Амосов А.А., Дубинский В.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров (1994) (1095853), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Формальный подход к выбору аппроксимации дифференциального уравнения может давать разностные схемы, обладающие теми или иными дефектами, Например, кажется удобным предварительно преобразовать первое слагаемое уравнение (15.43) следующим образом: (Ьи') ' = Ьи" + Ь'и', После такого преобразования для этого слагаемого естествен выбор аппроксимации = х, — х;1 зависит от ~. Положим Ьв~~э — — хин~2 — х,1~2. Заменяя в формулах (15.45), (15.46), (15.47) Л на Ьв.1~2, Ь~1, Л; соответственно, придем к разностной схеме (15.15), (15.16), в которой ~ ~и Их') = —, ~Ьв1д Ь вЂ” Ь-1л „! + Ьи Ь Ь . 1 ~ и1-и' и — и-11 ~н1/2 Ь~+1 Нетрудно убедиться в том, что при такой аппроксимации справедлив принцип максимума и разностная схема устойчива. Можно показать, что при некоторых дополнительных предположениях она сходится со вторым порядком точности относительно Ь„„„.
3. Разности "против пошка". Как отмечалось выше, уравнение (15.43) описывает установившееся распределение температуры в неподвижной среде. В том случае, когда исследуются тепловые процессы в движущейся среде (например, рассматривается поток жидкости), уравнение модифицируется следующим образом: -(й (х)и'(х)) ' + и (х)и'(х) + у (х)и (х) = ~(х).
Здесь е (х) — величина, пропорциональная скорости потока жидкости. При дискретизации этого уравнения возникает новый момент, связанный с необходимостью аппроксимации слагаемого и (х)и'(х), Кажется естественным воспользоваться для аппроксимации производной и' центральной разностной производной. В результате к разностному оператору (15.48) добавится слагаемое х, ' ', где и, = и (х,). Выясним, удовлетворяют ли коэффициенты Ь Ь '~ = -Ьь1 2 — — иь Ь1 = Ь -1 2 + Ь 1л + Ь В с~ = -Ьв1 л + — " 2 2 соответствующей системы сеточных уравнений условиям (15.23), гарантирующим выполнение принципа максимума..
Как нетрудно видеть, неравенства (15.23) выполняются, если Ь( и,! < 2 ппп (Ц 1 ~2, АЪ1 у2). В том случае, когда скорость потока велика, это неравенство приводит к весьма жесткому ограничению на шаг Ь. Его можно избежать, если использовать односторонние разностные производные. В задачах динамики жидкостей и газов широко используются аппроксимации вида , и (ха) — и (х; 1) и (х,+1) — и (х;) (15.50) где и, = ппп 1и (х;), 0), х,.
= гпах 1и (х;-), О). Они называются аиирои- 502 (15.51) ш '(х) + о (х) и (х) = Дх). Для вывода разностных уравнений воспользуемся мешодо и оаяанса'. Запишем уравнение теплового баланса для отрезка [х;1~т, хна ~2~, где 1 < 1 < У вЂ” 1. Для этого проинтегрируем уравнение (15.51) по х от х; 1~2 до х;,1 ~2. В результате получим равенство Иногда метод баланса называют инте1ро-ин~перпояяиионнм и мешодо и [70). 503 симаииями "протпив потоха" (или "против ветра" ).
Такой выбор аппроксимации слагаемого ви' приводит к системе сеточных уравнений с коэффициентами а; = — (Ь, 1,о+ Ьо'), Ь; = А;1~2+ Ь 1д + Ьо; + Ьтдь с, = -(Ь,,1 ~х — Ьо.). Легко убедиться в том, что условия (15.23) здесь всегда выполняются. Таким образом, принцип максимума выполняется при любых шагах Ь. Правда, при использовании приближения (15.50) порядок аппроксимации снижается со второго до первого. 4. Случай разрывных коэффицимггов. Одна из специфических особенностей, присущих многим техническим задачам, заключается в том, что среда, в которой изучаются те или иные процессы, как правило, существенно неоднородна и состоит из материалов с разными физическими свойствами. При математической формулировке таких задач эта особенность проявляется в том, что коэффициенты дифференциальных уравнений становятся разрывными.
Это существенно усложняет построение эффективных численных методов. Предположим, например, что коэффициенты Ь, о, ~ входящие в уравнение (15.43), могут иметь на отрезке [а, Ц конечное число М точек разрыва ~;. (а < ~1 < ~2 < ... < ~„< Ь) первого рода. Будем предполагать, что всюду за исключением этих точек коэффициенты Й, д, Унепрерывны и удовлетворяют условиям Ь (х) Э Ьо > О, д (х) Э О. В этом случае решение краевой задачи (15.43), (15.44) уже нельзя понимать в классическом смысле.
Уточним постановку задачи для уравнения с разрывными коэффициентами. Назовем функцию и (х) решением задачи (15.43), (15.44), если: 1) функция и (х) непрерывна на отрезке [а, Ь] и удовлетворяет краевым условиям и (а) = иа, и (Ь) = иь, 2) поток ш (х) = — Ь (х)и '(х) непрерывен на отрезке [а, Ь~; 3) всюду за исключением точек ~1, ~2, ..., $,„функция ш (х) непрерывно дифференцируема и удовлетворяет уравнению где расположены точки разрыва коэффициентов дифференциально- го уравнения. Это означает, что рассматриваемая разностная схема относится к классу однородных разностных схс.и [70~. — х(а)и (а) = ы . (15.57) Простейший подход к его аппроксимации состоит в замене производи(а + Ь) — и(а) ной и (а) разностным отношением .
В результате Ь получается разностное краевое условие — Ь(а) — = и1 . Ь (15.58) Так как и(а + Ь) — и(а), и (а) и~з>(а) Ь = и '(а) -~- — Ь -~- — Ьг -~- ..., 2 6 то разностное уравнение (15.58) аппрок сими рует краевое условие (15.57) лишь с первым порядком относительно Ь, что приводит к понижению порядка точности разностной схемы. Порядок аппроксимации краевого условия можно повысить разными способами.
Например, можно заметить, что в силу дифференциального уравнения (15.43) при х = а для решения и справедливо равенство й (а)и "(а) = -Ь'(а)и'(а) + а (а)и (а) — 7'(а). Таким образом, — Ь (а) и (а + Ь) — и (а) Л ] Ь'(а) — а+ — ~- — ша — ~ (а)и (а) + На)— 2 ~ Ь( а) Ь(а) Ьг ~ и~ ЗЭ (а) и мы приходим к разностному краевому условию 5. Аппроксимация краевых условий. Выше при аппроксимации краевой задачи краевые условия первого рода и (а) = иа, и (6) = иь не вызывали каких-либо затруднений и потому основное внимание уделялось аппроксимации дифференциального оператора. Однако краевые условия могут иметь более сложный вид и тогда возникает проблема их аппроксимации. ' Рассмотрим, например, краевое условие второго рода -Л (а) + — Д (а)ио — ~1 — — — ~ и1а + — /'(а), Л Г Л х(а)1 Л Л 2 ~ 2Л(а)~ 2 аппроксимирующему краевое условие (15.57) со вторым порядком.
Другая аппроксимация второго порядка относительно Л получится, если использовать метод баланса. Проинтегрируем уравнение (15.51) по х от хо До х1/2 — — хо + Л/'2. В РезУльтате, УчитываЯ, что ш (хо) = в„ Х1 /2 Х1 /2 получим равенство 1в (х1/2) — и1а + 1 уидх = / / йх. Отсюда, испольхо зуя приближенное равенство (15.54), приходим к разностному уравне- нию и1 — ио Л Л Л/ — Л1/ И 2 2 + — яоио = ша + — Хо> где Х1 /2 Х1 /2 Чо = Л / Ч 4х) М = Л Х1 Х11х.
з 15.4. Понятие о проекционных и проекционно-разностных методах. Методы Ритца и Галеркина Метод конечных элементов ь 1 (и) = /" г'(х, и, и') с1х. а (15.59) 506 Наряду с методом конечных разностей значительнои популярностью пользуются проекционные методы Ритца и Галеркина, а точнее— их современные варианты, объединяемые названием "метод конечных элементов" или "проекционно-сеточные методы". 1. Вариационная постановка краевой задачи.
Вариационные методы, представляющие собой частный случай проекционных методов, используются для решения самых разнообразных задач на протяжении многих десятков лет. Эти методы применяются для решения тех задач физики и техники, которые могут быть описаны с помощью так называемых вариационных принципов. В соответствии с одним из простейших вариационных принципов функция и (х), являющаяся решением задачи, должна быть стационарной точкой вариационно1о функци- онала Вариационный функционал, как правило, имеет определенный физический смысл.
Нередко он выражает потенциальную энергию физической системы. Обозначим через У множество функций, на котором определен функционал Х (и). Будем считать, что входящие в Г функции удовлетворяют условиям и (а) = иа, и (Ь) = иЬ, (15.60) — Р~,(х, и, и ) + Г„(х, и, и ) = О, (15.61) которое принято называть уравнеиие.и Эйлера (или уравнением Эйлера — Лагранжа). Таким образом, решение вариационной задачи оказывается решением краевой задачи (15.61), (15.60). Более того, при некоторых условиях эти задачи оказываются эквивалентными и возникает возможность решать определенный класс краевых задач, используя методы вариационного исчисления. Рассмотрим теперь функционал ь ь У(и) = — ~ (Й (и')2+ ди2) Йх- / ~и бх, (15.62) 2я а где Й (х), а (х), ~(х) — кусочно-непрерывные функции, удовлетворяю- щие условиям х (х) Э хо > О, а (х) 1 О. Поставим вариационную задачу о поиске точки минимума функционала (15.62) на множестве Г Как нетрудно видеть, в рассматриваемом случае Г (х, и, и ') = — (Й (х)(и ') 2 + а (х) и2) — ~ (х) и 2 и уравнение Эйлера принимает следующий вид: (15.63) -(Йи ) + ди=~ Можно доказать, что функция и является точкой минимума функционала (15.62), т.
е. удовлетворяет условию 507 где значения иа и иь фиксированы, Предположим также, что в множество У входят все непрерывные кусочно-гладкие функции, принимающие на концах отрезка [а, $] значения (15,60). Предположим, что дважды непрерывно дифференцируемая функция и (х) является стационарной точкой функционала (15.59). Тогда, как известно из курса вариационного исчисления [93], эта функция должна удовлетворять дифференциальному уравнению У(и) = ш1п 1(и), иЕУ (15.64) тогда и только тогда, когда она является решением краевой задачи (15.63), (15.60), Отметим одно достоинство вариационной ' постановки задачи (15.63), (15.60). Она исключает необходимость требования наличия у рассматриваемых функций второй производной и даже непрерывности первой производной. Это обстоятельство оказывается весьма ценным для многих приближенных методов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
