Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. Под ред. А.А.Абрамова (1986) (1095855), страница 38
Текст из файла (страница 38)
+а„ц„(х) по формулам (5.2.38). Как уже отмечалось, такой подход предпочтительнее с вычислительной точки зрения, поскольку он позволяет избежать решения системы (5.2.31), которая может оказаться очень плохо обусловленной. Другим преимуществом этого подхода является возможность строить полипом метода 157 Отметим, что при выполнении этих двух соотношений полипом ц,.
+, будет ортогонален всем другим полиномам ц„(Й <у' — 1). Действительно, из (5.2.45) имеем И! т Х ц... (х;) ц„(х;) = Х х; ц,-(х;) ц„(х;)— !=1 !=1 у, =1, уг =2, уз=1, у4=0, у5 =1, что и в примере построения кубического сплайна. Так как здесь задается пять точек х;, эти данные единственным образом определяют интерполяционный полипом четвертой степени. Давайте получим линейный и квадратичный полиномы метода наименьших квадратов как на основе нормальных уравнений, так и с помощью ортогональных полиномов.
Для вычисления коэффициентов линейного полинома метода наименьших квадратов на основе нормальных уравнений нам потребуются следующие величины: 5 а 15 Х х;= —, Х х2 = —, Х /'.=5, 2,' х;/;=2. 2 г=1 ' 8 г'=1 (5.2.50) Тогда по приведенным ранее формулам для коэффициентов ао и а~ по- лучим — (5) — (2) (5) /51 (5) (2) — (5) ~ — ) 2 — 4 а (5) Следовательно, линейный полипом метода наименьших квадратов, построенный по этим данным, имеет вид р1(х) = 7/5 — (4/5) х. (5.2.51) При вычислении с помощью ортогональных полиномов тот же самый полипом представляется в форме под о (х) + а1~/, (х) = ао + а ~ (х — а1 ), (5.2.52) определяются по формулам (5.2.38), а а, — по форму- где ао и а1 ле (5.2.44): ] 5 ао = — Х 5 ~=1 1 1 /;.
= 1, а, = — 2; хт = —, 5 2 5 2 —— 2 1 ~ 1 — — 1/; 2х /; - — 2Л 2 ~ 1 ~ 5 15 5 5 5 Хх2 — Хх, + — — — — +— 2 4 8 2 4 158 наименьших квадратов степень за степенью. Например, если мы заранее не знаем, полипом какой степени нас удовлетворит, мы можем начать с полинома первой степени, затем построить полипом второй степени и т.д., пока не получим полипом, который мы будем считать подходяшим.
В приведенном алгоритме построения ортогональных полиноьюв коэффициенты а; не зависят от и; как только вычислен полипом а/, мы можем найти коэффициент а; и, следовательно, получить полипом наименьших квадратов степени /. Мы теперь приведем простой пример, используя те же данные х1=0, хт =1/4, х1=1/12, х~ =3/4, х~ =1, н1 2;х( Ххз ' Хх; ~гх~ багха ;ха 2. з ~ ч ао а1 . аг При наших данных эта система имеет вид 640 256 176 640 320 240 320 240 200 240 200 177 ао пз Решая зту систему, находим ао = 7/5, а1 = — 4/5, аз =О.
(5.2.53) Таким образом, лучшим в смъ1сле метода наименьших квадратов аппроксимирующим квадратичным полиномом оказывается линейный полипом, т.е. добавление квадратичного члена не дает никакого улучшения по сравнению с линейной аппроксимацией. В том, что значения (5.2.53) привильны, можно убедиться, построив квадратичный полипом метода наименьших квадратов с помощью ортогональных полиномов.
Представление через ортогональные полиномы имеет вид аоцо(х)-+ а|и, (х) + аг дз (х) = = — — — х+а х х — — а. х — — -А где коэффициенты а, и [[, находятся по формулам (5.2.48) и (5.2.49): Хх; х; —— Х х — — ~ аз Таким образом, дз(х) =х' — х — 1/8 и из (5.2.38) получаем, что аз =О. Допсынитеньные замечания и ссылки 5.2 В качестве дополнительной литературы по сплайн-функциям можно рекомендовать книги [1б.
591. В этих книгах можно, в частности, найти сведения о сплайнах, используюших полиномы более высокой степени, чем кубические. Такис сплайны иногда оказываются очень полезными. Другой подход к построению полнномов по методу наименыпих квадратов связан с непосредственным использованием системы линейных уравнений Еа = У, где Е и У определяются в (5.2ЗЗ) . Эта система имеет размер н1 х (л + 1), где л1 обычно болыле, чем л + 1, т.с.
матрица Е нс является квадратной. О технике работы с такими системами смотрите, например, [23, 78[. 159 Таким образом, полипом (5.2.52) есть просто 1 — (4/5) (х — 1/2) и, как и следовало ожидать, он идентичен полииому (5.251) . Для определения коэффициентов квадратичного полинома по методу наименьших квадратов из нормальных уравнений нам необходимо решить систему (5.2.31) прн и = 2: УПРАЖНЕНИЯ 5 2 52.1.
Пусть известны следующие значения некоторой функции): з'(!) = 2, (12) = =3,2(3)=5, ((4) = 3: а) постройте по этим данным интерполяционный полипом третьей степени и запишите его в видев, + а, х+ а,.т' + а х'; б) постройте по этим данным квадратичный сплайн, удовлетворяющий условию а' (1) = О (уюззание: начните слева); в) постройте по этим данным кубический сплайн, удовлегворяющий условиям С" (1) = б. С" (4) = — 9 (указание; попробуйте использовать полипом п>икта а). 5.2.2. Переупорядочьте неизвсстныс в системс > равнений (5.2.7), чтобы получить матрицу коэффициентов с возможно меньшей шириной ленты. 5.2.3.
Используя условия (5.2Л 1) — (5.2.! 3), выпишите систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов ач кубического сплайна (5.2.9) . 5.2.4. Дпя функции из упражнения 5.2.1 постройте к> бический сплайн, который удовлетворяет условиям С'(1) = 1, б'(4) = — 1, а не условию (5.2.13) (сказание: подумайте) . 5.2.5. Составьте программу построения сстсствснного кубического сплайна по заданному набору точек х, ( ... < хи и соответствующим значениям функции у,...., у„. Программа должна сначала решать трехдиагональную систему с матрицей коэффициентов (5.2.24), а затем использовать формулы (5.2.25) н (5,2.26) . Составьте также программу вычисления значения этого кубического сплайна в заданнои точке х.
Проверьте вашу программу на примере из текста. 52.Ь. По данным нз упражнения 5.2.1 найдите тождественно равный константе, линейный и квадратичный полиномы, получающиеся по методу наименьших квадратов, используя как нормальныс уравнения, так и ортогональныс полиномы. 5.2.7. Составьте программу, которая иююпьзуст подход на основе ортогональиых полиномов дпя построения полинома метода наименьших квадратов степени и по данным в т точках (п| з- и + 1).
Проверьте вашу программу на полиномах из упраж нения 5.2.б. 5.3. Численное интегрирование Метод Галеркина, описанный в разделе 5.1, требует вычисления определенных интегралов вида ь 1(1) = )' 2(х)~2х. а Потребность в вычислении таких интегралов возникает и в целом ряде других задач.
Подынтеграпьная функция )'(х) может быть задана одним из трех способов: 1. Задается явная формула дпя )(х), например, ,((х) = з(п (хе ' ). 2. Функция 2'(х) явно не задана, но ее значение может быть вычиатено при любом х из отрезка [а, Ь). Обычно зто значение вычисляется по некоторой подпрограмме. 3. Дпя некоторого фиксированного конечного набора точек х; из отрезка (а, Ь) задается таблица значений (х;,2(х;)).
Интегралы от функций первого типа иногда удается вычислить аналитически„либо вручную, либо с помощью машинных символьных систем. Интегралы от функций второго и третьего типов (а также первого, ешти не используются символьные методы) обычно находятся численными метода- 160 а Ь Рис, 5.2. а) Формула прямоугольников; б) формула средней точки а Ь а И+аф Ь а Ю Рис. 5З. а) Формула трапеций„б) формула Симпсона ченной в результате вычисления значения ~ в некоторой внутренней точке отрезка; обычно используют точку (а + Ь) /2, являющуюся центром отрез- ка, что приводит к формуле средней точки а+Ь НЯ = М(г ) = (Ь вЂ” а~у 2 (5.3.2) Формулы прямоугольников и средней точки проиллюстрированы на рис.
5.2. Следующим простейшим полиномом является линейная функция. Если она выбрана совпадающей с г" в концах отрезка а и Ь, то мы получаем трапецию, показанную на рис. 53. Площадь этой трапеции (интеграл от линейной функции), используемая в качестве приближения к значению 11. Дж. Ортега 161 ми. Такие методы назъюают квадратурными формулами и получают посредством аппроксимации функции Ях) некоторой другой функцией 7(х), интеграл от которой вычисляется сравнительно просто. Для аппроксимации Ях) может быль использован любой класс простых функций, таких как полиномы, кусочные полиномы, тригонометрические, зкспоненциальные или логарифмические функции. Конкретный выбор класса аппроксимирующих функций может зависеть от некоторых определенных свойств подынтегральной функции, но в наиболее распространенном случае, который мы здесь и рассмотрим, в качестве таких функций используются полино мы. Простейшим полиномом являетс(г константа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
