Амосов А.А., Дубинский В.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров (1994) (1095853), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Как правило, исследователь проявляет интерес к изучению поведения медленно меняющихся характеристик процесса в течение длительного времени. Наличие же быстро меняющихся физических компонент при использовании классических явных методов решения задачи Коши заставляет его выбирать шаг Ь порядка наименьшей из временных постоянных, что делает процесс численного решения чрезвычайно дорогостоящим и неэффективным. Существующие в настоящее время методы решения жестких задач позволяют использовать шаг Ь порядка наибольшей из временных постоянных, подчиняя его выбор только требованию точности.
3 а м е ч а н и е 1. В последнее время задачу не принято квалифицировать как жесткую на переходном участке. Если исследователь проявляет интерес к изучению переходного режима, то для нахождения решения на переходном участке могут оказаться вполне приемлемыми и явные методы Рунге — Кутты и Адамса.
3 а м е ч а н и е 2. Обычно при определении жесткости делается явное или неявное предположение о том, что среди собственных чисел матрицы А отсутствуют такие, для которых ~1тЛ,~ > 1. Это означает, что предполагается отсутствие быстрых осцилляций в компонентах погрешности. Если же такие осцилляции возможны, то необходимо использовать специальные методы подавления соответствующих компонент погрешности. 3. Понятие о методах решения жестких задач.
Для решения жестких задач было бы желательно использовать А-устойчивые методы, так как они не накладывают никаких ограничений на шаг Ь, Однако оказывается, что класс таких методов весьма узок. Например, среди явных линейных многошаговых методов нет А-устойчивых. Доказано также, что среди неявных линейных многошаговых методов нет А-устойчивых методов, имеющих порядок точности выше второго. Многие из возникающих на практике жестких задач таковы, что для них собственные значения матрицы Якоби удовлетворяют неравенству ~аг~ ( — Л;) ~ < а (~ = 1, 2, ..., т), где а > 0 — некоторое число. В частности, если все собственные значения вещественны и отрицательны, то указанное неравенство выполняется для любого сколь угодно малого а > О. Для таких задач требование А-устойчивости методов является чрезмерным и его можно заменить менее ограничительным требованием наличия у метода А (а)-устойчивости.
Численный метод решения 479 задачи Коши называют А (а)-устойчивы и, если область его абсолют- ной устойчивости включает угол ~аг~( — г)) < а (рис. 14.19). В частно- сти, при а = т/2 определение А (а)-устойчивости совпадает с опреде- лением А-устойчивости. Рис. 14.зО Рис.. Ц.19 Известно, что среди явных линейных многошаговых методов нет А (а)-устойчивых ни при каком а > О. Однако среди неявных линей— ных многошаговых методов имеются А (а)-устойчивые методы высокого порядка точности.
Важный класс таких методов (формул дифференцирования назад) относится к так называемым чисто неявны.и .иетода и; у'+~ у = Х(1пч уа+~) а= 1 (это неявный метод Эйлера); (14.133) . Зуу,+~ — 4Ун+ Унч у( ~, „, ), Й= 2; 2Ь 480 (14,134) Чисто неявные методы получаются в результате замены в системе дифференциальных уравнений (14.131) при 1 = 1„,~ производной У (1) ее разностной аппроксимацией, использующей значения функции в точках ~„,п ~„, ..., ~а+~ ~с. Если для зтого используется односторонняя разностная производная (см.
8 12.2), то получается формула дифференцирооания назад. Приведем формулы дифференцирования назад при 1 = 1, 2, 3, 4, имеющие Й-й порядок точности Иу„„- 18уп+ 6у„, — гу„, 6Ь вЂ” 1тп.н уп+1 ~ 25уп+1 — 48уп+ Збуп-1 16уп-г + Зупп-3 12й 1~1 .1, у +1), ~ = 4. (14.135) (14.136) Напомним, что метод (14.133) является А-устойчивым. Как видно из рис. 14.20, а и 14.20, б, для формул (14.134) и (14.135) области их абсолютной устойчивости почти целиком содержат левую полуплоскость Нег ( О.
Поэтому свойства устойчивости' этих методов вполне достаточны для решения большинства жестких задач. Весьма популярный и широко используемый при решении жестких задач алгоритм Гира основан на использовании формул дифференцирования назад порядка точности 1 = 1, 2,, 6 и представляет собой метод с автоматическим выбором шага интегрирования и порядка метода. Один из первых вариантов алгоритма реализован в фортранной программе Р1ГЯ1В. 8 14.12. Дополнительные замечания 1. К настоящему времени разработано большое число различных численных методов решения задачи Коши и работа в этом направлении ведется очень активно. Тем не менее наиболее популярными остаются классические методы Рунге — Кутты и Адамса, а также их современные модификации.
Каждый из этих двух классов методов имеет определенные достоинства и недостатки, некоторые из них уже обсуждались выше. Не имея перед собой конкретной задачи, вряд ли можно дать рекомендации в пользу того или иного метода, тем более что до сих пор в этом вопросе нет достаточной ясности. Однако ориентируясь на серьезное обсуждение оценки качества методов, приведенное в книге [74], можно попытаться грубо описать ситуации, в которых они обладают большей эффективностью.
При этом следует иметь в виду, что одним из основных показателей эффективности метода является количество вычислений правых частей дифференциальных уравнений, которое требуется для достиже— 1 При 1 ~ ~й ~ ~6 формулы дифференцирования назад обладают так называемой жесткой устойчивостью '168], 174]. 16 — 28 481 ния заданной точности решения. Предположим, что решаемая задача Коши не является жесткой. Предполо— жим также, что вычисление правых частей дифференциальных уравнений не является слишком трудоемкой операцией.
Тогда целесообразно применение методов Рунге — Кутты с автоматическим выбором шага, наиболее эффектив— ным среди которых для широкого класса задач является метод Рунге — Кут— ты — Фельберга пятого порядка точности. Если же к точности решения не предъявляются слишком высокие требования, то хороший результат следует ожидать и от применения классического метода Рунге — Кутты четвертого порядка точности. В том случае, когда вычисления правых частей трудоемки (на каждую из них приходится в среднем более 25 арифметических операций) имеет смысл предпочесть использование качественной программы, реализующей метод Адамса с автоматическим выбором шага и порядка метода.
По-видимому, именно эти методы в будущем станут наиболее употребительными. 2. После того как приближенные значения у„решения задачи Коши в узлах ~, (и = 0, 1, ..., Ж) определены, для вычисления значений решения у(1) в промежуточных точках можно использовать интерполяцию. В связи с этим полезно отметить, что наряду со значениями векторчфункции у„фактически оказываются вычисленными значения производной у„= ~(~п, у„). Поэтому в данном случае для интерполяции естественно использование кубического интерполяционного многочлена Эрмита или локального кубического сплайна (см.
гл. 11). Для методов первого или второго порядка точности вполне удовлетворительный результат дает использование линейной интерполяции. 3. Поиск эффективных методов решения жестких задач еще находится в начальной стадии. Тем не менее разработан ряд популярных алгоритмов (среди которых наиболее известен алгоритм Гира) и создано значительное число качественных программ. Вопрос о наиболее эффективном методе решения жестких задач остается открытым и какие.-либо рекомендации здесь преждевременны. В последнее время выявилась достаточная перспективность применения для решения таких задач специальных неявных методов Рунге — Кутты [26].
Подчеркнем еще раз, что явные методы Рунге — Кутты для этой цели совершенно непригодны. 4. Дополнительную информацию о методах решения задачи Коши (и полезное обсуждение жестких задач) можно найти, например, в учебниках [9], [14], [43], [60], [69], [71], [86]. Настоятельно советуем обратить внимание на две весьма содержательные книги [74] и [88]. Вторая из них содержит систематическое и доступное широкому кругу читателей изложение численных методов решения нежестких задач. Методам решения жестких задач специально посвящены монографии [68], [26], последняя из которых содержит современный взгляд на эту проблему.
Глава 15 РЕШЕНИЕ ДВУХТОЧЕЧНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 3 15.1. Краевые задачи для одномерного стационарного уравнения теплопроводности 1. Дифференциальное уравнение и краевые условия. Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка — — (1 (х) — ) + у (х) и = ~ (х), а < х < 6. 6 с1и Ьх йх (15.1) 483 Двухточечная краевая задача — это задача отыскания решения обыкновенного дифференциального уравнения или системы обыкновенных дифференциальных уравнений на отрезке а К х ~ 6 при условии, что дополнительные условия на решение налагаются в двух точках а и 5 — "краях" отрезка (а, в1 (отсюда — и название задачи).
Решить краевую задачу, вообще говоря, значительно труднее, чем задачу Коши и для этого используются разнообразные подходы. Наиболее распространены различные методы дискретизации, позволяющие заменить исходную задачу некоторым ее дискретным аналогом. Получающаяся дискретная краевая задача представляет собой систему уравнений (возможно, нелинейных) с конечным числом неизвестных и может быть решена на ЭВМ с помощью специальных прямых или итерационных методов. Одним из простейших и весьма популярных подходов к дискретизации является использование метода конечных разностей.
В Ц 15.2 и 15.3 рассматриваются некоторые из основных моментов применения этого метода. В ~ 15.4 дается представление о другом подходе к дискретизации краевых задач. В нем описываются проекционные методы Ритца и Галеркина и обсуждается один из их современных вариантов, имеющий большое практическое значение, — метод конечных элементов.
В заключение главы рассматривается метод пристрелки. (15.2) Й(х) эхо > О, в(х) эО. Так как уравнение (15.1) является дифференциальным уравнением второго порядка, то для того чтобы однозначно найти . функцию и (х) — распределение температуры в стержне, необходимо задать два дополнительных условия. Простейшая постановка краевых условий такова: и (а) = иа, и (о) = щ. Краевые условия такого типа принято называть храевыли условияли первого рода.
Физическая интерпретация этих краевых условий состоит в том, что в рассматриваемой задаче на торцах стержня поддерживаются фиксированные значения температуры и и щ. Возможны и другие постановки краевых условий. Так, если известна плотность потока тепла через левый торец стержня, то условие и (а) = и можно заменить краевыл условием второ1о рода: -Й (а) и (а) = иа. 484 Оно называется однолерныл стационарным уравнением тпеплопроводности и возникает при математическом моделировании многих важных процессов, Например, это уравнение описывает установившееся распределение температуры и (х) в теплопроводящем стержне длины ! = о— — а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
