Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. Под ред. А.А.Абрамова (1986) (1095855), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Положим С = Р '(А + Е)Р. Матрица С имеет те же собственные значения и1, ..., и„, что иА+Е.Пусть В Р ' ЕР.Тогда С=В+В,идиагонапьные элементы С суть Лг + Ь|1 (1 = 1, ..., и) . Следовательно, по теореме Гершгорина собственные значения р1, ..., р „лежат в объединении кругов (г: ! г — Л1 — Ьи! ~ 2' 1Ьб ~), ~= 1 /' Ф 1 так что для любого и» найдется 1 такое, что а ~ 1Ь,,~, 1=1 1' Ф 1 или и ~р» — Л;1 < Х !Ь,?! < а1, 1= 1 что и требовалось доказать. Подчеркнем, что величина с1 не обязана быть малой даже при малости 1~ Е а; зто еще зависит от матрицы Р. В общем случае чем хуже обусловлена матрица Р (в смысле гл. 3), тем хуже обусловлены собственные значения А, т.е. тем большее изменение собственных значений могут вызвать малые изменения элементов А .
Ниже приводится простой иллюстративный пример. Пусть 1 1 1 1 А= А +Е= 0 1+10 1~ 3 ~ 10-" 1+101ь Матрица А имеет собственные значения 1 и 1+ 10 ', а собственные значе- ния А + Е приблизительно равны 1 + 10 '. Таким образом, изменение одного элемента матрицы А на 10 ' приводит к в 10~ раз большему изменению собственных значений.
Это вызвано тем, что матрица Р, столбцами которой являются собственные векторы А, очень плохо обусловлена. Легко проверить, что Следовательно, матрица Р ' ЕР из теоремы 6.1.6 есть и, таким образом, сХ = )) Р ' ЕР [) = 2. Обратите внимание, что фактическое изменение собственных значений намного меньше этой оценки. Интересным и важным фактом является то, что собственные значения симметричной матрицы всегда хорошо обусловлены. Это утверждение можно рассматривать как интерпретацию следующей теоремы, которую мы приводим без доказательства.
Т е о р е м а 6.1.7. Пусть А и  — вещественные симметричные матрицы размера и Х и с собственными значениями Л,, ..., Лп и д1, ..., р„соответственно. Тогда для каждого д; найдется такое Л), что )л; д)[; ))А -В)),. Отметим, что в этой теореме используется евклидова норма матрицы (см.
припоженне 3), так что этот результат не следует непосредственно из теоремы 6.1.6. В этом разделе мы привели несколько примеров задач на собственные значения и соорудили ряд относящихся к этой проблеме математических результатов; В остальной части этой главы мы познакомимся с основами различных методов вычисления собственных значений и собственных векторов. Яололнительные замечания и ссылки 6.1 Дальнейшее обсуждение использования собственных зиачеиий при решении обыкновенных дифференциальных уравнений можно найти в большинстве элементарных учебников по дифференциальным уравнениям, Математическому изучению динамики популяций йосвящеиа обшириап литература, болъшая часть которой ие имеет отиошепия к собственным значениям. Обзорный материвп по этой тематике имеется в книгах [29,98).
Подробное изложение теоретических резулътатов по проблеме собственных значений в форме, наиболее подходящей лпя оассмотреииа вопросов численного анализа, можно найти в книге [84) (см. также [56,78,91)). Осиовиая теорема 6,1.4 фактически справедлива, когда степени матрицы А стремятся к нулю. Формулу (6.1.21) можно переписать в виде х(ч) = А"х(о). Отсюда ясно, что х' ' - 0 при х - ппя любого х тогда и только тогда, когда А -~0 (а) (о) и при х — . Схопимость степеней матрицы А можно, в принципе, иеспедоввть с по- 163 мощью канонической жордановой формы. Действительно, если А = Р)Р ', то А =РУ Р, н А ~0 при К~~ в томи только том случае, если У -~бири Ф-~~. к к Если матрица Х диагональна, то исследование тривиально.
В противном случае необ. ходимо проанализировать поведение степеней жордановых клеток. Легко показать, что Л усЛК=1 ЛК 3 ЛК ц Л яЛ кл Л Отсюда видно, по эти степени стремятся к нулю тогда и только тогда, когда ! Л 1 с 1. УПРАЖНЕНИН 6,1 6.1,1. Составьте характеристическое уравнение дця матсицы т,е. вычислите Найдите собственные значения А как корни этого полинома и затем вынсслите соот. ветствуюшне собственные векторы, решив однородные уравнения (6.1,2) . 6.1.2. Выразите решение задачи Коши у'(с) = Ау(с), у(0) = ,1, через собственные значения и собственные векторы, найденные в упражнении 6.1.1.
6.1.3, Пусть Определите, будут ли решения системы у = Ау асимптотически устойчивы, 6.1А. Найдите собственный вектор матрицы (6.1.8) и покажите, что она не имеет друпсх линейно независимых собственных векторов. 6.1.5. Рассмотрите задачу о популяции в случае, когда нормы рождаемости и смертности зависят от времени, т.е.
замените матрицу (6.1.17) матрнцей бе(с) Ь,(с) 6 (с) 1-4, (с) 0 А(с) = 1-с(л — 1(С) 1-~и(С Выведите выражение, которое будет заменять в этом случае (6.1.18) . 6.1.6. Пусть 2 0,1 О,! А = 0,1 1 0,1 о! о! !о! Найдите круги Гершгорина дпя матрицы А и изобразите их. 6.!.7. Используя теорему Гершгорина, докажите, что симметричная строго диагонально доминирующая матрица с положительными диагональными элементами является попожнтепыю определенной. 6.!.8. С помощью непосредственной подстановки и использования тригонометрических тождеств покажите, что вещесгвенная симметричная матрица размера и х и а Ь Ь а имеет собственные значения ха = а + 2Ь соз [Фа((п+ 1) 1 (й = 1, ..., и), которым соответствуют собственные векторы «а = ( з[п[йа((п + 1)1, з1п[2йп((п + 1)1, ..., з[п[пйа((и+ 1)1) (й = 1,..., п). 6.2. Проблема собственных значений для симметричных матриц Лучшие из нмеюшихся в настоящее время методов вычисления собственных значений неразреженных.
матриц начинаются с приведения заданной матрицы к более простой форме. В этом разделе мы рассмотрим основные методы для вешественнь!х симметричных матриц, первый шаг которых состоит в приведении матрицы с помощью ортогональных преобразований подобия к трехдиагональной матрице, имеющей те же самые собственные значения. Второй шаг состоит в вычислении собственных значений этой трехдиагональной матрицы. В заключение, если это необходимо, вычисляются собственные векторы. Пусть А — вешественная симметричная матрица размера и Х и. Мы построим и — 2ортогональные матрицы Р„...,Рп з и по формулам А;+, =Р!А;Р;', (= 1, ...,п — 2, (б.2.1) получим такую последовательность матриц А, = А, Аз, ..., А „!, что матрица А„! окажется трехдиагональной.
Так как каждая матрица Р! ортогональна, все матрицы А,,, А„! будут подобными и, следовательно, будут иметь одни и те же собственные значения. Кроме того, матрицы А ! сохранит симметричность, которой обладает А !. Мы теперь сосредоточимся на построении матрицы Р,. Наша цель— выбрать Р! так, чтобы матрица А, имела нули в первой строке и первом столбце, за исключением, быть может, позиций на трех главных диагоналях, т.е. мы хотим, чтобы матрице А2 имела форму (6.2.2) О е где звездочкой помечены элементы, которые могут быть отличны от нуля. Этого можно добиться, подбирая матрицу Р, в виде 1 — 2»1 2Ю2»1 — 2»1»2 — 2»1» Р1=1- г ч т'= (623) — 21~п»'1 -...
1 — 2юи 2 где вектор» удовлетворяет условию в~в= 1! в12 = 1. Как видно из следующей выкладки: Р1ТР (1" 2»11ет) (у 21~щт) 1 4ющт + 4щ»~т~1~т у такая матрица всегда является ортогональной. Применяя теперь преобразование подобия Р1АР1Т, получаем Аг = Р1АРт (1 — 2чат)'А~1 — 2®,дт) А 2»1» ТА 2А»и,т+ 4»пчтА»~»1Т Предположим, что первая координата вектора»~ равна нулю. Тогда матрица ею ~ будет иметь нулевыми первую строку и первый столбец, а у матрицы,4»1»1 будет нулевой. первый столбец, Следовательно, если мы обозначим первый столбец матрицы А через и, то первый столбец А 2 будет равен просто а минус первый столбец 2и»~ТА: а,1 122 1 2»'2»~ т а — 2»1М а= т 1~ д(О*а21 а аз1 . ° ал1) т 112 г=+( Х а~ ) у=2 (6.2.4) -1/2 д =12~(1 — аг1)1 где знак 2 должен быть взят совпадающим со знаком -и 21.
я»1 — 2»'и 1~ т Мы хотим выбрать вектор» так, чтобы все координаты вектора д — 2»» и, т кроме, быть может, двух первых, обратились в нуль. Этого можно добиться, положив Давайте убедимся, что так выбранный вектор м отвечает нашим целям. Во-первых, проверим, что и и = 1. Действительно, т Ют'и = и~ [(а21 — 2)' + Е аУ, ] = 1=э Д (1221 а212+2 +2 1221) 2 Далее, и~ а = д[(а21 — -2)а21 + Х а., 1= д(аа — я212) =— )=з так что 2(а2, — 2)И я21 2и21~ я я21 2 2д т 22а21И и» вЂ” 2ю1в~и=а11 — — „= О, 2д 1=3,4, ...,п. аким образом, первый столбец А2 имеет нужную форму, и, так как матица А 2 симметрична, первая строка А2 также имеет нужную форму.
Итак, матрица А, имеет структуру (6.2.2), причем элемент с индексами (1,1) авен а 11. а элементы с индексами (2,1). и (1,2) равны 2. Чтобы завершить приведение к трехдиагональной форме, мы просто заметим, по следующий шаг полностью аналогичен только что выполненному. Положим Р2 ~ -®2®2 1 т где и~2 — вектор с нулевыми 1 .рвыми двумя координатами. Тогда, как легко видеть, преобразование Р2А2Р1 не влияет на первую строку и перт вый столбец А,, а изменяет только подматрицу, состоящую из последних и — 1 строк и столбцов А2.
Следовательно, элементы иг2 могут быть определены аналогично координатам вектора м, и результирующая матрица А 2 будет иметь форму О О О О * * ~ 1 О О О О 1 Проделав еще н — 4 таких преобразований с использованием векторов и12 (1' = 3, ..., и — 2), имеющих нули в первых 1 позициях, мы закончим приве- 191 двине к трехдиагональной форме: а, Ь, Ь| а, Ьэ Ап-1 (6.2.5) Ьп — 3 ап — 1 Ьп Ьп-1 ап Матрицы 1 — 2ви называются матрицами Хаусхолдера или преобразоват ниями Хаусхолдера, и вся только что описанная процедура известна как метод Хаусхолдера приведения к трехдиагональной форме, Наша следующая задача заключается в вычислении собственных значений полученной трехдиагональной матрицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
