Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. Под ред. А.А.Абрамова (1986) (1095855), страница 40

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 40)

Тогда, в частности, она должна быль точной для полиномов 1, х, х'...., х, где ш мы стремимся сделать как можно болъшим. Это означает, что должны выполнятъся соотношения 7 Ь' — а) Х а(х;= —, /=0,1,...,лк (5.3.23) )=О 1+ 1 (Правые части этих соотношений есть просто точные значения интегралов от степеней х.) Соотношения (5.3.23) образуют систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов а;. При т = л матрица системы есть просто матрица Вандсрмонда, уже встречавшаяся в разделе 2.3. Если все точки х) различны, то эта матрица невырождена, и, следовательно, при гл = и коэффициенты а; определяются единственным образом. Если точки х; равноудалены друг от друга, то этот подход опять приводит к формулам Ньютона — Котеса.

Предположим теперь, что мы не задаем точки х; заранее, а также рассматриваем их в (5.3.23) как неизвестные. Тогда, если в1 = 2п + 1, соотношения (5.3.23) представляют собой нелинейную систему 2п + 2 уравнений с 2л + 2 неизвестными а„а,,..., ал и и, х,, ' ., х„. Несмотря на нелинейность, эта система имеет решение. Подставляя соответствующие значения а; и х; в (5.3.22), приходим к квадрвтурным формулам Гаусса, Например, в случае л = 1 и отрезка «а, Ь1 = [-1, 11 формула Гаусса имеет вид / 7'(х) с(х - 7' — — + !' В общем случае абсциссы х; этих квадратурных формул являются корнями определенных ортогональных полиномов.

Основой популярности квадратурных формул Гаусса служит их высокий поряппк точности. В основном тексте мы упоминали, что формулу Симпсона можно рассматривать как линейную комбинацию формул трапеции и средней точки. Беря подходящие линейные комбинации формул трапеций прн различных шагах сетки 6, можно также получить квадратурныс формулы высокого порядка. Такие формулы называют квадрв.

турахш Ромберга. Вывод квадратур Ромберга основывается иа том, что, как можно показать, аппроксимация интеграла по составной формуле трапеций ТЯ) допускает разложение 7в)-1())+С Ьг +С Ьч + +С Ьзт+О~ЦРш+л) (5.3,24) где коэффициенты С( зависят только от функции / н отрезка интегрирования, но не зависят от Ь. Разложение (5.3.24) справедливо в предположении, что 7 имеет 2ш+ 2 производные. Определим теперь новую аппроксимацию интеграла формулой Т, (Ь) — 4 Т вЂ” — Т(А) (5.3.25) Коэффициенты этой линейной комбинации выбраны таким образом, чтобы при вычисленни с помощью (5.3.24) ошибки аппроксимации формулы (5.3.25) коэффициент при Ь' обращался в нуль.

Следовательно, Т,(Ь)=1И)+С(1)А'+...+0(И2 +2), так что Т, аппрокснмирует интеграл с четвертым порядком точности. Этот процесс можно продолжить, вводя новую аппроксимацию Т, как линейную комбинацию Т, (Ь) и Т, (Ь/2), разложение которой по степеням' А не будет содержать члена поряд. ка Ь". В общем случае мы можем построить треуголъный массив Т(Ь) Т(И!2) Т(Ь!4) Т, (Ь) т1 (Ь!2) Тъ (Ь) где ТАЯ!27 1)~ [47Ть 1(Ь/21) — Т» 1 (А!21 1)]Ц41 — 1].

УПРАЖНЕННН 5. 3 5.3Л. Выпишите явно квадратичный интерполяцнонный полипом, значения которого совпадают с )' в трех точках: а, Ь и (а+ Ь) /2. Проннтегрируйте этот квадратичный попиком от а до Ь и получите формулу Симпсона (5.3.4) . 5.3.2. Покажите, что формула трапеций точно интегрирует любую линейную функцию, а формула Симпсона точно интегрирует любой кубический полипом.

(Указллие: Разложите кубический полипом относительно средней точки отрезка.) 5.3.3. Примените формулы прямоугольников, средней точки, трапеций н Симпсона лля вычисления интеграла от функции 7 (х) = х' на отрезке [О, 1]. Сравните фактические ошибки аппроксимации с оценками (5.3.7), (5.3.8), (5.3ЛО) и (5.3.11). 5.3.4.

Исходя нз оценки (5.3.19), определите, каким должен быть шаг Ь, чтобы прн вычислений интеграла от функции /(х) =х' на отрезке [О, 1] по составной фор. муле трапеций ошибка не превосходила 10 '. Каким должен быть шаг при использовании составной формулы Симпсона? 5.3.5, Составьте программу вычисления по составной формуле трапеций и по составной формуле Симпсона интеграла от "'произвольной" функции на отрезке [и, Ь] прн произвольном разбиении этого отрезка.

Проверьте вашу программу на функции 1 (х) = х' и отрезке [О, 1]. Определите фактический шаг, при исполъзовании которого ошибка составной формула] трапеций с равномерной сеткой оказываетсл меньше, чем 10'. 1бу Элементы 1-го столбца мого массива сходятся к значению интеграла со скоростью порядка Ь'1. В предположении же бесконечной дифференцируемостз функции Т на диагонали массива найдутся элементы, которые при Ь 0 будут сходнлъся быстрее любой фиксированной степени Ь (если взять зти. элементы достаточно далеко) . Мы вообще не затронули несколько других важных вопросов, связанных с численным интегрированием: вычисление интегралов от функций с особенностями, интегралы по бесконечному промежутку, кратные интегралы, а также адаптивные процедуры, пытаюшиесл автоматически выбрать шаг в соответсэзин с поведением подынтеграпъной функции.

Обсуждение всех этих вопросов, а также далънейшнй материал гю темам, освещенным в этом разделе, можно найти в книгах [24, 77]. 5.4. Дискретные задачи, используюшне сплайны Теперь мы вернемся к исходной задаче этой главы: для двухточечной краевой задачи ( р (х) и (х))' + а (х) и (х) = Ях), 0 ~ х < 1, (5.4.1) и(0) = п(1) =О, (5.4.2) требуется найти приближенное решение вида и(х)= Х с у-(х), (5.4.3) ~=1 где р1,..., р„— заданные функции. Напомним, что описанный в разделе 5.1 метод коллокации сводил задачу (5.4.1) — (5.4.2) к решению системы линейных уравнений Ас =г, (5.4.4) где А — матрица с элементами а;; = р(х;) р,.(х;1+р (х;) р.(х;)+ц(х;) р.(х;), 1,у = 1,....л, (5.45) $6В с — вектор неизвестных коэффициентов с~,..., с„, ~ — вектор с координатами Ях1 ), ...

„Х(х„) и х,, ..., х„— заданные точки отрезка 10, 1]. В разделе 5.1 в качестве базисных функций р; выбирались либо полиномы, либо тригонометрические функции. При этом мы видели, что в общем случае матрица коэффициентов А оказывалась заполненной, т.е. имела мало нулевых элементов и, тем самым, невыгодно отличалась от трех.

диагональной матрицы коэффициентов, полученной в гл. 3 при использовании метода конечных разностей. В настоящем разделе мы будем использовать сплайн-функции„описанные в разделе 5.2, и покажем, что в простейшем случае это нас снова приведет к трехдиагональной матрице коэффициентов. Так как в коэффициенты ал входят величины ~)(х;), необходимо, чтобы базисные функции имели вторую производную в узлах х,,..., х„. Следовательно, линейные и квадратичные сплайны здесь оказываются недостаточными.

Кубические же сплайны дважды дифференцируемы, и мы их первыми рассмотрим в качестве наших базисных функций. Нам надо будет выбрать базисные функции так, чтобы они были линейно независимыми. Мы бы также хотели выбрать эти функции такими, чтобы ширина ленты матрицы коэффициентов А была как можно меньшей. Чтобы проиллккгрировать этот последний момент, давайте попытаемся сделать матрицу коэффициентов трехдиагональной.

Из (5.4.5) видно, что если не накладывать на функции р и д никаких специальных ограничений, то этого можно добиться, если выбрать р; такими, что р (х.)= р (х;)= ч~:(х;) = О, (Š— у'~ > 1. (5.4.6) Этого, в свою очередь, можно добиться, если выбрать функции р~ такими, чтобы они тождественно равнялись нулю вне отрезка [х~ з, хс~з] и чтобы выполнялись условия р,.

(х; г) = р,. (х; 2) = р;(х; 2) = О, р,.(хр+з) = р,.(х,+2) = р;(х;~2) = О. 1 з (» х'-г) ' х; г < х ч: х, 1 3 — + — (х — х;,)+ 4 4л 3 3 + (Х вЂ” Х 1) — (Х Х з), Х ~»~м Х, 4„г — 4йз 1 3 — + — (»у+1 — х) + 4 4/з В~(х) = 3 3 + — (х;~, — х)' — — (х~+, — х)', 4/зз 4йз х;< х< х~+,, 1 — (;, — х)', 4/зз х~+1 < х < х,+г, О, при остальных х.

(5.4.8) Мы здесь предполагаем, что узлы х,,..., х„находятся на равном расстоя нин Ь друг от друга. Можно непосредственно убедиться (см. упражне. ние 5.4.1), что функция (5.4.8) является кубическим сплайном, имеющим значения В;(»~) = 1, В;(х;, з) = 1/4 и равным нулю в других узлах. Кроме того, этот сплайн удовлетворяет условиям (5.4.6) и (5.4.7) (упражнение 5.4.1). Такую сплайн-функцию (она изображена на рис. 5.4) называют кубическим базисным сплайиом или, для краткости, кубическим В-сллайиом. Такое название обусловлено тем, что любой кубический сплайн на отрезке 1а, Ь1 может быть представлен как линейная комбинация В-сплайнов.

Более точно, имеет место следующая теорема, которую мы приводим без доказательства. Т е о р е м а 5.4.1. Пусть С(х) — кубический сплайн для равноудалеяных узлов х, <... < х„. Тогда существуют константы ао, а,,..., а„+з такие, что (5.4.9) С(х)= Х а;В;(х). 169 Вспомним теперь, что мы опрецелили кубический сплайн условиями (5.2.8) и (5.2.9). Этн условия наряду с заданием значений функции в узлах х~,..., х„дают 4л — 6 соотношений для 4п — 4 неизвестных коэффициентов, определяющих единственный кубический сплайн. В разделе 5.2 мы использовали два дополнительных условия (5.2.13), которые выделяли естественный кубический сплайн. Однако этот естественньгй кубический сплайн не может удовлетворять условиям (5.4.6), если только он не тождественно равен нулю. Если же не накладывать дополнительные условия (5.2.13), то действительно можно построить кубический сплайн, удовлетворяющий условиям (5.4.6).

Характеристики

Список файлов книги