Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. Под ред. А.А.Абрамова (1986) (1095855), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Мы теперь обсудим более подробно свойства матрицы обладать и линейно независимыми собственными векторами. Как сказано в приложении 3, преобразование подобия для матрицы А имеет вид РАР ', где Р— произвольная невырожденная матрица. Преобразование подобия возникает из замены переменных: рассмотрим систему уравнений Ах = Ь н сделаем замену переменныху = Рх, с = РЬ, где Р— невырожденная матрица. В новых переменных система уравнений примет вид АР 'у = Р 'с или, после умножения на Р, РАР 'у = с.
Таким образом, матрица коэффициентов системы в новых переменных есть матрица РАР ', полученная преобразованием подобия из матрицы А. Важным свойством преобразования подобия является то, что оно сохраняет собственные значения, т.е. матрицы А и РАР ' имеют~одни и те же собственные значения. Это легко видно из рассмотрения характеристического полинома и того факта, что определитель произведения матриц равен произведению определителей. Действительно, дет(А — И) = йет(РР ') йе1(А — И) = = йетРдет(А — И) с$етР ' = де1(РАР ' — И), откуда видно, что характеристические полиномы, а, следовательно, и собственные значения матриц А и РАР ' совпадают. Однако собственные векторы при преобразовании подобия изменяются.
Действительно, нз равенства РАР 'у = Лу, или АР 'у = ЛР ьу, видно, что собственный вектор у матрицы РАР ' связан с собственным вектором х матрицы А соотношением Р 'у = х или у = Рх. Сушественным является вопрос, к насколъко "простому" виду можно привести матрицу А с помощью преобразования подобия. Основным в этом отношении является следующий результат, который возвращает нас к линейной независимости собственных векторов. Т е о р е м а 6.1,1. Матрица А подобна диагональной матрице в том и только том случае, если она имеет и линейно независимых собственных векторов. Эта теоремаимеет простое н наглядное доказателъство. Пусть х~..., ..., х„— и линейно независимых собственных векторов матрицы А, соответствующих собственным значениям Л~,..., Л„, и пусть Р— матрица, по столбцам которой стоят х~, ..., х„.
Матрица Р будет невырожденной, так как ее столбцы линейно независимы. Используя для каждого столбца Р основное определение Ах; = Л; х~., имеем АР = А(х~,х~,...,х„) = (Л~х~,... Л„х„)=РР, (6.1.7) где Р— диагоналъная матрица: Л~ Так как (6.1.7) эквивалентно соотношению А = РОК', мъ~ видим, что матрица А подобна диагональной матрице, у которой на диагонали стоят собственные значения А. Обратно, если матрица А подобна диагональной марице, то из (6,1.7) следует, что столбцы матрицы подобия Р являются собственными векторами А и что в силу невырожденности Р они линейно независимы. Ниже приводятся два важных частных случая предыдущей теоремы, Т е о р е м а 6,1,2.
Если все собственные значения матрицы А различны, то она подобна диагональной матрице. Т ео р е ма 6.1.3.ЕслиА — вещественная симметричнаяматрица(т.е. А = = Ат), то она подобна диагональной матрице, причем матрица подобия может быть взята ортогональной (т,е. РРт = 1) . Не будем здесь доказывать эти результаты, а только отметим, что симметричные матрицы чрезвычайно важны для приложений и их собственные значения обладают многими замечательными свойствами. В частности, собственные значения вещественной симметричной матрицы всегда вещественны, и если при этом матрица положительно определена (т.е. хтАх) О, для всех ненулевых векторов х), то ее собственные значения положительны.
Из теоремы 6.1.2 следует, что если матрица А не обладает п линейно независимыми собственными векторами, то она обязательно имеет кратные собственные значения, (Обратное, однако, неверно: матрица может иметь кратные собственные значения и все же обладать и линейно независимыми собственными векторами; таким примером может служить единичная матрица.) 12* Матрица (6.1,8) дает простой пример матрицы, которая не имеет двух линейно независимых собственных векторов (см. упражнение 6.1А) и не является подобной диагональной матрице. В общем случае с помощью преобразования подобия матрица может быть приведена к следующей наиболее близкой к диагональной форме: 6, О О Лг 0 0 ОЛ„~ б„ 0 Л„ 0 Здесь Л~ — собственные значения А, а 6~ равны либо 1, либо 0; предполагается, что если 6; отлично от нуля, то Л; и Л;+ ~ равны.
Можно показать, что матрица А имеет л — ц линейно независимых собственных векторов, где и — число ненулевых б; . Таким образом, матрица 1 может быть разбита на клетки: (6.1.9) . где р — число линейно независимых собственных векторов, и каждая клетка У; есть матрица вида Л; 1 Л; 1 с одинаковыми собственными значениями и единицами над главной диагональю. Матрицу (6.1.9) называют канонической жордановой формой матртщы А. Отметим, что если А имеет и линейно независимых собственных векторов, то р = и, каждая клетка имеет размер 1 Х 1 и матрица У становится диагональной.
Для многих вычислительных целей оказывается очень желательным иметь дело с ортогональнымн или унитарными матрицами. (Комплексная матрица У называется унитарной, если она удовлетворяет соотношению У'У = 1, где У' — матрица, сопряженная к У, т.е. матрица, получающаяся из У заменой элементов на комплексно-сопряженные и последующим транспонированием, 1 — единичная матрица.
Вещественная унитарная матрица является ортогональной.) Ниже мы формулируем без доказательства два основных результата о преобразованиях с унитарными матрицами. у"(х) = Лу(х), у(0) = О, у(1) = О. (6.1.10) Задача здесь состоит в отыскании таких значений скалярного параметра Л, при которых уравнение (6.1.10) имеет ненулевые решения, удовлетворяющие заданным нулевым граничным условиям. Эти значения также называются собственными значениями, а соответствующие решения — собственными функциями.
Эта особенно простая задача может быть решена явно. Как легко проверить непосредственной подстановкой в (6.1.10), здесь имеется бесконечное множество собственных значений и соответствующих собственных функций, определяемых формулами Ль = — йз лз, у,(х) = з1п Ь(х, Й = 1, 2, (6.1.11) Предположим теперь, что в уравнение (6.1.10) перед у добавлен множитель, зависящий от х, т.е. у"(х) = ЛС(х)у(х), у(О) = О, у(1) = О, (6.! .12) где С(х) — заданная положительная функция.
В общем случае для этой задачи уже нельзя найти явное выражение для собственных значений и собственных функций, но нх можно аппроксимировать численно с помощью следующей процедуры, Точно так же, как прн решении краевых задач в гл. 3, мы можем ввести на отрезке [О, 1) дискретную сетку х~ = = ~' Ь (1 = О, 1...
и + 1), и = 1((и + 1), и заменить вторую производную в (6.1.12) соответствующим раэностным отношением. В результате 181 Тео ре ма Шура. Для любой матрицы А размера и Х и существует унитарная матрица У такая, что матрица УА У' является треугольной. С и н г у л я р н о е р а з л о ж е н и е. Для любой матрицы А размера и Х и существуют унитарные матрицы Уи 1" такие, что матрица УАГ является Диагональной. В случае теоремы Шура матрица УАУ' является результатом преобразования подобия, и, следовательно, нз диагонали этой треугольной матрицы стоят собственные значения матрицы А.
В случае сингулярного разложения матрица УА Р' уже не будет подобна А, за исключением специального случая, когда У = Р', и диагональные элементы этой диагональной матрицы не обязательно будут собственными значениями матрицы А. Оказывается, что числа на диагонали являются квадратными корнями из собственных значений матрицы АтА.
(Если А вещественна, то матрица А тА всегда является симметричной и положительно полуопределенной, т.е.хтА тАх> 0 для всех вещественных векторов х, и, следовательно, все собственные значения А тА вещественны и неотрицательны.) В дальнейшем мы не будем рассматривать эти числа, а только отметим, что они называются сингулярными значениями матрицы А н играют важную роль во многих статистических н вычислительных задачах. Мы теперь перейдем к дальнейшим примерам задач на собственные значения.
Эти задачи тоже связаны с дифференциальными уравнениями, ио возникают иным образом, чем в приведенном ранее примере, Как мы увидим в разделе 7,1, задача о колебании струны в некоторых простых случаях сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению получаем дискретную систему уравнений (,+, — 2уг+у;,)(й -Лсгу,, 16.1 13) где С; = С(х;), Уо = ун +1 = О и у; есть приближение к у(х~).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
