Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. Под ред. А.А.Абрамова (1986) (1095855), страница 42
Текст из файла (страница 42)
(5.4.26) Значения р/(хг) определяются формулами (5.4.10) и иэ табл. 5.1 как р~(х~) = 4В~(х,) — Ве(х,) = 15/4, р~(х1) = 1, ! = 2,..., и — 1, ~р„(х„) = 4В»(х») — В»+1(х») = 15/4, Ф1 (хг ) — 4В~ (хг ) — Ве (хг ) = 1, Д г(хг)=1/4, ь'= З,...,и, А+г (хг) = 1/4, ! = 1,..., п 2 р»(х»,) = 4В» (х„г) — В„+, (х»,) = 1 и Фу(х1) = 0 в остальных случаях. Подставляя приходим к системе уравнений — Ас+~+ Н(с) ь— з Г(с) = О, эти значения у/(хт) в (5.4.26), (5.4.27) 174 уже использовав шейся в разделе 4.4. Сначала мы рассмотрим это уравнение без нелинейного члена 10 и', т.е. мы рассмотрим линейное уравнение и"(х) — Зи(х)=хг, 0<,х< 1, о(0)=и(1)=0, (5.4.23) являкицееся частным случаем (5.4.!) при р(х) = !, д (х) ь— з — 3 и /(х) = х .
В качестве базисных функций р~, ..., р„в (5.4.3) мы выберем кубические сплайны (5.4.10) с узлами х~=!Н (!= 1, ..., п, Н = !/(и+ 1)). Эти сплайны определяются через В-сплайнь~ (5,4.8) . Тогда, вычисляя по формулам (5.4.11) и (5.4.12) элементы аа матрицы коэффициентов А системы (5.4.4), получим 54+ 45Нг 6+ ЗНг (5.4.24) -24+ 12Н' 12 + 12Н' — 6 + ЗН' где (15с1 + сг)з (4ст +4сг +сз) (сг +4сз +с4) 10 Н(с) =— 64 (Сл- 3 + 4Сл-2 + Сл 1)' (Сл-2 + 4Сл — 1 + 4Сл) (сл-т +15сл) а А и /' определены в (5.4.24) и (5.4.25).
Систему (5.4.27) мы будем решать методом Ньютона. Матрица Якоби этой системы есть Г'(с) = — А+Н'(с), где две первые и две последние строки Н'(с) без множителя 15/32 имеют вид 15(15ст +сг) (15ст +сг) 0 0.... 0 4(4с, +4сг +сз)г 4(4сз +4сг +сз)г (4с1+4сг +сз)г 0 0 0 ... 0 (сл 2+4сл 1+4сл) 4(сл — 2+4сл — 1+4сл)' 4(сл 2 +4сл 1 +4сл) 0 ... 0 (сл 1+15сл)г 15(сл 1+15сл), а остальные строки (/= 3,..., и — 2), также без множителя 15/32, имеют вид 0... 0 (с1 1+4ст+с(+1)г 4(с; 1+4ст+ст+1)г (с; +4с;+с;~1)г О... О. Отметим, что матрицы Н'(с) и — А являются трехдиагональными и диагонально доминирующими по столбцам. Поэтому возникающие при применении метода Ньютона линейные системы Г'(с")с~+' =Г'(с ) с" — Г(с") Таблица 52 Решение уравнении (5.4.22) по методу коллокации с помощью кубических сила»- нов (Ь = 0,01) х и (х) х и (х) х и (х) -0,0229 — 0,02 78 — 0,0306 0,7 — 0,0307 )),8 — 0,0268 0,9 — 0,0172 — 0,0059 — 0,0116 — 0,0176 0,4 0,5 0,6 0,1 0,2 0,3 175 можно решать, используя алгоритм гауссова исключения без перестановок.
В табл. 5.2 приведены результаты расчетов при Л = 0,01 (и = 99). Видно, что вычисленное решение совпадает с точностью до нескольких единиц последнего показанного в таблице разряда с решением, которое было получено в гл. 3 по методу конечных разностей (см. табл.
4.3) . Сравним теперь три рассмотренных нами метода решения двухточечных краевых задач: метод конечных разностей, метод коллокации и метод Галеркина. Метод конечных разностей идейно прост, легко реализуем и, как было показано в гл. 3, при использовании центральных разностей дает второй порядок точности. Метод коллокации с кубическими сплайнами несколько более труден для реализации, но все же его можно считать относительно простым. В методе же Галеркина приходится вычислять интегралы (5.4.19) и (5.4.21), что в обшем случае требует использования схем численного интегрирования или систем символьных вычислений.
Во всех трех случаях система линейных уравнений, к которой сводится решение задачи, имеет трехдиагональную матрицу коэффициентов (при указанных выше системах базисных функций). Для всех трех случаев имеются варианты с более высокой точностью, которые, естественно, оказываются более сложными. Пожалуй, правильно будет сказать, что для обыкновенных дифференциальных уравнений простота конечно-разностных методов делает их в большинстве случаев предпочтительными. Действительная мощь метода Галеркина становится более очевидной в случае уравнений в частных производных.
Дополнительные замечания и ссылки 5.4 Для дальнейшего изучения тематики этого раздела можно рекомендовать книги [16, 591. В них также имеется доказательство теоремы 5.4.1. Подробное рассмотрение метода Галеркнна можно найти также в книге 176]. При использовании метода коллокации и метода Галеркина за счет специального выбора узловых точек х,,..., хл можно добиться значительного увеличения порядка точности этих методов. УПРАЖНЕНИЯ 5, 4 5.4.1. Покажите, что функция, определенная формулой (5.4.8), является кубическим сплайном и удовлетворяет условиям (5.4.6) и (5.4.7) . 5.4.2. Покажите, что значения функций В;, В' н В',-' в точках х~ 1, х, х,.+ такие, как указано в табл. 5.1. 5.4.3.
Рассмотрите двухточечную краевую задачу (1+ х') с"'+ 2хс'+ е = х', е(0) = = О, е(1) = О, а) Пусть Л = 1/4. Вычислите коэффициенты а; по формулам (5.4.11) н (5.4.12) и выпишите полную систему линейных уравнений (5.4.4) . Проверьте, будет ли матрица коэффициентов симметричной и диагонально доминирующей. Решите систему и представьте приближенное решение в форме (5.4.3) с базисными функциями, задаваемыми формулами (5.4.10) . 6) Повторите задание пункта а для метода Галеркина с базисны ми функциями (5.4.15) . 5.4.4, Пусть |'(х) — кусочно-линейная функция с узлами хг = (И П = О, 1,..., и+ 1, Ь = (л+ 1) '),обращающаяся в нуль в х, и хи+1.
Покажите, что сущесшуют константы а,,..., аитакие, что 1(х) = 2' а1у((х), где распределены в (5.4.15). !=1 5.4.5. Проведя намеченные в тексте вычисления, найдите решение краевой задачи (5.4.22) методом коллокации и проверьте результаты, приведенные в табл. 5.2.
Проделайте эти вычисления также при л 0,1 и Ь = 0,02. Какова, по вашему мнению, ошибка дискретизации полученногэ решения? Выполните это задание снова, используя метод Галеркина с кусочно-линейными базисными функциями. 1'лава б гг ВАЖНЫХ ЧИСЕЛ: ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 6.1. Примеры задач на собственные значения и необходимые математические сведения у(т) =е 'х, 12. Дж. Ортега (6.1 А) 177 В этой главе мы остановимся на вопросах численного решения задач на собственные значения.
Такие задачи часто возникают в физике, технике, химии, экономике, демографии и других областях. В этом разделе мы рас- смотрим несколько примеров таких задач, классифицируем различные типы задач на собственные значения и приведем некоторые математичес- кие сведения, которые дополняют результаты, данные в приложении 3. Под стандартной матричной проблемой собственных значений мы пони- маем задачу отыскания комплексных (вещественных или невещественных) чисел Л,, Лт,..., Л„и соответствующих ненулевых векторов х,,...,х„, удовлетворяющих уравнению Ах= Хх, (6.1.1) где А — заданная комплексная (вещественная или невещественная) мат- рица размера и Х и. Как сказано в приложении 3, решения Л,,..., Л„урав- нения (6.1.1) являются корнями характеристического уравнения Нет (А— — Л1) = О. Левая часть этого уравнения есть полипом степени и по Л, и, следовательно, характеристическое уравнение имеет ровно и корней с уче- том их кратности.
Если собственное значение Л;найдено,тосоответствую- щий собственный вектор можно, в принципе, определить как решение однородной системы уравнений (А — Л/) х =-О. (6.1.2) Подчеркнем, что если даже матрица А вещественна, ее собственные значе- ния (все или некоторые), а следовательно, и собственные векторы, могут быть невещественными. Приведенная математическая схема — составить характеристический полипом, найти его корни и решить однородную систему (6.1.2) — за исключением самых тривиальных случаев непригодна в качестве вычис- лительной процедуры для решения практических задач.
Основная цель этой главы состоит в изложении других "жизнеспособных" численных методов. Как первый пример возникновения задачи на собственные значения рас- смотрим систему и обыкновенных дифференциальных уравнений — =Ау, сну (6.1 3) дт где А — заданная постоянная матрица размера и Х и. Будем искать решение (6.1.3) в виде где х — некоторый ненулевой постоянный вектор, а Л вЂ” некоторый параметр. Чтобы вектор-функция (6.1.4) удовлетворяла системе (6.1.3), должно выполняться соотношение хт х — =.
Лехах = А(с~~х) ~Й или, так как ех' всегда отлично от нуля и х Ф О, то Ах= Лх. Таким образом, (6.1.4) будет решением (6.1.3) в том и только том случае, если Л вЂ” собственное значение, а х — соответствующий собственный вектор матрицы А . Важный класс матриц образуют такие матрицы, которые имеют п линейно независимых собственных векторов (определение линейной независимости смотрите.в теореме А. 3.1 приложения 3). Пусть матрица А принадлежит этому классу и пусть Л~, ..., Л„и хг, ..., х„— собственные значения и соответствующие собственные векторы этой матрицы.
Тогда функции у1(г) = е 1 хг, уг(г) =е г хг ° - у (е) = е"и хи (6.1.5) образуют полный набор линейно независимых решений дифференциального уравнения (6.1,3), и любое решение (6.1.3) может быть представлено при соответствующем выборе постоянных с1,..., с„в виде и и у(г) = Х с;у(г) = 2' с;е 'х;. (6.1.6) г=1 ~=1 Таким образом, общее решение уравнения (б 1.3) может быть найдено в результате решения проблемы собственных значений для матрицы А. В. случае, когда матрица А не имеет и линейно независимых собственных векторов, может быть получено сходное, но более сложное представление ' решения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
