис. 11.41, звено с коэф~фнциснтом передачи Кф(р) опущено. Одновременно шум 6(/) заменен флюктуацнонным напряжением $1(/), равным $1 (/) =Кф(р) 6(/). 261 где Кр(г) — передаточная функцця разомкнутой дискретной следящей системы. Заметим, что в контуре регулирования реальных цпфровых систем всегда имеет место некоторое временное запаздывание, связанное с конечным временем выполнения вычислительных операций, проведением аналого-цифрового преобразования и с другими факторами, Это запаздывание прп определенип коэффициента передачи К~,.(г) по формуле (11.41) можно не учитывать, если оно мало по сравнению с запаздыванием, вносимым другими элемснтамн системы: цифровым фильтром, приведенной непрерывной частью. Указанное условие выполняется, в частности, если в выражении для передаточной функции разомкнутой системы К„(г) знаменатель является степенным полипомом относительно переменной г, порядок которого на единицу превышает порядок полипома в числителе.
Это требование аналогично условно справедливостп формулы (10.31) для дискретных систем, рассмотренных в гл. 10. Лналогнчно (11.41) могут быть получены иные передаточные функции, например Кхр(г), Кз,,(г) для системы, изображенной на рис. 11.41, а также передаточные функции других лннеарнзованных цифровых следящих систем. Если в цифровой следящей системе отсутствует непрерывная (аналоговая) часть, то формула для передаточной функции такой системы упрощается. Так, для системы, показанной на рис. 11.37, передаточная функция К„„(г), найденная прн замене нелинейной функции Я(т) линейной зависимостью гт, равна К,,(г) = й К,ф (г)7(1+ К,4 (гИ, (11.42) где К„ф (г) = К (с) ~ Используя выражения для передаточной функции, можно найти, как следует из гт.
1О, и другие описания дискретной системы: комплексный коэффициент передачи, разностное уравнение. Знание этих характеристик позволяет проанализировать устойчивость линеаризованной цмфровой системы и ее поведение при детерминированных и случайных воздействиях. Для этой цели могут быль использованы соотношения и методы, изложенные в гл.
1О. Если частота временной дискретизации превышает полосу пропускания линеарнзованной цифровой следящей системы, то такую систему, как и дискретные системы, рассмотренные в гл. 10, можно заменить прн анализе эквивалентной непрерывной системой. Комплексный коэффициент передачи К,(/ы) эквивалентной непрерывной системы при высокой частоте дискретизации определяется по К(г) с помощью соотношения К» (1 ы) . К (г) )*= р'г=ьшрг ' (11.43) Это выражение справедливо как для замкнутых, так н для разомкнутых дискретных систем. Опо вытекает из соотношений (10.71), (10.46) и условия узкополосности системы по отношеншо к частоте 263 временной дискретизации Р=1/Т, при выпотнении которого для всех частот ы, лежащих в пределах полосы пропускания системы, произведение гаТ<~ 1.
Воздействия на входах дискретной системы прн переходе к эквивалентной непрерывной системе должны, как показано в гл. 10, заменяться эквивалентными. Если воздействие и(() является случайным процессом со спектратьной плотностью 5(в), то спектральная плотность 5 (а) эквивалентного воздействия иа (1) определяется выражением (10.72). Проиллюстрируем переход к эквивалентной непрерывной системе на примере системы, изображенной па рис. 11.41. Положим, что К„,(р) =/22/р, а цифровой фильтр выполнен в виде параллельного соединения дискретного интегратора с операторным коэффициентом передачи К(с) =1/(1 — с) и безынерционного звена с коэффициентом передачи йм Прн этом результирующий операторный коэффпциснт передачи цифрового фильтра равен К„ф(с) =/2,+ +1/(1 — с) = (/22+ ! /г,с)/(1 — с), а передаточная функция цифрового фильтра К (2) ==К (с)~ — ( '+ ! ' (1! 44) 2 — 1 2.-преобразование приведенной непрерывной части рассматриваемой системы, согтасно (!0.36), равно 2 — ! ( а„пи, ! 2„тд17, 2 ( 22 / 2 — 1 (11.48) При высокой частоте дискретизации для перехода к эквивалентной непрерывной,системе заменим в (11.44), (11.48) переменную я на 1+/гэТ.
Тогда 1 + ! м Т (1 + Аь! К ) А~ Л У2 ( 1 1 48) Обсудим теперь замену воздействий ),(1), $~(!), е(йТ) на входах дискретной системы (рис. 11.41) эквивалентными воздействиями Хв (1), ~~2 (1), е (1) в непрерывной системе. Если процесс Х(1) мало изменяется за время Т, то, как отмечалось в гл. 1О, Ха (1) = =Х(1). Дискретный белый шум квантования е(/2Т) с дисперсией о22 при переходе к эквивалентной непрерывной системе заменяется эквивалентным непрерывным процессом ед(1) со спектральной плотностью 52(0), которая, согласно (10.74), (10.87), равна 5„(О)=о2 т. (11,47) Флюктуационное напряжение Ц~ (1) имеет, как правило, ширину спектра, значительно превышающую полосу пропускания следящей системы.
Поэтому заменяющее его в эквивалентной непрерывной системе воздействие ~~а (1) можно считать белым шумом со спектральной плотностью 52 (0). Из соотношений (10.74), (10.78) следует, что величина 52 (0) выражается через корреляционную функцию /7~(т) воздействия $~(!) равенством 264 5„,(0) = Т ч; К„(йт). (11.48) — 2 Если процесс ~~(() нмеет корреляционную функцию Я~(т) = =о ~ехр( — (х)т)), то, подставив это выражение в (11.48), получнм 1'ех( — Т (11.49) 1 — ехр( — рТ) В результате описанных преобразованнй лннеарнзованная цифровая система (рнс. !!.41) за~меняется эквивалентной непрерывной системой (рнс.
11.42). Спектральные плотностп шумов ех (() и $,х (1) в ней описываются выраженцями (!1.47), (11.48), Рис. 11,42 Соотношення (11.48) и (11.49) позволяют также выяснить, как действие шума ~~(() в цифровой системе завысит от частоты временной днскретизацнн. При высокой частоте дискретизации, когда Т- О, величина 51х (О), как вытекает нз (11.49), совпадает со спектральной плотностью 5~(0) шума 1~(1): 51 (О) =5,(0) =2ое,!)е.
Прн увелпченнн периода Т велнчнна 5;х (О) возрастает, что приводят к повышению дисперсии ошнбок слежения в системе. Возрастание спектральной плотности 51х (О), вызванное недостаточно высокой частотой временной дискретизации, можно оценить велнчиной к=5!э(0)(5~(0). Величина к, как счедует нз (11.49), равна 81 (О) рТ 1+ ехр( — )хТ) к— 5, (О) 2 1 — ехр( — рТ) (11.50) Соотношенпе (1!.50) показывает, что увелпчение спектральной плотности шума ~~ х (() при недостаточно высокой частоте временной дискретизации Р=1!Т зависят от соотношения между этой частотой н шириной спектра процесса $~(1), определяемой параметром )х. Прн )хТ О величина к-+-1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
