Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. Под ред. А.А.Абрамова (1986) (1095855), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Те же самые замечания относятся и к методу Галеркина: матрица коэффициентов в общем случае будет заполненной, но использование подходящего базиса иэ сплайн.функций позволяет нам получить систему с трехдиагональной матрицей. Однако здесь возникает другое осложнение. Вычисление элементов матрицы коэффициентов по формулам (5.1.18) и координат вектора правых частей по формулам (5.1.17) требует интегрирования по всему отрезку. Явное вычисление этих интегралов в замкнутой форме возможно только в редких случаях, когда функции р, О и1 имеют очень простой вид. Обычно эти интегралы приходится вычислять приближенно, и это приводит нас к вопросу о численном интегрировании, который мы рассмотрим в разделе 5.3. При определенных обстоятельствах можно также воспользоваться компьютерными системами символьных вычислений.
Одно из преимуществ метода Галеркина в применении к рассматриваемой задаче (5.5.1), (5.5.2) состоит в том, что он приводит к системе с симметричной матрицей. Это можно, в частности, видеть из формул (5.1 118). Метод коллокацин не обязательно дает симметричную матрицу. Ни один из этих методов не имеет явного превосходства над другими. Для каждого метода можно указать задачи, в которых он оказывается наилучшим. Выяснение вопроса, какой нз трех указанных методов наиболее эффективен в применении к имеющейся конкретной задаче, может потребовать специального анализа. ЗаКОНЧИМ ЭтОт РаЗДЕЛ КРатКИМ ОПИСаНИЕМ ПРИМЕНЕНИЯ МетОДа ..".лЛОКВ- ции и метода Галеркина к решению нелинейных задач.
Мы ограничимся рассмотрением простого уравнения привести (5.1.21) к виду и 1 и — с [ ~Р;(х)чг (л)с[х = [я( Х су р (х)) Р((х)с/х, l=! о о 1=! также представляющему собой нелинейную систему относительно коэф- фициентов с,,... „с Допоугнигельные замечания и ссылки 5.1 Близкий' подход к проекционным методам можно получить с помощью иариациоиного ириичииа Рассмотрим задачу нахождения 1 лпп ( ( р (х) [и' (х)[г — а (х) [и (х) 1г — 21' (х) и (х) ) сК (5.1. 2 3) иЕУо где г — множество нужное число раз дифференцируемых функций, обращающихся в нуль в точках х = О и х = 1. Из вариациоиного исчисления известно, что решение задачи (5.1.23) будет также н решением дифференциального уравнения (5.1.1) „которое является ураыиеиием Эйлера для этой задачи.
Следовательно, мы можем получить решение (5.1.1), решая задачу (5.1.23) . При этом мы можем аппроксимировать решение задачи (5.1.23) аналогично тому, как это делается в методе Галеркина. Такой метод известен как метод Рэиея — Ритча. Пусть гг„..., ри — наборбазисных функций таких, что ~;(0) =,рэ(1) =0 (! = 1, ... ..., и) . Тогда проблема отыскания $ и г ппп ((р(х) [ 2: с; р,'(х) [ с,,...,си о У1 г и — и (х) [ 1: с(гг; (х) [ — 21 (х) 1: с;р((х) ) г(х т= ! г= ! (5.1. 24) УПРАЖНЕНИЯ 5.1 5.1.! .
а) Для двухточечной краевой задачи у "(х) = у (х) + х', 0 < х < 1, у(0) = у(1) = = О,выпишите явно систему уравнений (5;1.8) прил = З,где р (х) = зш1их их; = (!3, !', у = 1, 2, 3; б) выполните задание пункта а снова при р (х) = х (1 — х), 1' = 1, 2, 3; в) выпишите эти системы для базисных функций (5.1.5) и (5.1.6) в матричной форме для произвольного л; г) повторите задание пунктов а — в для задачи (1 + х')у' + + 2ху' + хгу = ех, у(О) = у(1) = О. 144 представляет собой конечномсрную задачу минимизации относительно коэффициентов с,,..., си.
Пусть с,',... с,*, — решение этой задачи минимизации. Тогда в качестве приближенного решения задачи (5.1.23) берется функция и Ь' (х) = ь' с р; (х). )= ! Если при применении метода Галеркннз к уравнению (5.1.1) мы используем эти жс базисные функции, то получим то же самое приближенное решение.
Хорошее изложение методов Галеркина и Рэлея — Ритца имеется в книге [76 [. Существенным является вопрос, когда системы линейных уравнений, возникающих при применении методов этого раздела, имеют единственное решение. Обычно на этот вопрос легче ответить в случае метоца Рэлея — Ритца, поскольку тогда задача сводится к вопросу о существовании минимума функционала (5.! .24) . В разделе 5 4 мы приведем несколько простых примеров, когда системы уравнений методов коллокации и Галеркина имеют единственные решения. При этом в качестве базисных функций мы будем использовать сплайны, которые служат предметом обсуждения следующего раздела. Введение в тематику, связанную с теоремами существования и единственности, а также обсуждение важного вопроса об ошибке дискретизации методов коллокации и Галеркина можно найти, например,в работах [41,59 — 61[.
//л — 1 1/л'+ 1 а / = 11 — сот(г' — /) л1+ — 11 — соз(~ +/) л1, (г' ~ /), У (с' -- /)3 л1 (/+/)'л' а" = — 1/12 — /'л'/2 — /'л'/б — 1/4лз/'. 5.2. Аппроксимация сплайнами и метод наименьших квадратов В разделе 2.3 мы рассмотрели вопрос об аппроксимации функции поли номами и кусочными полиномами. В настоящем разделе мы разовьем эти идеи в двух направлениях. Первое — это аппроксимация посредством интерполяции кусочными полиномами, обладающими рядом дополнительных свойств. Второе — это полиномиальная или кусочно-полиномиальная аппроксимация на основе критерия, отличного от используемого при интерполяции.
Пустьна отрезке [а, Ь1 заданасеткаа <хс <хз «... хл < Ьи ус,... ...,у„— значения некоторой функции в узлах сетки. В разделе 2.3 мы использовали для аппроксимации кусочные полиномы, значения которых совпадали со значениями функции в определенных узлах сетки. Например, функция (2.3.8) являлась кусочно-квадратичным полиномом, принимающим заданные значения в семи узлах. Она была составлена из трех квадра- 71 саз 7з хз зз еч Рис.
5,1. Кусочно-квадратичная функция тичных полиномов и была непрерывна навсеминтервале,ионе дифференцируема в узлах, где соединялись разные полиномъп Предположим теперь, что мы хотим аппроксимировать функцию кусочно-квадратичными полиномами, но требуем при этом, чтобы аппроксимирующая функция была дифференцируема всюду, В этом случае нам понадобится подход, отличнъ1й от использованного в разделе 2.3.
Для иллюстрации этого подхода положим л = 4, 1; = [х;, х;+,1 (/ = 1, 2, 3) и ст;(х) = асзх + а;, х + сс;о, / = 1, 2, 3. (5,2.1) 10. Дж. Ортега 145 5.!.2. Покажите, что функции з(п /слх взаимно ортогональны ыа отрезке 10,1), т.е. / йп /слх ' зш/лхс/х = О, /, /с = О, 1,...,/ ~ /с. о 5.1.3. Выполните упражнение 5.1.1 для уравнений Галеркина,чс = /; где вектору и матрица Л определяются соответственно формулами (5,1.17) и (5.1.18).
5.1.4. Пусть я(и) = е: а) выпишите явно уравнения (5.1.20) и (5.1.22) для двухточечной краевой задачи (5.1.19) прил = 3 пса (х) = яп/лх, /= 1, 2, 3; б) выполните задание пункта а для базисных функций са (х) = х~ (1 — х), / =.1, 2, 3. 5.1.5. Для базисных функций (5.1.5) йокажите,что коэффициенты а;- в (5.1.18) определяются формулами Определим теперь функцию ц(х) как~?(х) =ц;(х) при х Е 1; (~' = 1,2, 3) (рис.
5.1) . Чтобы функция д была непрерывна и принимала в узлах сетки заданные значения(у;), необходимо потребовать выполнения условий а~(х~) =у,, дз(хз) =уз, Чз(хз) Уз Чз(хз) =Уз, Чз(хз) Уз ~ Яз(х4) У4. (5.2.2) Если мы, кроме того, хотим, чтобы функция д была дифференцируема в Р Ф I узлах, то дз должно равняться цз в хз и дз должно равняться дз вх„т.е.
?! (х 2 ) ? 2 (х 2 ) (5.2.3) ~? з(хз) = яз(хз). Функция д определяется девятью коэффициентами полиномов д~, дз и дз. Равенства (5.22) и (5.23) дают только восемь соотношений для этих девяти коэффициентов, так что для однозначного определения д требуется дополнительное условие. Обычно указывается значение д' в некотором узле, например, ~?,(х,) =~~,, (5.2.4) где 4з — некоторое заданное значение. Девять соотношений (5.2.2), (5.2.3) н (5.2.4) представляют собой просто систему девяти линейных уравнений относительно коэффициентов полиномов ди которая может быть решена методом гауссова исключения. Этот подход легко распространяется на произвольное число узлов. Пусть задано л узлов.
Тогда будем иметь и — 1 отрезков 1; и и — 1 квздратичных полиномов ди определенных на этих отрезках. Условия (5.2.2) и (5.2.3) примут вид д;(т;) =у;, д?(х;+,) =у;+,, ?=1,...,и — 1, ср,'(х;+ 1) = д,'+ ~ (х;+ ~), ? = 1,..., и — 2. (5.2.5) (5.2.6) ъ агах;+, +а;,х;+, +аиз =У?,, ? =1,...,и — 1, 2азх;,, +а;, =2а;,, зх;,, +а;..., ?=1,...,и — 2, 2а~зх, +а,, =с?~, 14б Эти соотношения представляют собой Зп — 4 линейных уравнения относительно Зи — 3 неизвестных коэффициентов полиномов д ~,..., ц„~. Снова требуется одно дополнительное условие, в качестве которого можно использовать, например, (5.2.4) .
Таким образом, для определения кусочно- квадратичного полинома мы должны решить систему Зл — 3 линейных уравнений. Расписав подробно соотношения (5.2.5), (5.2.6) и (5.2.4) для квадратичных полиномов (5.2.1), получим а~эх~+аззх, +а?в =У;, ~'= 1,..., и — 1, или, в матрично-векторной форме, х', х,1 Х2 Х2 1 а!2 и22 22 2! а„ У! .1 2 У2 Х2 Х2 1 Уи — 1 Уи О О х' и-1 2 хи хи 1 1 хи 1 2х, 1 Π— 2х, — 1 2х, 1 Π— 2х, -1 22и -1,2 2!и — 1,1 ии — 1,О 2 хи — 1 О 22! Π— 2хи 1 — 1 О 2Х, 1 (5.2,7) "труктура этой системы уравнений здесь видна достаточно наглядно. При аппроксимации решений дифференциальных уравнений, а также во многих других ситуациях, оказывается желательным, чтобы аппроксимирующие функции были по крайней мере дважды непрерывно дифференцируемыми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
