Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. Под ред. А.А.Абрамова (1986) (1095855), страница 39

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 39)

В формуле прямоугольников функция ~ аппроксимируется своим значением в точке а (или в точке Ь), т.е. 1(~) = Я (~) = (Ь вЂ” аШа), (5.3.1) Мы могли бы аппроксимировать функцию 1' и другой константой, полу- (5.3.4) интеграла от 1', определяется по формуле (Ь -а) Ц/') = Т9') = Яа) +/"(Ь)] . (5 З.З) г Эта формула известна как формула трапеций. Приведем еще одну формулу, которая получается в результате аппрокси- мации функции / квадратичным ннтерполяционным полиномом, который совпадает с /' в крайних точках а и Ь и средней точке (а + Ь) /2. Интеграл от этого квадратичного полинома выражается формулой (см.

упражне- ние 5.3.1) (Ь вЂ” а) Г /а+Ь 1 1(~) Я(/')= ~Да)+4/'~ — )+~(Ь) б 2 которая называется формулой Симясоиа, Эта формула проиллюстрирована на рис. 5.3. Отметим, что формулу Симпсона можно также рассматривать как линейную комбинацию формулы трапеций и формулы средней точки с коэффициентами 1/3 и 2/3 соответственно: — Да) + 4/' — + Д(Ь) = — + — /' Можем продолжить зту процедуру построения квадратурных формул, используя полиномы все более высоких степеней. Внутри отрезка [а, Ь] берем и точек, делящих его на т + 1 равных отрезков, и строим интерпо- ляционный полином, который совпадает с /' в этих т точках и на концах отрезка.

Интегрируя затем этот полином от а до Ь, мы получим приближен- ную формулу для вычисления интеграла. Такие квадратурные формулы называются формулами Ньютона — Когеса. (См, дополнительные замечания в конце раздела.) Теперь займемся оценкой погрешности, возникающей при использовании только что описанных квадратурных формул. Во всех случаях функция ,/(х) аппроксимируется на отрезке [а, Ь] интерполяционным полиномом ь р(х) и в качестве приближенного значения интеграла берется ) р(х)Нх. а Следовательно, допускаемая при этом ошибка есть просто ь Е = Г [Дх) — р(х)]с/х.

(5.3.5) л Основная теорема об ошибке интерполяции (теорема 2.3.2) позволяет представить (5.3.5) в виде 1 ь Е= )'(х — хе)... (х — хл)~1"+'1(г(х))сКх, (5.3.6) (и+ 1)! а где хо. х~,..., х„— узлы интерполяции, а г(х) — точка отрезка [а Ь], зависящая от х. Теперь применим формулу (5.3.6) к конкретным интере- сующим нас случаям. В формуле прямоугольников (5.3.1) имеем л = О и хе = а, так что (5.3.6) принимает вид ь ь М, ~ Ел 1= 1Дх — а)У (г(х)) с/х ! КМ~ Дх — а)4х = — (Ь вЂ” а)', (5.3.7) а а 2 162 где М~ = шах !,г" (х) 1. Эта оценка не изменится„если в формуле прямо- а <х<Ь угольников вместо точки а будет использован другой конец отрезка Ь.

Подчеркнем, что ошибка будет малой только в том случае, если либо будет мала величина М~, что соответствует близости функции / к константе, либо будет мала длина самого отрезка. Мы вернемся к этому вопросу несколько позже, когда будем обсуждать практическое использование квадратурных формул. В случае формулы трапеций (5.3.3) мы имеем и = 1, ха = а и х~ = Ь, так что из (5.3.6) полу ием 1 ь Мг 1Ет ! = — ! Дх — а) (х — Ь)/ "(г(х)) йх ~ < — (Ь вЂ” а)э, (5.3.8) 2 а 12 где Мг = шах 1,/'а(х) 1.

а<х<Ь Рассмотрим теперь формулу средней точки (5.3.2), в которой л = 0 и ха = (а + Ь) /2. Если мы здесь применим формулу (5.3,6) и будем действовать, как в (5.3.7), то придем к оценке ь (а+Ь) 1 1' ~» — ~ У'(г(»))с~х Мм1 = <М~ 1 х — И»<М,(Ь вЂ” а)(Ь+а). (а+ Ь) (5.3.9) а 2 Эта оценка, однако, нас не устраивает, так как содержит только первую степень (Ь вЂ” а). Чтобы получить нужную оценку, мы разложим подьжтегралъную функцию в (5.3.5) в ряд Тейлора в окрестности точки т = = (а + Ь) /2.

Так как в данном случае интерполяцнонный полипом является просто константой, р(х) =Дт), мы имеем д») — р(х) = ~ (т) (х — т) + — ~' (г (х)) (х — т)г, 2 где г — зависящая от х точка внутри отрезка [а, Ь1. Подставляя это разложение в (5.3.5), получаем следующую оценку погрешности формулы средней точки: ЧЕм! = ! )'~(х) — р(х)~Ы»1= а ь 1 ь г 3 ./'(т) ) (х — т) дх + — Ца(г(х)) (х — т)г сК» < — (Ь вЂ” а)'. а 2 а 24 (5.3.10) Мы здесь использовали, что (Ь вЂ” а) У(х — т)<И=О /(» т)гН» а а 12 ,Аналогичным образом мы могли бы вывестиоцеикупогрепшостиформулы 11* 163 Симпоона, которую здесь приводим без доказательства (М вЂ” оценка модуля четвертой производной): М~ 1Е,!~ — (Ь а) . 2880 (5.3.11) Во все полученные нами оценки ошибок входят степени длины отрезка [а, Ь].

Если эта длина не будет малой, то, вообще говоря, не будут малыми и эти оценки. Однако на практике мы будем применять наши квадратурные формулы только на достаточно малых отрезках, получаемых в результате разбиения данного отрезка [а, Ь] . Итак, пусть мы разбили отрезок [а, Ь] на л частей [х~,, х~] (~' = 1,..., л), где хь = а и х„= Ь. Тогда ь н х; 1(1') =) Дх)дх = Х [' 1"(х)сХх, а 1=! х~ Если мы теперь к каждому отрезку [х~ т,х, ] применим формулу прямоугольников, то получим составную формулу лрямочгольников н 1(У)=1скЧ)= Х Ь,1(х, 1), (5.3.12) э=1 где Ь; = х; — х~ ~, Точно так же, применяя к каждой части отрезка соответствующую основную формулу, мы получим составные формулы средней точки, трапеций и Симлсона: 1 х~+х~ 1смУ)= ~ Ь~~~ с=~ (, 2 (5.3.13) (составиая формула средней точки), и 1стЖ = 2: У(хс — ~)+ЛхЛ ю'=1 2 (5.3.14) (составная формула трапеций), и 1х~, +х~ ~ 1св(У')= — Х Ь!~Ях; т)+41~ ~+Дх;) 6 г=~ 2 (5.3.15) (составная формула Симпсона) .

Отметим, что все этн составные формулы можно рассматривать как результат аппроксимации подыитегральной функции 1 на отрезке [а, Ь] кусочным полиномом и последующего интегрирования этого кусочного полинома. Для формулы прямоугольников и формулы средней точки аппроксимирующая функция будет кусочно-постоянной, для формулы трапеций — кусочно-линейной и для формулы Симпсона — кусочно-квадратичной. Теперь мы можем воспользоваться полученными выше оценками ошибки иа каждой части [а, Ь]. Так, например, для формулы прямоугольников, используя (5.3.7), мы получаем следующую оценку ошибки составнои формулы: М1 н Есл< 2; Ь,', (5.3.16) 2 ~=1 Здесь в качестве М1 мы иаюлъзовали максимум 1~" (х)! на всем отрезке 1е, Ь].

Разумеется, более точная оценка получилась бы при использовании максимумов ! ~ (х) ~ отделъно на каждой части отрезка 1а, Ь]. В том случае, когда все части 1а, Ь] имеют одинаковую длину, Ь~ = Ь = = (Ь вЂ” а)!н, (5.3.16) принимает вид М, Еск ч (Ь вЂ” а)Ь 2 (5.3.17) (ошибка составной формулы прямоугольников), откуда следует, что составная формула прямоугольников является мето- дом первого порядка, т.е.

ошибка убывает только линейно по Ь. Аналогич- но, используя (5.3.8), (5.3.10) и (5.3.11), можно получить оценки ошибок других составнъгх формул. Ниже приводятся эти оценки для случая, когда все части разбиения отрезка имеют одинаковую длину Ь: Есьг < — (Ь вЂ” а) Ь г 24 (5.3.18) (5.3.20) Лополнительные замечания и ссылки 5.3 Решение задачи Коши у'(х) =йх), у(а) = О, а <х <Ь, (5.3.21) ь при х = Ь есть просто у(Ь) = 1 ~ (х) Ых. Следовательно, интегрирование можно рассмат- а 165 (ошибка составной формулы средней точки), Мг Е К вЂ” (Ь вЂ” а) Ьг (5.3,19) (ошибка составной формулы трапеций), Ме Есг ~ (Ь вЂ” и) "~ 2880 (ошибка составной формулы Симпсона) .

Таким образом, составные формулы средней точки и трапеций имеют вто- рой порядок, в то время как составная формула Симпсона имеет четвертый порядок. В силу своей сравнительно высокой точности и простоты состав- ная формула Симпсона особенно часто используется в качестве метода чис- ленного интегрирования. При использовании квадратурных формул мы встречаемся с той же труд- ностью, с которой мы уже несколько раз сталкивались при построении дру- гих численных аппроксимаций. Речь идет о необходимости правильного выбора величины шага Ь1.

Если бы схемы численного интегрирования ис- пользовались так, как только что описано, пользователь был бы должен задавать шаг Ь. априори. Употребляемые при решении практических задач хорошие пакеты программ численного интегрирования обычно включают некоторые автоматически адаптирующиеся схемы, которые изменяют величину шага в зависимости от оценки погрешности, получаемой в ходе вычислений.

От пользователя требуется только указать допустимую вели- чину ошибки, а программа сама подберет необходимый шаг интегри- рования. ривать как тривиальный частный случай решения задачи Коши, когда правая часть не зависит от у. Для решения задачи (5.3.21) можно, в принципе, использовать любой из методов гл. 2. Фактически большинство из этих методов сводится к уже рассмотренным нами квадратурным формулам. Так, например, метод Эйлера — это просто составная формула прямоугольников, метод Рунге — Кути второго порядка — составная формула трапеций, метод Рунге — Кугга четвертого порядка — составная формула Симпсона. Формулы Нъютона — Котеса, упомянутые в основном тексте как получающиеся интегрированием интерполяционного полинома степени и, могут быть записаны в виде Щ) ш 2: а;~(х)), (5.3.22) (=О где х; — узлы равномерной сетки на отрезке (а, Ь), причем х, = а, х„= Ь.

Правило Симпсона — это случай л = 2. При и < 7 все коэффициенты а; в (5.3.22) положитель. ны, но, начиная с л = 8, некоторые коэффициенты становятся отрицательными, что приводит к потере верных знаков в результате ошибок округления. Формулы Нъютона — Котеса имеют и существенный теоретический недостаток, состоящий в том, что даже для бесконечно дифференцируемых функций может не быль сходимости при и ° к величине интеграла. Представление (5.3.22) позволяет осуществить другой подход к выводу квадратурных формул — метод неопределенных коэффициентов. Предположим сначала, что все узлы х; заданы. Будем выбирать коэффициенты а; так, чтобы формула (5.3.22) оказалась точной для полиномов возможно более высокой степени.

Характеристики

Список файлов книги