Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. Под ред. А.А.Абрамова (1986) (1095855), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Уравнения (6.1.13) представляют матричную проблему собственных значений. Если ввести матрицы 2 — 1 С, Сг Π— 1 2 — 1 В-гг А= — 1 2 — 1 — 1 2 (6.1.14) 182 то (6.1.13) можно переписать в матрично-векторной форме как Ау = ЛВу. (6.1.15) Это пример так называемой обобщенной проблемы собственных значений, в которой матрица Вв правой части уравнения не является единичной. Конечно, если матрица В невырождена, то умножением слева на В ' уравнение (6.1.15) можно преобразовать к стандартной проблеме собственных значений. В большинстве случаев, однако, преобразования такого типа оказываются нежелательными.
Кроме того, так как матрицыА и В являются разреженными, т.е. содержат мало ненулевых элементов, (6.1.15) дает пример проблемы собственных значений для разреженных матриц. Давайте теперь вернемся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (6.1,3). Важной характеристикой этой системы является ответ на вопрос, все ли ее решения асимпгогически устойчивы, т.е. стремятся ли все ее решения к нулю при стремлении г к бесконечности. Предположим опять, что матрица А имеет и линейно независимых собственных векторов. Тогда любое решение может быть представлено в виде (6.1.6) и, следовательно, каждое решение будет стремиться к нулю при г в том н только том случае, когда стремятся к нулю все решения (6.1.5) . Так как векторы х; не зависят от г, это будет тогда и только тогда, если каждая функция е г' будет стремиться к нулю при Г - . Для вещественных Л~ это эквих г валентно условиям Л; < О, а для комплексных Лг — условиям Ке(Л; ) < О (здесь Ке (Л~) — вещественная часть Л;).
Таким образом, все решения (6.1.3) устойчивы в том и только том случае, если Ке(Л;) < О, 1 = 1,..., и. (6.1.16) Во многих ситуациях оказывается достаточным знать, устойчивы лн все решения системы, и вовсе не требуется находить какие-либо конкретные решения. В таких случаях достаточно вычислить собственные значения с такой точностью, чтобы можно было проверить, выполняются ли условия (6.1.16) . Мы вскоре вернемся к этому вопросу.
В противоположность дифференциальным уравнениям, в ряде дисциплин возникают аналогичные задачи определения асимптотической устойчивости решений разногтных уравнений. Мы опишем одну такую задачу из области демографии, относящуюся к прогнозу численности населения. Зная распре деление населения по возрастам в настоящий момент, что можно сказать о поведении этого распределения в будущем? В нашей конкретной модели мы сознательно делаем целый ряд допущений и упрощений; но она, тем не менее, является достаточно характерной для математических моделей динамики популяции. В этой демографической модели время считается дискретным и разбивается на единичные периоды, скажем, пять лет каждый, мужчины.игнорируются, .а женщины считаются разделенными на возрастные группы, причем интервал возрастов в каждой группе равен той же единице времени. Пусть р,(") — число женщин в возрастной группе ( (( = 1,..., я) в некоторый начальный момент времени г = О и пусть Р(") — число женщин в возрастной группе ( через й единиц.времени.
Тогда вектор (а) (Р(ь) (а) ) будет представлять распределение женщин по возрастам (группа и, старшая группа, будет включать всех женщин старше определенного возраста) . Пусть далее Ь( н Ы~ — соответственно норма рождаемости девочек и норма смертности для возрастной группы (. Этн параметры можно аппроксимировать, исходя из даннъ|х переписи.
Считая эти нормы постоянными, выясним, как будет изменяться популяция с течением времени. Число новорожденных девочек к моменту 1с + 1 будет равняться сумме рождений девочек в каждой возрастной группе за период )с, т.е. й Р(ь+ 1) = Х Ь.Р(ь) Р 1 — )Р. 1 Аналогично, число женщин в группе ( к моменту й + 1 будет р(" + ') = (1 — с/; ) Р(~), ( = 2,..., л — 1, ! 8— т.е. равно числу женщин из группы 1 — 1 к моменту Й, которые не умерли за период 1с. Для случая 1'= п требуется особое уравнение, так как в эту группу попадают прожившие период й женщины иэ групп п — 1 и п.
Таким образом, (к+1) г1,~ ) (ь) + г1 ~ ) (ь) Для представления этих соотношений очень удобными оказываются матричные обозначения. Если ввести матрицу )~! (~2 1 — а, О А= (6.1.17) О О то все я уравнений можно записать в виде Р(ь+ )) =АР(ь) (6'.1.1 8) Предположим теперь, что демограф интересуется поведением р(~) с увеличением х. Будем снова считать, что матрица А имеет и линейно неза- 183 висимых собственных векторов х1,, х„, соответствующих'собственным значениям Л1,..., Л„. Так как векторы х; линейно независимы, то любой вектор можно представить как линейную комбинацию этих собственных векторов, В частности, при некоторых значениях с,, ..., с„имеет место р~ ~ =с,х, +... +с„х„.
(6.1.19) Тогда, так как Ах; = Лгх~, мы имеем р('1 = Ар(~1 = с1 Л, х~ +... + с„Л„х„, р(21 = АрО1 = с1 Л1'х~ +... + с„Л~ х„, (6.1.20) р("1=Ар(" '1=с1Л1" х~ + ... +с Л~х сн л л' Из представления (6.1.20) ужеможно получить определенную качественную информацию о поведении популяции. Пусть р=р(А) = гпах ~ Л;!— г =1,...,и спектральный радиус матрицы А.
Ясно, что если р < 1, то численность популяции будет стремиться к нулю при стремлении к к бесконечности. В то же время, если р ) 1, то популяция будет неограниченно расти. Если это единственная информация, которую мы хотели бы получить, то нам только необходимо вычислить собственные значения с такой точностью, которая позволяет установить, будет ли р < 1 или р ) 1. Мы можем суммировать предыдущие теоретико-матричные результаты в виде следующей важной теоремы, которая окажется. полезной в гл. 8 при изучении итерационных методов. Мы только наметили доказательство этой теоремы в случае, когда матрица А имеет и линейно независимых собственных векторов, но она справедлива и в общем случае.
Т е о р е м а 6.1.4. Если спектральный радиус р(А) матрицы А удовлетворяет условию р(А) < 1, то любая последовательность векторов (х1ь1) такая, что 1"+')=Ах( 1, а=0,1,..., (6.1.21) сходится к нулю, т. е. х(~1 — 0 при 7с -+ . Обратно, если р(А) ) 1, то существует по крайней мере одна последовательность векторов ( х (~1), удовлетворяющая (6.1.21), для которой ах(~1 а при 1г С .помощью так называемых теорем локализации иногда удается очень просто получить грубые оценки расположения собственных значений. Мы сейчас рассмотрим самый знаменитый нз таких результатов, теорему Гершгорина.
Пусть А = (аг1 ) — вещественная или комплексная матрица размера и Х и и пусть л т = Е ~ай!, 1= 1,...,п, /= 1 /Ф! т.е. тг равно сумме абсолютных величин внедиагональных элементов 1-й строки матрицы А . Определим теперь на комплексной плоскости круги с центрами в а» и радиусами т ~". Л; = ( г: 1г — аи ~ ~ т;), 1= 1, ...,и. Тогда имеет место следующее утверждение.
164 — 2 4 — 4 2 2 — 10 -8 1 А = — — — 1 16 2 круги Гершгорина которой показаны на рис. 6.1. Мы сразу можем заключить, что все собственные значения матрицы А имеют отрицательные Рис. 6.1. Круги Гершгорнна на комплексной плоскости вещественные части. Следовательно, если бы матрица А была матрицей коэффициентов системы дифференциальных уравнений (6.1.3), то все ре щения этой системы были бы асимптотически устойчивы. Точно так ж! мы можем сразу заключить, что все собственные значения матрицы А по абсолютной величине меньше 1, так что для любого р< ' векторы р! >, <о! (а) определяемые соотношением р!~1 = Ар1~ '1, й= 1,2, ..., стремятся к нулю при и ~ Теорема Гершгорина доказывается очень просто. Пусть Х вЂ” какое-либо собственное значение матрицы А и х — соответствующий собственный вектор.
Тогда по определению !.Л вЂ” ап)х! = Х аг1х1, 1= 1 1Ф! Пусть, далее,ха — наибольшая по абсолютной величине координата векто- ра х. Тогда !х11 1 Х вЂ” аР,а! < Х 1аа1! — < Е 1иа1 ~, 1 ! !ха ~ 1Ф а 1~к так что Х лежит в круге с центром в аак. !85 Т е о р е м а 6.1.5 (теорема Гершгорина). Все собственные значения матрицы А лежат в объединении кругов Л,,, „Л„.
Как простой пример использования теоремы Гершгорина рассмотрим матрицу Другое важное применение теорема Гершгорина находит при анализе изменения собственнь1х значений матрицы, обусловленного изменением ее элементов. Пусть А — заданная матрица размера и Х и с собственными значениями Л1, ..., Л„и пусть Š— матрица, элементы которой в некотором смысле малы по сравнению с элементами матрицы А. Например, элементами Е могут быть ошибки округления, допускаемые при вводе матрицы А в память ЭВМ.
Пусть и1, ..., и„— собственные значения матрицы А + Е. Что тогда можно сказать о величинах ! Л1 — р1 (? Мы сейчас приведем один относителыю простой результат для случая, когда матрица А имеет и линейно независимых собственных векторов. Напомним (см. приложение 3), что под нормой матрицы с индексом мы понимаем просто максимум из сумм абсолютных величин элементов каждой строки. Т ео рема 6.1.6. Предположим,что А =РВР ',где П вЂ” диагональная матрица из собственных значений А, и пусть Н = 'а Р ' ЕР 11 . Тогда каждое собственное значение матрицы А + Е удалено от некоторого собственного значения матрицы А не более чем на А Эта теорема является простым следствием теоремы Гершгорина.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
